Statistique Résumé de cours et méthodes - Xm1 Math

1 StatistiqueR sum de cours et m thodes1. Vocabulaire : Population: c est l ensemble tudi . Individu: c est un l ment de la population. Effectif total: c est le nombre total d individus. Caract re: c est la propri t tudi distingue lescaract res discretsqui ne peuvent prendre qu un nombre fini de valeurs (notes ) et lescaract res continusdont on regroupe les valeurs par intervalles (taille, dur e d ).2. S ries statistiques associ es un caract re discret1) Classement des donn esD finitionOn appelles rie statistiquela donn e simultan e (dans un tableau) des valeurs du caract re tudi (not xi),rang es dans l ordre croissant, et des effectifs (not sni) de ces :A la place des effectifs (ni), on peut aussi utiliser les fr quencesfi=niN(o Nrepr sente l effectif total)ou les fr quences en pourcentagesfi=niN :Les notes sur 20 obtenues lors d un devoir de math matiques dans une classe de seconde sont les sui-vantes.

2 10, 8, 11, 9, 12, 10, 8, 10, 7, 9, 10, 11, 12, 10, 8, 9, 10, 9, 10, 11. La population tudi e est la classe et les individus sont les l ves. L effectif total est gal 20 et la note obtenue audevoir est le caract re discret que l on tudie. La s rie Statistique d finie par les effectifs est la suivante :Valeurs du caract re (notes)xi789101112 Effectifs (nb d l ves ayant la note)ni134732 La s rie Statistique d finie par les fr quences en pourcentage est la suivante :Valeurs du caract re (notes)xi789101112Fr quences en %fi=ni20 1005 %15 %20 %35 %15 %10 %2) Effectifs cumul sD finitionL effectif cumul croissantd une valeurxest la somme des effectifs des valeursytels effectif cumul d croissantd une valeurxest la somme des effectifs des valeursytels quey > l exemple des notes, on a :Valeursxi789101112 Effectif cumul croissant14 8151820 Effectif cumul d croissant1916 12520* : nombre d l ves ayant eu une note68.

3 ** : nombre d l ves ayant eu une note>83) Repr sentation graphiquePour les caract res quantitatifs discrets, on utilise lediagramme en b ton:Dans un rep re orthogonal, pour chaque valeur de la s rie Statistique on trace un trait vertical dont la hauteur estproportionnelle l effectif (dans l unit choisie). seconde - Statistique1 - l exemple des notes :1234567effectif121110987valeur4) Param tres de positiona) MoyenneD finitionOn appellemoyenned une s rie Statistique d effectif totalN, le r elx=n1x1+n2x2+ +nkxkN.(krepr sente le nombre de valeurs prises par le caract re)IAvec l exemple des notes, on a :Valeurs du caract rexi789101112 Effectifsni134732x=1 7 + 3 8 + 4 9 + 7 10 + 3 11 + 2 1220= 9,7 IRemarques : En utilisant les fr quences, on a :x=f1x1+f2x2+ +fkxk.

4 Avec les fr quences en pourcentages, on a :x=f1x1+f2x2+ + t Si on ajoute toutes les valeurs d une s rie Statistique le m me nombreb, on augmente la moyenne de cettes rie parb. Si les valeurs d une s rie Statistique sont multipli es ou divis es par un m me nombrea, la moyenne decette s rie est aussi multipli e ou divis e t Si une population d effectifNest compos e d une partie d effectifN1et de moyennex1et d une autre partied effectifN2et de moyennex2, alors la moyennexde la population totale est telle que :x=N1x1+N2x2 NIExemple.

5 Si dans une classe, les 15 gar ons d une classe mesurent en moyenne 182 cm et si les 20 filles mesurenten moyenne 168 cm, alors la taille moyenne d un l ve de cette classe est gale 15 182 + 20 16815 + 20= 174 - Statistique2 - ) M dianeD finitionL id e g n rale est que la m diane est une valeur du caract re qui partage la population en deux parties de m fa on plus pr cise, on appellem dianed une s rie Statistique discr te toute valeurMdu caract re telle qu aumoins 50% des individus aient une valeur du caract re inf rieure ou gale Met au moins 50% des individusaient une valeur du caract re sup rieure ou gale pratique de la m diane.

6 On range les valeurs du caract re une par une dans l ordre croissant (chaque valeur du caract re doit appara treun nombre de fois gal l effectif correspondant).Si l effectif total est impair, la m dianeMest la valeur du caract re situ e au l effectif total est pair, la m dianeMest la demi-somme des 2 valeurs situ es au 1 :On consid re la s rie Statistique suivante :Valeurs du caract rexi78910111416 Effectifsni2111212 Liste des valeurs du caract re :7 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 11 ; 14 ; 16 ; 16 L effectif total est pair : la m dianeMest la demi-somme des 2 valeurs situ es au milieu.

7 D o ,M=10 + 112= 10, 2 :On consid re la s rie Statistique suivante :Valeurs du caract rexi689121317 Effectifsni312133 Liste des valeurs du caract re :6 ; 6 ; 6 ; 8 ; 9 ; 9 ; 12 ; 13 ; 13 ; 13 ; 17 ; 17 ; 17 L effectif total est impair : la m dianeMest la valeur situ e au milieu. D o ,M= ) Param tres de dispersionCes param tres permettent de mesurer la fa on dont les valeurs du caract re sont r parties autour de la moyenne etde la m ) Param tre de dispersion associ la moyenneD finition On appellevarianced une s rie Statistique d effectif totalNet de moyennex, le r elV=n1(x1 x)2+n2(x2 x)2+ +nk(xk x)2N(moyenne des carr s des carts la moyenne) l cart-typede la s rie est d fini alors par : = VIAvec l exemple des notes, on ax= 9,7et.

8 Valeurs du caract rexi789101112 Effectifsni134732V=1 (7 9,7)2+ 3 (8 9,7)2+ 4 (9 9,7)2+ 7 (10 9,7)2+ 3 (11 9,7)2+ 2 (12 9,7)220= 1,71 = 1,71 1,31 seconde - Statistique3 - t Si on ajoute toutes les valeurs d une s rie Statistique le m me nombreb, l cart-type reste inchang . Si les valeurs d une s rie Statistique sont multipli es ou divis es par un m me nombre strictement positifa, l cart-type est multipli ou divis para. Si les valeurs d une s rie Statistique sont multipli es ou divis es par un m me nombre strictement n gatifa, l cart-type est multipli ou divis par ) Param tre de dispersion associ la m dianeD finitionL id e g n rale est de partager la population en quatre parties de m me donn une s rie Statistique de m dianeMdont la liste des valeurs est rang e dans l ordre croissant(il s agitde la m me liste que celle qu on utilise pour d terminer la m diane).

9 En coupant la liste en deux sous-s ries de m me effectif(Attention : quand l effectif total est impair, la m diane nedoit pas tre incluse dans les sous-s ries): On appellepremier quartilele r el not Q1 gal la m diane de la sous-s rie inf rieure. On appelletroisi me quartilele r el not Q3 gal la m diane de la sous-s rie sup rieure. L cart interquartileest gal Q3 Q1. ]Q1;Q3[est appel intervalle finitionLediagramme en bo tesd une s rie Statistique se construit alors de la fa on suivante :(les valeurs du caract re sont en abscisse -minetmaxrepr sentent les valeurs minimales et maximales du caract re)Q1MQ3maxminIInterpr tation : 25% de la population admet une valeur du caract re entreminetQ1 25% de la population admet une valeur du caract re entreQ1etM 25% de la population admet une valeur du caract re entreMetQ3 25% de la population admet une valeur du caract re entreQ3etmaxIExemple 1.

10 On reprend la s rie Statistique suivante :Valeurs du caract rexi78910111416 Effectifsni2111212 Liste des valeurs du caract re :7 ; 7 ; 8; 9 ; 10 sous s erie inf erieure; 11 ; 11 ; 14 ; 16 ; 16 sous s erie sup erieure L effectif de chaque sous-s rie est impair :Q1= 8 (valeur situ e au milieu de la sous-s rie inf rieure) etQ3= 14(valeur situ e au milieu de la sous-s rie sup rieure). Le diagramme en bo tes de la s rie est le suivant :678910111213141516 IExemple 2 :On reprend la s rie Statistique suivante :Valeurs du caract rexi689121317 Effectifsni312133 Liste des valeurs du caract re : seconde - Statistique4 - ; 6 ; 6 ; 8 ; 9 ; 9 sous s erie inf erieure; 12 ; 13 ; 13 ; 13 ; 17 ; 17.