Superficies Cuadráticas - Álgebra y Geometría Analítica

1 Facultad Regional La Plata lgebra y Geometr a Anal tica Superficies Cu dricas Ing. Viviana CAPPELLO Superficies Cuadr ticas Definici n: Una superficie cuadr tica ( cu drica) es la gr fica de una ecuaci n de segundo grado con tres variables x, y, z. La forma general de la ecuaci n es: 0 JIzHyGxFxzEyzDxyCzByAx222 donde A, B, C, .., J son constantes. 1. Elipsoide. Tiene por ecuaci n 1czbyax222222 Las trazas del elipsoide son elipses, es decir, la intersecci n con planos paralelos a los planos coordenados es una elipse elipse 12c2z2b2y 0x Si elipse 12c2z2a2x 0 ySi elipse 12b2y2a2x 0z Si Facultad Regional La Plata lgebra y Geometr a Anal tica Superficies Cu dricas Ing.

2 Viviana CAPPELLO 2. Hiperboloide de una hoja. Tiene por ecuaci n 1222222 czbyaxLas trazas del hiperboloide son hip rbolas en planos paralelos al plano XZ y al YZ, mientras que en planos paralelos al XY las trazas son elipses. El eje por donde se abre el hiperboloide es por el eje cuya variable aparece en la ecuaci n negativa (en este caso eje z). La diferencia fundamental entre el hiperboloide de una hoja y el elipsoide es que tiene una variable con signo negativo. Hiperbola 12c2z2b2y 0x Si Hiperbola 12c2z2a2x 0 ySi Elipse 12b2y2a2x 0z Si Facultad Regional La Plata lgebra y Geometr a Anal tica Superficies Cu dricas Ing. Viviana CAPPELLO 3. Hiperboloide de dos hojas.

3 Tiene por ecuaci n 1czbyax222222 Las trazas de esta superficie son: Para planos paralelos a XZ , son hip rbolas al igual que para planos paralelos al YZ. Se diferencia de las otras Superficies ya que tiene dos variables negativas. 4. Paraboloides hiperbola 12b2y2c2z 0x si hiperbola 12a2x2c2z 0 ysi Facultad Regional La Plata lgebra y Geometr a Anal tica Superficies Cu dricas Ing. Viviana CAPPELLO Tiene por ecuaci n czbyax2222 Las trazas del paraboloide son: Para planos paralelos al XY son elipses, para planos paralelos al XZ o al YZ son par bolas. Su diferencia con las otras Cu dricas, es que tienen una variable que no est elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el mismo signo.

4 Gr fica hay no !!imposible! 12b2y2a2x 0z si par bola cz2b2y cz2b2y 0x Si par bola cz2a2x cz2a2x 0 ySi C rculo ba si y,Elipse ck2b2y2a2x K z Si Facultad Regional La Plata lgebra y Geometr a Anal tica Superficies Cu dricas Ing. Viviana CAPPELLO 5. Paraboloide hiperb lico. Tiene por ecuaci n czbyax2222 Su diferencia fundamental con las otras Superficies es que ella tiene en su ecuaci n una variable que no est elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el signos contrarios. Trazas: par bolas cz2b2y 0x si par bolas cz2a2x 0 ysi !rectas! Dos ybax 02b2y2a2x 0z si Facultad Regional La Plata lgebra y Geometr a Anal tica Superficies Cu dricas Ing.

5 Viviana CAPPELLO 6. Conos La superficie cu drica que tiene por ecuaci n Se denomina Cono. Las trazas del cono son: 7. Cilindro circular recto Cuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuaci n de la superficie , Entonces la superficie es un Cilindro. Por ejemplo: Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gr fica del cilindro se extender paralelo al eje z En el plano: En el Espacio: 2c2z2b2y2a2x rectas Dos zcb y 2c2z2b2y 0x Si rectas Dos zca x 2c2z2a2x 0 ySi b?a si Y Elipse, 2c2k2b2y2a2xK z si X Y Z 222ayx z Facultad Regional La Plata lgebra y Geometr a Anal tica Superficies Cu dricas Ing.

6 Viviana CAPPELLO 8. Cilindro circular recto con eje en el eje y: Considere la ecuaci n: En el plano: En el Espacio a x Y 222azx x z a x y z Facultad Regional La Plata lgebra y Geometr a Anal tica Superficies Cu dricas Ing. Viviana CAPPELLO 8. Cilindro parab lico: Considere la ecuaci n 20xy , que corresponde a una par bola en el plano xy, al variar z se obtiene la superficie En el plano En el espacio 9. Cilindro el ptico con eje en el eje z: Considere la ecuaci n de la elipse 2244yz en el plano yz , al recorrer el eje x se obtiene la superficie Facultad Regional La Plata lgebra y Geometr a Anal tica Superficies Cu dricas Ing.

7 Viviana CAPPELLO En el espacio En el plano 10. Cilindro hiperb lico con eje en el eje z: Considere la ecuaci n 221yx que corresponde a una hip rbola centrada en el (0,0) en el plano xy, al recorrer z se obtiene la superficie . En el espacio En el plano Facultad Regional La Plata lgebra y Geometr a Anal tica Superficies Cu dricas Ing. Viviana CAPPELLO