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Sujet du bac S Mathématiques Obligatoire 2017 - …

17 MASOMLR1 Page 1 sur 8 BACCALAUR AT G N RAL SESSION 2017 PREUVE DU MERCREDI 21 JUIN 2017 MATH MATIQUES - S rie S - Enseignement Obligatoire Coefficient : 7 Dur e de l preuve : 4 heures Les calculatrices lectroniques de poche sont autoris es, conform ment la r glementation en vigueur. Le Sujet est compos de 4 exercices ind pendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invit faire figurer sur la copie toute trace de recherche, m me incompl te ou non fructueuse, qu il aura d velopp e. Il est rappel que la qualit de la r daction, la clart et la pr cision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appr ciation des copies. Avant de composer, le candidat s assurera que le Sujet comporte bien 8 pages num rot es de 1 8. La page 8 est une annexe rendre avec la copie. 17 MASOMLR1 Page 2 sur 8 Exercice 1 (7 points) : commun tous les candidats Partie A On consid re la fonction d finie sur l intervalle 0;+ par : = )*.

17MASOMLR1 Page 1sur 8 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2017 ÉPREUVE DU MERCREDI 21 JUIN 2017 MATHÉMATIQUES - Série S - Enseignement Obligatoire

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1 17 MASOMLR1 Page 1 sur 8 BACCALAUR AT G N RAL SESSION 2017 PREUVE DU MERCREDI 21 JUIN 2017 MATH MATIQUES - S rie S - Enseignement Obligatoire Coefficient : 7 Dur e de l preuve : 4 heures Les calculatrices lectroniques de poche sont autoris es, conform ment la r glementation en vigueur. Le Sujet est compos de 4 exercices ind pendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invit faire figurer sur la copie toute trace de recherche, m me incompl te ou non fructueuse, qu il aura d velopp e. Il est rappel que la qualit de la r daction, la clart et la pr cision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appr ciation des copies. Avant de composer, le candidat s assurera que le Sujet comporte bien 8 pages num rot es de 1 8. La page 8 est une annexe rendre avec la copie. 17 MASOMLR1 Page 2 sur 8 Exercice 1 (7 points) : commun tous les candidats Partie A On consid re la fonction d finie sur l intervalle 0;+ par : = )*.

2 1. D terminer la limite de la fonction en + . 2. tudier les variations de la fonction sur l intervalle 0;+ et dresser son tableau de variations. 3. L objectif de cette question est de d terminer une primitive de la fonction . a. V rifier que pour tout nombre r el appartenant l intervalle 0;+ , on a : = )* ( ) o d signe la fonction d riv e de . b. D terminer une primitive sur l intervalle 0;+ de la fonction )*. c. D duire des deux questions pr c dentes une primitive de la fonction sur l intervalle 0;+ . Partie B On d finit les fonctions et sur l intervalle 0;+ par : ( )= )*+ln +1 et =ln( +1). On note 8 et 9 les repr sentations graphiques respectives des fonctions et dans un rep re orthonorm . Ces deux courbes sont trac es en annexe page 8. Cette annexe est rendre avec la copie. 1. Pour un nombre r el appartenant l intervalle 0;+ , on appelle M le point de coordonn es ( ; ) et N le point de coordonn es ; : M et N sont donc les points d abscisse appartenant respectivement aux courbes 8 et 9.

3 A. D terminer la valeur de pour laquelle la distance MN est maximale et donner cette distance maximale. b. Placer sur le graphique fourni en annexe page 8 les points M et N correspondant la valeur maximale de MN. 2. Soit un r el appartenant l intervalle 0;+ . On note < le domaine du plan d limit par les courbes 8 et 9 et par les droites d quations =0 et = . a. Hachurer le domaine < correspondant la valeur propos e sur le graphique en annexe page 8. b. On note < l aire du domaine <, exprim e en unit s d aire. D montrer que : <=1 <>?@A . c. Calculer la limite de < lorsque tend vers + et interpr ter le r sultat. 17 MASOMLR1 Page 3 sur 8 3. On consid re l algorithme suivant : Variables : est un r el positif est un r el strictement compris entre 0 et 1. Initialisation : Saisir prend la valeur 0 Traitement : Tant Que 1 <>?@A< faire prend la valeur +1 Fin Tant Que Sortie : Afficher a. Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur =0,8 ?

4 B. Quel est le r le de cet algorithme ? Exercice 2 (3 points) : commun tous les candidats L espace est muni d un rep re orthonorm ( ; , , ). Soit P le plan d quation cart sienne : 2 3=0. On note A le point de coordonn es (1 ; ; N), o est un nombre r el. 1. Justifier que, quelle que soit la valeur du r el , le point A n appartient pas au plan P . 2. a. D terminer une repr sentation param trique de la droite D (de param tre not ) passant par le point A et orthogonale au plan P. b. Soit M un point appartenant la droite D, associ la valeur du param tre dans la repr sentation param trique pr c dente. Exprimer la distance AM en fonction du r el . On note H le point d intersection du plan P et de la droite D orthogonale P et passant par le point A. Le point H est appel le projet orthogonal du point A sur le plan P, et la distance AH est appel e distance du point A au plan P. 3. Existe-t-il une valeur de pour laquelle la distance AH du point A de coordonn es (1 ; ; N) au plan P est minimale ?

5 Justifier la r ponse. 17 MASOMLR1 Page 4 sur 8 Exercice 3 (5 points) : commun tous les candidats Dans une vaste plaine, un r seau de capteurs permet de d tecter la foudre et de produire une image des ph nom nes orageux. Ces donn es servent en particulier aux services m t orologiques pour am liorer leurs pr visions et pour permettre des interventions plus rapides sur les lieux, notamment en cas d incendie. Le but de l exercice est d tudier les impacts de foudre d tect s par un capteur. L cran radar, sur lequel les points d impact de foudre sont observ s, a l allure suivante : Le capteur de foudre tant repr sent par le centre de l cran, cinq cercles concentriques correspondant aux rayons respectifs 20, 40, 60, 80 et 100 kilom tres d limitent dans l ordre cinq zones, num rot es de 1 5, d finies par leur distance au capteur. De plus, huit segments partant du capteur d limitent huit portions, de m me ouverture angulaire, nomm es dans le sens trigonom trique de A H.

6 L cran est ainsi partag en quarante secteurs d nomm s par une lettre et un nombre entre 1 et 5. Par exemple, le point P positionn sur la figure est situ dans le secteur B3. On assimile l cran radar une partie du plan complexe en d finissant un rep re orthonorm (O; , ) de la mani re suivante : l origine O marque la position du capteur ; l axe des abscisses est orient d Ouest en Est ; l axe des ordonn es est orient du Sud au Nord ; l unit choisie est le kilom tre. Dans la suite, un point de l cran radar est associ un point d affixe . 17 MASOMLR1 Page 5 sur 8 Partie A 1. On note R l affixe du point P situ dans le secteur B3 sur le graphique pr c dent. On appelle le module de R et son argument dans l intervalle ; . Parmi les quatre propositions suivantes, d terminer la seule qui propose un encadrement correct pour et pour (aucune justification n est demand e) : Proposition A Proposition B Proposition C Proposition D 40< <60 et 0< < 4 20< <40 et 2< <3 4 40< <60 et 4< < 2 0< <60 et 2< < 4 2.

7 Un impact de foudre est mat rialis sur l cran en un point d affixe . Dans chacun des deux cas suivants, d terminer le secteur auquel ce point appartient : a. =70 )Z[\ ; b. = 453+45 . Partie B On suppose dans cette partie que le capteur affiche un impact au point P d affixe 50 Z[\. En raison d impr cisions de mesures, le point d impact affich ne donne qu une indication approximative du point d impact r el de la foudre. Ainsi, lorsque le capteur affiche le point d impact P d affixe 50 Z[\, l affixe du point d impact r el de la foudre admet : un module qui peut tre mod lis par une variable al atoire suivant une loi normale d esp rance =50 et d cart type =5 ; un argument qui peut tre mod lis par une variable al atoire suivant une loi normale d esp rance cd et d cart type c?N . On suppose que les variables al atoires et sont ind pendantes, c est dire que quels que soient les intervalles et , les v nements ( ) et ( ) sont ind pendants.]]]

8 Dans la suite les probabilit s seront arrondies 10)d pr s. 1. Calculer la probabilit ( <0) et interpr ter le r sultat obtenu. 2. Calculer la probabilit 40;60[ ). 3. On admet que : cj;cN =0,819. En d duire la probabilit que la foudre ait effectivement frapp le secteur B3 selon cette mod lisation. 17 MASOMLR1 Page 6 sur 8 Exercice 4 (5 points) : pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de sp cialit On tudie un mod le de propagation d un virus dans une population, semaine apr s semaine. Chaque individu de la population peut tre, l exclusion de toute autre possibilit : soit susceptible d tre atteint par le virus, on dira qu il est de type S ; soit malade (atteint par le virus) ; soit immunis (ne peut plus tre atteint par le virus). Un individu est immunis lorsqu il a t vaccin , ou lorsqu il a gu ri apr s avoir t atteint par le virus. Pour tout entier naturel , le mod le de propagation du virus est d fini par les r gles suivantes : Parmi les individus de type S en semaine , on observe qu en semaine +1 : 85 % restent de type S, 5 % deviennent malades et 10 % deviennent immunis s ; Parmi les individus malades en semaine , on observe qu en semaine +1 : 65 % restent malades, et 35 % sont gu ris et deviennent immunis s.]

9 Tout individu immunis en semaine reste immunis en semaine +1. On choisit au hasard un individu dans la population. On consid re les v nements suivants : m : l individu est de type S en semaine ; m : l individu est malade en semaine ; m : l individu est immunis en semaine . En semaine 0, tous les individus sont consid r s de type S , on a donc les probabilit s suivantes : n=1, n=0 et n=0. Partie A On tudie l volution de l pid mie au cours des semaines 1 et 2. 1. Reproduire sur la copie et compl ter l arbre de probabilit s donn ci-dessous : 2. Montrer que N=0,2025. 3. Sachant qu un individu est immunis en semaine 2, quelle est la probabilit , arrondie au milli me, qu il ait t malade en semaine 1 ? 17 MASOMLR1 Page 7 sur 8 Partie B On tudie dans cette partie l volution long terme de l pid mie. Pour tout entier naturel , on note m= m, m= ( m) et m= ( m) les probabilit s respectives des v nements m, m et m.

10 1. Justifier que, pour tout entier naturel , on a : m+ m+ m=1. On admet que la suite ( m) est d finie par n=0 et, pour tout entier naturel : m>?=0,65 m+0,05 m. 2. l aide d un tableur, on a calcul les premiers termes des suites m, m et m : A B C D 1 m m m 2 0 1 0 0 3 1 0,8500 0,0500 0,1000 4 2 0,7225 0,0750 0,2025 5 3 0,6141 0,0849 0,3010 6 4 0,5220 0,0859 0,3921 7 5 0,4437 0,0819 0,4744 8 6 0,3771 0,0754 0,5474 .. 20 18 0,0536 0,0133 0,9330 21 19 0,0456 0,0113 0,9431 22 20 0,0388 0,0096 0,9516 Pour r pondre aux questions a et b suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus. a. Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet, par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite ( m) ? b. On admet que les termes de ( m) augmentent, puis diminuent partir d un certain rang , appel le pic pid mique : c est l indice de la semaine pendant laquelle la probabilit d tre malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande.


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