TEMA 12 – INICIACIÓN AL CÁLCULO DE …

1 Tema 12 Derivadas. Aplicaciones Matem ticas I 1 Bachillerato 1 TEMA 12 INICIACI N AL C LCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES TASA DE VARIACI N MEDIA DE UNA FUNCI N EN UN INTERVALO EJERCICIO 1 : Halla la tasa de variaci n media de la siguiente funci n en el intervalo [1, 2] e indica si f(x) crece o decrece en ese intervalo: xxxf322 Soluci n: 3131121121212 2 1, ff Como la tasa de variaci n media es positiva, la funci n es creciente en el intervalo [1, 2]. EJERCICIO 2 : Dada la funci n: 31 xxf Calcula la tasa de variaci n media en el intervalo [0, 1].

2 Es creciente o decreciente la funci n en dicho intervalo? Soluci n: 111110010f1f1,0 Como la tasa de variaci n media es positiva, la funci n es creciente en este intervalo. EJERCICIO 3 : Calcula la tasa de variaci n media de esta funci n, f(x), en los intervalos siguientes e indica si la funci n crece o decrece en cada uno de dichos intervalos: 0,1 a) 2,1 b) Soluci n: 211111110100, a) ff Como la tasa de variaci n media es positiva, la funci n es creciente en [ 1,0]. (Tambi n se puede apreciar directamente en la gr fica).

3 212012122, b) ff La funci n decrece en este intervalo. DERIVADA DE UNA FUNCI N EN UN PUNTO, APLICANDO LA DEFINICI N EJERCICIO 4 : Halla la derivada de la siguiente funci n en x = 1, aplicando la definici n de derivada: 12 xxf Soluci n: 2)1x(lim1x)1x).(1x(lim1x1xlim1x2)1x(lim1 x1fxflim1'f1x1x21x21x1x EJERCICIO 5 : .31 funci n la para(1)derivada, de definici n la utilizando Calcula, xxff Soluci n: 3131lim1x031xlim1x1fxflim1'f1x1x1x EJERCICIO 6 : Halla la derivada de la funci n f(x)=(x 1)2 en x=2, aplicando la definici n de derivada Soluci n: 2xlim2x2xxlim2xx2xlim2x11x2xlim2x11xlim2 x2fxflim2'f2x2x22x22x22x2x Tema 12 Derivadas.

4 Aplicaciones Matem ticas I 1 Bachillerato 2 EJERCICIO 7 : .xxf,f'2siendo 1calcula derivada, de definici n la Aplicando Soluci n: 2x2limx)1x()x1(2limx1xx22lim1xxx22lim1x2 x2lim1x1fxflim1'f1x1x1x1x1x1x FUNCI N DERIVADA, APLICANDO LA DEFINICI N EJERCICIO 8 : :derivadadedefinici n laaplicandoHallaf (x), a) 12 x(x)f b) 31 xxf c) 22xxf d) xxf1 e) 32xxf Soluci n: a) h1x1xh2hxlimh1x1hxlimhxfhxflimx'f2220h22 0h0h x2x2hlimhx2hhlimhxh2hlim0h0h20h b) 31h3hlimh3hlimh31x1hxlimh31x31hxlimhxfhx flimx'f0h0h0h0h0h c) hx2xh4h2x2limhx2xh2hx2limhx2hx2limhxfhxf limx'f2220h2220h220h0h x4x4h2limhx4h2hlimhxh4h2lim0h0h20h d) hxhxhlimhhxxhlimhhxxhxxlimhhxxhxxlimhx1h x1limhxfhxflimx'f0h0h0h0h0h0h 20hx1hxx1lim e) 32h3h2limh3h2limh3x2h2x2limh3x23hx2limhx fhxflimx'f0h0h0h0h0h C LCULO DE DERIVADAS INMEDIATAS EJERCICIO 9 : Halla la funci n derivada de.

5 523a)4 xxxf xexf b) 12c)23 xxxf xlnxf d) 32e)5xxxf xsenxf f) 513g)23 xxxf xcosxf h) 234i)23 xxxf xtgxf j) 122k)2 xxxf xxexf l) 213m)2 xxxf xsenxxf2 n) 31 )2 xxxf xlnxxf o) xxxf2p) xexxf13q) 323r)2 xxxf xsenxxf 3s) Soluci n: a) 2x21x'f3 b) xex'f x2x6x'f)c2 x1x'f)d 31x10x'f4 e) xcosx'f)f x6x3x'f)g2 senxx'f)h Tema 12 Derivadas. Aplicaciones Matem ticas I 1 Bachillerato 3 x6x12x'fi)2 xcos1x1x'fj)22 tg 22222221x24x2x21x24x2x2x41x222x1x2x2x'fk ) xxxex1xeex'fl) 22222222222x6x2x32xx2x66x32xx21x32x3x'fm ) xcosxsenxx2x'fn)2 22222223x1x6x3xx1x6x23xx13xx2x'f ) 1xlnx1xxlnx'fo) 2x2x21x'fp) x2xx2xxxex32e1x33eee1x3e3x'fq) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 18 6 3 2 6 18 12 3 2 2 3 3 2 6 x x x x x x x x x x x x ' f ) r s)

6 Xcosxxsenxxcosxxsenxxf 33231323131' C LCULO DE DERIVADAS EJERCICIO 10 : Halla la funci n derivada de: a) 423xxxf b) 143 xxf c) xxexf243 d) xxlnxf234 e) 321xxsenxf 393f)24xxxf 123g)22 xxxf xxexf h) 3128i)35 xxxf xexxxf3j)4 1k)2xxsenxf 5623l)34xxxf 123m)32 xxxf xxlnxf2n)4 532 )24xxxf xxxxf343o)2 32p)3 xxf 745321q)xxxf senxxfx er) 23s)2xxcosxf 324t)5xxxf xexxxf3u)2 11v)2xxsenxf 143w)7 xxxf 134x)23 xxxf 374y) xexf 3139z)42 xxxf 23431)xxxf xxlnxf322)5 7233)5xxxf cosxxxf44) 1125) xxexf 52346)

7 6 xxxf 127)2 xxxf 4328)xxxf Soluci n: a) 1634'32 xxxxf b) 14614212121421'323223 xxxxxxxf c) 212'2243 xexfxx Tema 12 Derivadas. Aplicaciones Matem ticas I 1 Bachillerato 4 d) xxxxxxxf23212212231'4334 e) 3x21x3x253x21x3x22x23x23x221x3x23x21xx'f 222coscoscos 3x18x12x'ff)3 22223322221xx21xx4x6x6x61xx22x31xx6x'fg) x1exeex'fh)xxx 24x6x40x'fi) x34x43x4x3e3x3x4xex3x3x4ex3xe3x4x'fj) 22221xx2x1x1xxcosx'fk) 1xxcos1x1x1xx21x1xxcos222222222 5x18x65x182x12x'fl)2323 23244232231x2x18x6x2x41x2x63x1x2x2x'fm) 23241x2x2x18x2 x2x2x42x4x2x1x'fn)4334 5x6x8x'f )3 2222222x3x12x8x9x6x9x3x3x3x24x3x3x3x'fo)

8 22231283xxxx 3x2x33x22x6x63x221x'fp)323223 63x521x2x'fq) xxxecosxsenxcosxesenxex'fr) 2xx3sen2xx66x32xx2x32x32xx3senx'fs)22222 2222 2xx3sen2x6x32xx3sen2x6x322222222 32x20x'f4 t) 3xxex3x3x2eex3xe3x2x'f2x2xx2x u) 22222222222221x1x2x1x1x1xx2x21x1x1x1xx21 x1x1x1xx'fcoscoscosv) 111122222xxcosxxx 43x7x'f6 w) Tema 12 Derivadas. Aplicaciones Matem ticas I 1 Bachillerato 5 222422424223221xx6x12x41xx6x8x12x121xx23 x41xx12x'f x) 3x7333x744ex28x28ex'f y) 3x12x18x'f z) 22422244222322x4x3x36x4x6x9x36x4x2x3x4x9 x'f 1) x3x23x103x10x3x21x'f5445 2) 72x15x'f4 3) senxxxx4senxxxx4x'f4343 coscos4) 221x1x2221x1x221x1x1x1x2xe1x1xx2x2e1x1x1 xx2ex'f222 5) 2x823x24x'f55 6) 22222222221x2x21xx42x21xx2x21x2x'f 7) 43434334x3x2x61x3x22x612x3x22x122x122x3x 221x'f 8) ECUACI N DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EJERCICIO 11.

9 Halla la ecuaci n de la recta tangente a la curva y=x2+ 2x-1 en el punto de abscisa x=1. Soluci n: y f(1) = f (1).(x 1) f(1) = 12 + 1 = 2 f (x) = 2x + 2 f (1) = 2 + 2 = 4 La recta ser : 2x4y1x42y EJERCICIO 12 : Escribe la ecuaci n de la recta tangente a la curva y = 2x2 - 3x que tenga pendiente 7. Soluci n: m = -7 = f (x) f (x) = 4x 3 = -7 x = -1 y f(-1) = f (-1).(x + 1) f(-1) = 2.(-1)2 3.(-1) = 2 + 3 = 5 f (-1) = -7 La recta ser : 2x7y1x75y EJERCICIO 13.

10 A paralela sea que curva la a tangente recta la de ecuaci n la Hallax y recta la 141 xy Soluci n: es recta la de pendiente La 41m La pendiente es igual a la derivada: 4x41x21 y f(4) = f (4)(x - 4) La recta ser : 1x41y4x412y Tema 12 Derivadas. Aplicaciones Matem ticas I 1 Bachillerato 6 ESTUDIO DE LA MONOTON A DE UNA FUNCI N EJERCICIO 14 : Estudia el crecimiento y el decrecimiento de las siguientes funciones: a) 1232 xxxf b) 32xxf c) 23123xxxf d) 22 xxf e) 2132 xxxf Soluci n.