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Tema 3: Identidades Trigonométricas. Resolución de un ...

Matem ticas 1 Bachillerato CCNN Ra l Gonz lez Medina 2017 Identidades trigonom tricas. resoluci n de tri ngulos cualesquiera III-1 tema 3 : Identidades Trigonom tricas. resoluci n de un tri ngulo cualquiera. Identidades Trigonom tricas Razones trigonom tricas de la suma de dos ngulos Razones trigonom tricas de la diferencia de dos ngulos Razones trigonom tricas del ngulo doble Razones trigonom tricas del ngulo mitad Transformaciones de sumas en productos Teorema del seno Teorema del Coseno resoluci n de un tri ngulo cualquiera Ecuaciones y Sistemas Trigonom tricos Aplicaciones de la trigonometr a Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos Matem ticas 1 Bachillerato CCNN Ra l Gonz lez Medina 2017 Identidades trigonom tricas. resoluci n de tri ngulos cualesquiera III-2 La Trigonometr a es la rama de las matem ticas que estudia las relaciones entre los lados y los ngulos de los tri ngulos.

que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones. Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización,

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1 Matem ticas 1 Bachillerato CCNN Ra l Gonz lez Medina 2017 Identidades trigonom tricas. resoluci n de tri ngulos cualesquiera III-1 tema 3 : Identidades Trigonom tricas. resoluci n de un tri ngulo cualquiera. Identidades Trigonom tricas Razones trigonom tricas de la suma de dos ngulos Razones trigonom tricas de la diferencia de dos ngulos Razones trigonom tricas del ngulo doble Razones trigonom tricas del ngulo mitad Transformaciones de sumas en productos Teorema del seno Teorema del Coseno resoluci n de un tri ngulo cualquiera Ecuaciones y Sistemas Trigonom tricos Aplicaciones de la trigonometr a Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos Matem ticas 1 Bachillerato CCNN Ra l Gonz lez Medina 2017 Identidades trigonom tricas. resoluci n de tri ngulos cualesquiera III-2 La Trigonometr a es la rama de las matem ticas que estudia las relaciones entre los lados y los ngulos de los tri ngulos.

2 Los babilonios y los egipcios (hace m s de 3000 a os) fueron los primeros en utilizar los ngulos de un tri ngulo y las razones trigonom tricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcci n de pir mides. Tambi n se desarroll a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronom a mediante la predicci n de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegaci n y en el c lculo del tiempo y los calendarios. El estudio de la trigonometr a pas despu s a Grecia, en donde se destaca el matem tico y astr nomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometr a. Las tablas de cuerdas que construyo fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonom tricas de la actualidad. Desde Grecia, la trigonometr a pas a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronom a. Y desde Arabia se difundi por Europa, donde finalmente se separa de la Astronom a para convertirse en una rama independiente que hace parte de la matem tica.

3 Es as , como en este trabajo, se expondr la historia y desarrollo de la trigonometr a y de acuerdo a esto, fechas, pocas y principales precursores o personajes que lideraron el proceso o dieron los pasos fundamentales para el posterior desarrollo de esta importante rama de las matem ticas. Junto con esto, una biograf a de cada uno de los exponentes y una l nea del tiempo con personajes y descubrimientos para una mayor comprensi n. En el libro Sintaxis matem tica escrito por Ptolomeo de Alejandr a, (100-170) aproximadamente en el a o 150, y que en occidente fue conjocido como Almagesto (el m s grande), se inclu a el Teorema de Ptolomeo. En el siglo XV, el matem tico Johann M ller Regiomontano (1436-1476) escribi su obra De triangulis omnimodis libri quinque , en la que se presenta la trigonometr a plana y esf rica como una disciplina matem tica independiente de la astronom a, y en la que su autor, hace una trigonometr a basada en senos y cosenos no en cuerdas como se hab a hecho hasta el momento.

4 En esta obra, se encuentran f rmulas como las que se van a estudiar en este cap tulo que transforman porductos de senos y cosenos en sumas de senos y cosenos. Es ste, el mismo principio que con posterioridad se aplic en el c lculo logar tmico. Georg Joachim Rheticus, (1514-1574) profesor de matem ticas en Wittemberg, alumno y amigo de Nicol s Cop rnico, hizo en 1551 una tabla de las funciones trigonom tricas con 7 cifras y ngulos de 10 en 10 . En esta obra se utilizan por primera vez los lados de un tri ngulo rect ngulo para definir las razones trigonom tricas. Las Identidades trigonom tricas son igualdades que involucran funciones trigonom tricas. Estas Identidades son siempre tiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonom tricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ngulos para los cuales est n definidas estas razones.

5 Las Identidades trigonom tricas nos permiten plantear una misma expresi n de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas , usamos la factorizaci n, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonom tricas utilizaremos estas t cnicas en conjunto con las Identidades trigonom tricas. En el cap tulo anterior, hemos visto las razones trigonom tricas seno, coseno y tangente, adem s de las razones inversas, secante, cosecante y cotangente y las relaciones pitag ricas entre ellas que dan lugar a la ecuaci n fundamental de la trigonometr a: 22cos1sen Introducci n Identidades trigonom tricas Matem ticas 1 Bachillerato CCNN Ra l Gonz lez Medina 2017 Identidades trigonom tricas. resoluci n de tri ngulos cualesquiera III-3 Y las dos Identidades que de ella se derivan, ya sea dividiendo por el seno cuadrado o por el coseno cuadrado: 22221sec1 cotcosectg En la tabla siguiente recogemos la relaci n entre las distintas razones trigonom tricas: Para deducir las razones trigonom tricas de la suma de dos ngulos, nos ayudaremos de la siguiente construcci n en la que los ngulos ADE, ABC y EFC son rect ngulos, y adem s los tri ngulos ADE y EFC son semejantes (tienen los mismos ngulos) por tener sus lados perpendiculares.

6 En la figura, el seno de + lo calcularemos de la siguiente forma: BCBFFCDEFCDEFCsenACACACACAC (Ec. 1) Teniendo en cuenta que en el tri ngulo ADE, DEsenDEAE senAE Y que en el tri ngulo CFE, cos cos FCFCCECE Si sustituimos en la expresi n ( ), tenemos: cos cos DEFCAE senCEAECE sensenACACACACACAC (Ec. 2) Si nos fijamos en el ngulo , tenemos: Razones trigonom tricas de la suma de dos ngulos. Seno de la suma de ngulos Matem ticas 1 Bachillerato CCNN Ra l Gonz lez Medina 2017 Identidades trigonom tricas. resoluci n de tri ngulos cualesquiera III-4 cos CEAE senyACAC Y si sustituimos esto en la ecuaci n (Ec. 2), nos queda: coscos cos AECE sensensensenACAC Por tanto, el seno de la suma de dos ngulos lo calcularemos: cos cos sensensen De modo similar, y fij ndonos otra vez en la construcci n anterior, calcularemos el coseno de + : cos ABAD BDAD FEADFEACACACACAC (Ec.)

7 3) Teniendo en cuenta que en el tri ngulo ADE, cos cos ADADAEAE Y que en el tri ngulo CFE, sen FEsenFECECE Si sustituimos en la expresi n (Ec. 3), tenemos: cos cos ADFEAE CosCE senAECEsenACACACACACAC ( ) Si nos fijamos en el ngulo , tenemos: cos CEAE senyACAC Y si sustituimos esto en la ecuaci n (Ec. 4), nos queda: cos cos cos cos AECE sensen senACAC Por tanto, el coseno de la suma de dos ngulos lo calcularemos mediante: coscos cos sen sen Sabiendo que la tangente de un ngulo es el cociente entre el seno y el coseno de dicho ngulo, tenemos: cos coscoscos cos sensensentgsen sen Coseno de la suma de ngulos Tangente de la suma de ngulos Calcula: EJEMPLO Calcula: EJEMPLO Matem ticas 1 Bachillerato CCNN Ra l Gonz lez Medina 2017 Identidades trigonom tricas.

8 resoluci n de tri ngulos cualesquiera III-5 Para simplificarla un poco, dividiremos numerador y denominador por cos cos : coscos coscos coscos coscos coscos cos cos cos cos coscos cossensensensentgsen sensen sen cossen cos cossen cos cos cos coscos cos tgtgcoscos 1 tg tg 1cos coscos cossensensen sensen sen Por tanto, la tangente de la suma de ngulos se calcula mediante: t gtg1 tg tgtg Las razones trigonom tricas de la diferencia de dos ngulos se obtienen a partir de las de la suma, que ya hemos visto en el apartado anterior, pero cambiando en stas el ngulo , por . Esto implicar un cambio de signo en el seno y en la tangente, mientras que el signo del coseno permanecer invariable. Si el seno de la suma es: co s co ss e ns e ns e n , y cambiamos por , obtenemos: cos coscos cos sensensensensen Por tanto: cos cos sensensen Si el coseno de la suma es: co sco s co s s e ns e n, y cambiamos por , obtenemos: coscoscos cos cos cos sensensen sen Por tanto: coscos cos sen sen Como la tangente se define como el cociente entre el seno y el coseno, tendremos: cos coscoscos cos sensensentgsen sen Si hacemos como en el caso de la tangente de la suma de dos ngulos, que divid amos numerador y denominador por cos cos , tenemos.

9 Coscos coscos coscos coscos coscos cos cos cos cos coscos cossensensensentgsen sensen sen cossen cos cossen cos cos cos coscos cos tg -tgcoscos 1+tg tg 1cos coscos cossensensen sensen sen Por tanto, la tangente de la diferencia de ngulos se calcula mediante: tgtg1 tg tgtg Razones trigonom tricas de la diferencia de dos ngulos. Seno de la diferencia de dos ngulos Coseno de la diferencia de dos ngulos Tangente de la diferencia de dos ngulos Matem ticas 1 Bachillerato CCNN Ra l Gonz lez Medina 2017 Identidades trigonom tricas. resoluci n de tri ngulos cualesquiera III-6 En este caso, vamos a obtener las razones trigonom tricas del ngulo doble, 2 , en funci n de las del ngulo , para ello, como 2 = + , y de acuerdo con las f rmulas que hemos aprendido para el ngulo suma, tenemos: cos2 2coscos ssensensenensen 22coscos cosc sco o 2sssenen sen 2tg2tgtg 2tgtg1 tg1 tg tg Para calcular las razones trigonom tricas del ngulo mitad, tendremos en cuenta que: 22 , con ello, y utilizando el coseno del ngulo doble, tenemos que: 22cos cos 2 cos222sen Por otro lado, utilizando la ecuaci n fundamental de la trigonometr a, tenemos: 22cos 122sen Si ordenamos y restamos la segunda de la primera, tenemos.

10 222222222cos cos221 coscos cos2 222221cos22sensensensensen Por tanto: 21 cos 2 2sen Y de d nde despejando el sen ( /2), tenemos: 1 cos22sen Razones trigonom tricas del ngulo doble Seno del ngulo doble: Coseno del ngulo doble: Tangente del ngulo doble: Razones trigonom tricas del ngulo mitad Seno del ngulo mitad: Matem ticas 1 Bachillerato CCNN Ra l Gonz lez Medina 2017 Identidades trigonom tricas. resoluci n de tri ngulos cualesquiera III-7 Mediante un proceso similar, pero en vez de restar las ecuaciones las sumamos, obtenemos: 222222222cos cos22 1 coscos cos2 cos222221cos22sensensensen Por tanto: 21 cos 2 cos2 Y de d nde, despejando el cos( /2), se obtiene: 1 coscos22 Para calcular la tangente del ngulo mitad, dividimos seno entre coseno: 1 cos1 cos1 cos2221 cos21 cos1 coscos222sentg Por tanto: 1 cos2 1 costg Si la trabajamos un poco.


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