SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES …

1 Soluci n de SISTEMAS deecuaciones LINEALES medianteel m todo de Gauss-JordanJos Becerril Espino Lorenzo Ben tez Morales Irene Rivera Valladares Carlos Zubieta BadilloPROBLEMARIOB sicasUNIVERSIDADAUTONOMAMETROPOLITANACas a abierta al tiempoAzcapotzalcoDERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico). Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia n de sistemasdeecuaciones LINEALES medianteel m todo de Gauss-JordanDERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico). Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia abierta al tiempoPROBLEMARIOS oluci n de sistemasdeecuaciones LINEALES medianteel m todo de Gauss-JordanEste material fue aprobado para su publicaci n porel Consejo Editorial de la Divisi n de Ciencias B sicase Ingenier a de la Unidad Azcapotzalco de la UAM,en su sesi n del d a 3 de abril del RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico).

2 Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia abierta al tiempoPROBLEMARIOS oluci n de sistemasdeecuaciones LINEALES medianteel m todo de Gauss-JordanJos Becerril EspinosaLorenzo Ben tez MoralesIrene Rivera ValladaresCarlos Zubieta BadilloUNIVERSIDAD JTVlTjkMETROPOLITANA M czmlL Divisi n de Ciencias B sicas e Ingenier aCasa abierta al tiempoM czmllL Divisi n de Ciencias B sicas e IngAzcapotzalco Departamento de Ciencias B sicasDERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico). Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia abierta al tiempoUAM-AZCAPOTZALCORECTORMtro. V ctor Manuel Sosa God nezSECRETARIOMtro.

3 Cristian Eduardo Leriche Guzm nCOORDINADORA GENERAL DE DESARROLLO ACAD MICOMtra. Mar a Aguirre TamezCOORDINADORA DE EXTENSI N UNIVERSITARIADCG Ma. Teresa Olalde RamosJEFA DE LA SECCI N DE PRODUCCI N Y DISTRIBUCI N EDITORIALESDCG Silvia Guzm n BofillISBN: 970-31-0030-9 UAM-AzcapotzalcoJos Becerril EspinosaLorenzo Ben tez MoralesIrene Rivera ValladaresCarlos Zubieta BadilloCorrecci n:Marisela Ju rez Capistr nIlustraci n de Portada:Consuelo Quiroz ReyesDise o de Portada:Modesto Serrano Ram rezSecci n de producci ny distribuci n editorialesTel. 5318-9222 / 9223 Fax 5318-9222 Universidad Aut noma MetropolitanaUnidad AzcapotzalcoAv. San Pablo 180 Col. Reynosa TamaulipasDelegaci n 02200M xico, n de SISTEMAS de ECUACIONES linealesmediante el m todo de Gauss-Jordan1a.

4 Edici n, 20021a. reimpresi n, 20032a. reimpresi n, 2004 Impreso en M xicoDERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico). Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia abierta al tiempo NDICEPRESENTACI N 7I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PARA QU ? 9II. SOLUCI N DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE ELM TODO DE REDUCCI N DE GAUSS-JORDAN 13A) SISTEMAS CON SOLUCI N NICA 13B) SISTEMAS CON INFINIDAD DE SOLUCIONES 17C) SISTEMAS SIN SOLUCI N 21D)

5 SISTEMAS HOMOG NEOS 23m AN LISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES QUEINVOLUCRAN CONSTANTES ADICIONALES PARA QUE ELSISTEMA TENGA O NO SOLUCI N 25IV. USO DE LA CALCULADORA GRAFICADORA PARA LA RESOLUCI NDE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 31V. APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 37VI. EJERCICIOS PROPUESTOS 41VH. PROBLEMAS PROPUESTOS 45 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 51 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS 52 BIBLIOGRAF A 55 DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico).

6 Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia abierta al tiempoDERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico). Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia abierta al tiempoPRESENTACI NLa soluci n de los SISTEMAS de ECUACIONES LINEALES encuentra una amplia aplicaci n en laciencia y la tecnolog a. En particular, se puede afirmar, que en cualquier rama de laIngenier a existe al menos una aplicaci n que requiera del planteamiento y soluci n de talessistemas. Es por eso, que dentro de los planes de estudio de las carreras de ingenier a de laUAM Azcapotzalco, en la materia Complementos de Matem ticas, se incluya el temasoluci n de SISTEMAS de ECUACIONES LINEALES mediante el m todo de Gauss-Jord n, por lasventajas que ste que estas notas sirvan de apoyo para aquellos alumnos que han llevado o llevenel curso de Complementos de Matem ticas, que por alguna raz n deseen contar con unmaterial sucinto del tema, con ejercicios similares a los que se proponen en los ex menesdepartamentales.

7 Tambi n resulta til para quienes est n interesados en aprender y ejercitarel m todo de Gauss-Jord n,Por ltimo, los ejercicios de estas notas se pueden resolver sin el auxilio de una calculadorao computadora personal, sin embargo, incluimos una secci n dedicada a la soluci n desistemas de ECUACIONES LINEALES mediante el empleo de la calculadora TI-92, conmanipulaci n simb lica, ya que nos permite ilustrar c mo a trav s de estos instrumentos ycon el software adecuado, por ejemplo MATLAB o DERIVE (la TI-92 cuenta conDERIVE) pueden obtenerse los mismos resultados. Las calculadoras graneadoras, dentrodel sal n de clase, y las computadoras personales en casa o en los laboratorios escolaresson, sin duda, instrumentos de uso RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico).

8 Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia abierta al tiempoDERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico). Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia abierta al tiempoI. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PARA QUE?En esta secci n se presentan cuatro problemas cuya soluci n requiere del planteamiento deun sistema de ECUACIONES 1 Una compa a minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la mina I el 1% den quel y 2% de cobre , para la mina II el 2% de n quel y 5% de cobre . Qu cantidad demineral se deber extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de n quel y 9 toneladas decobre?Soluci n: Cu l es el problema?

9 Qu se busca?Queremos saber el n mero de toneladas de mineral que hay que extraer de cada mina,asignemos literales a esos n x el n mero de toneladas que se extrae de la mina el n mero de toneladas que se extrae de la mina IIEstablezcamos ahora relaciones algebraicas entre las literales. Cu nto se obtiene de n quel de la mina I? lx. Y de la mina II? >> luego:An logamente para el cobre *+ )/= 9As , para saber cuantas toneladas hay que extraer de cada mina debemos resolver el sistemade dos ECUACIONES LINEALES con dos inc * + ^ = 9 Problema 2 Luis y V ctor son dos amigos que invierten en acciones burs tiles, entre ellos se entabla elsiguiente di logo:V ctor-He comprado acciones de alfa, pe oles y Qu cantidad tienes de cada una de ellas?DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico).

10 Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia abierta al tiempoV ctor- adivina!Luis-Dime el valor total de tus acciones en tres d as diferentes y te dir cuantas tienes decada martes 21 de noviembre del 2000 a precio de cierre las acciones val an 138900,el 28 de noviembre val an 131220 y el 5 de diciembre 121280 conoce la siguiente informaci n:El 21 de noviembre el precio de alfa, pe oles y vitro era respectivamente , , ; el28 de noviembre , , y el 5 de diciembre , , Qu cantidad de acciones tiene V ctor?Soluci n: Cu l es el problema? El n mero de acciones que tiene V ctor de cada literales, sean:A la cantidad de acciones que tiene de la cantidad de acciones que tiene de pe la cantidad de acciones que tiene de relaciones algebraicas entre las martes 21 de noviembre las acciones de alfa que adquiri V ctor val an ,4, las depe oles val an 9/\ las de vitro val an 9Fy todas juntas val an $138900 por lo ,4 + 9P + 9F = 138900An logamente para el 28 de noviembre se ,4 -f + 8 52F = 131220Y el 5 de ^4 + 4- = 121280 Luis sabr el n mero de acciones que tiene V ctor s resuelve el sistema de tres ecuacionescon tres inc ,4 + 9P + W = ,4+ + : ,4 + + = 12128010 DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico).