Tema 7 Intervalos de confianza - UDA

1 Tema 7 Intervalos de confianzaHugo S. Salinas1 Tema 72 Introducci nTema 7 Hemosdefinidolainferenciaestad sticacomounprocesoqueusainformaci nprovenientedelamuestraparageneralizaryt omardecisionesacercadetodalapoblaci ,hastaelmomentohemostrabajadolamuestrayl apoblaci ,trabajamosherramientas tilesenelan lisisexploratoriodelosdatosprovenientesd eunamuestra,tantogr ficoscomores menesnum ricosparaextraerinformaci ndeinter ,atrav sdellenguajedelaprobabilidad,tratamoslos modelosparalaspoblacionesquepuedenserdei nter s,sobrelascualesnosinteresasacarconclusi ones,otomarunadecisi ,susdistribucionesdeprobabilidad,par sticasdelan lisisexploratoriodedatosydelainferenciae stad stica:3 Introducci n 7 Muchasdelast cnicasutilizadaseninferenciaexigen,tambi n,queladistribuci ndelosdatostengadeterminadascaracter lisisdedatosesdegranayudaenesteaspecto,p aradescubrirobservacionesat ,enlapr cticapodemosobservarcomoelan lisisexploratoriodelosdatosylainferencia estad n 7 Comosesabe,muyfrecuentementeesnecesarios eleccionarunamuestradeunidadesdelapoblac i n,paraextraerconclusionesrespectodelamis ma.

2 Cuandoelinter sresideengeneralizarlasconclusionesdelos resultadosobservadosalapoblaci nenestudiooqueremostomarunadecisi nsobrelapoblaci nenbaseaunamuestra,estamosfrenteaunprobl emadeinferenciaestad ,debemostenerencuenta: Plantear claramente el problema. Delimitar la poblaci n en estudio. Definirsielobjetivoresideenestimarelvalo rdeunpar metrodesconocidodelapoblaci n(porej. , ,p)apartirdeunestad sticocalculadoconlosdatosdeunamuestraode cidirsobrevaloreshipot ticosqueasignamosadichospar metros. Haceruncorrectodise oparalaobtenci cnicasparalainferenciaqueseutilizar ns loser nv lidossilamuestraesobtenidaporm todosaleatorios,quesonlosm todosquedanconfianzadeseleccionarmuestra srepresentativasdelapoblaci oparalaobtenci ndelosdatos,eslamejorgarant adequelainferenciatengavalor.

3 Tenerencuentayverificarlosrequerimientos delast cnicasaaplicar5 Par metros y estad sticosTema 7 Unpar metroesunn meroquedescribealg naspectodelapoblaci ctica,enlamayor adeloscasos(poblaci ninfinita,pruebasdestructivas,etc)elvalo rdelpar sticoesunn metrodesconocido, metroesfijo,mientrasqueelvalordeunestad sticoest enfunci ndelamuestraseleccionadayporlotantopodr ,pudi ramosmedirlaprecisi ndeesteproceso,esdecir,sipudi ramosevaluarsielvalordelestad sticovaaestarcercadelvalordelpar metrocorrespondiente,paracualquiermuestr aextra dadelapoblaci n,entoncesestar dondelat cnicademuestreoyeltama ,endondecadaelementodeunamuestradetama onesunavariablealeatoria,siendoX1,X2.

4 ,Xn,variablesindependientesentres .S locuandoseutilizaelazarparaescogerlosele mentosqueconformanunamuestra,podemosdesc ribirc movar aelestad ndistintasmuestrasdelmismotama o,podemosencontrarladistribuci nmuestraldelestad stico, n de la media muestralTema 77 Tema 7 Distribuci n de la media muestral 7(a)Laaparienciageneraldeladistribuci ntessimilaraladeladistribuci nnormalest ndar:ambassonsim tricasyunimodalesyelvalorm ximodelaordenadasealcanzaenlamedia = ntienecolasm samplias(om spesadas) ntdistintaparacadatama ntvienedeterminadaporunpar ,lacurvadedensidadtseparecem salacurvadelaN(0,1),yaquelaestimaci nde porS(desviaci nest ndarmuestral)sevahaciendom ,yaqueelcentrodesudistribuci nmuestralesigualalvalordelpar ndelestimadoryvemosqueamedidaqueeltama omuestralcrecelaprecisi ndelestimadoresmayor,yaquelavariaci nalrededordelpar metrodesconocidodisminuye(propiedaddecon vergencia).

5 Siladistribuci ndeunestad sticomuestravaloresmuyalejados,sediceque carecedeprecisi :queseainsesgadoyconvergente:Distribuci n de la media muestral 7 Distribuci n de la media muestral general, la notaci n que utilizaremos para los estimadores es la siguiente:10 Distribuci n de la frecuencia relativa o proporci n muestralTema 711 Tema 7 Distribuci n de la frecuencia relativa o proporci n muestral 7 Distribuci n de la varianza muestral13 Tema 7 Distribuci n de la varianza muestral cont.(b)Lasdistribucionesjicuadrado(ochi cuadrado)sonunafamiliadedistribucionesqu es lotomanvalorespositivosyquesonasim njicuadradovienedeterminadaporunpar ,lascurvasdedensidadsonmenosasim tricasyporlotanto,losvaloresmayoressonm 7 Resumiendo, quesieltama odemuestraesm sgrande,ladistribuci ndeestosestimadorestiendeacentrarsem sym salrededordelvalordelpar cticanoseconocer elverdaderopar metropoblacional(poresolaestimaci n)ysetomar unasolamuestra(nomuchascomocuandosesimul ladistribuci ndelpromediomuestral),perosonlaspropieda des(insesgadoyconvergencia)

6 Lasquegarantizanquecuandolamuestraqueset omaseagrandehabr unaaltaprobabilidaddequeelvalorquetomael estimador(estimaci n)est cercadelverdaderovalordelpar n de la varianza muestral 7 Intervalos de confianza (IC) sticanosproporcionam todosparasacarconclusionessobreunapoblac i napartirdelosdatosquesurjandeunamuestrad edichapoblaci n, sampliamenteutilizadosdeinferenciaestad sticason:laconstrucci ndeunintervalodeconfianzacuandoelobjetiv oseaestimarunpar metropoblacionalylapruebadehip tesis,cuandoelobjetivoseatomarunadecisi nrespectodeunahip tesisqueseformulasobreelvalordeunpar locuandoseutilizaelazarparaescogerlosele mentosqueconformanunamuestra,podemosdesc ribirc movar aelestad qu tancercanaquedalamediadelamuestraX,delam ediadelapoblaci n ?

7 Enestetemayenelpr dodeunapoblaci n qu sepuedeconcluiracercadelospar metrosdesconocidosdelamisma?Esteprocesoi nvolucraunainducci n,oinferenciaestad stica:irdeloparticular(muestra)alogenera l(poblaci n).Siemprenosbasaremosendatosqueproceden deunamuestraaleatoriasimpledeunapoblaci ,parainferirbuenosestimadores:estimadore sinsesgadosdelpar 7 Intervalos de confianza metropoblacional,elmismosepuedeestimarap artirdeunintervalodeconfianzaparadichopa r ,calculadoapartirdelosdatosdeunamuestraa leatoria,selefijaunniveldeconfianzaquemi delaprobabilidaddequeelintervalocontenga elverdaderovalordelpar :unintervaloparaunpar metropoblacional,calculadoconun95%deconf ianza,esunintervaloquetieneunaprobabilid adde95%decontenerelverdaderovalordelpar , 2op,obteniendounamedidadelaprecisi ndelaestimaci nyotrasobrecu lesnuestraconfianzadequeelresultadoseaco rrecto,comoveremosacontinuaci ndelpar metrodesconocido ,cuandolosdatossonunamuestraaleatoriasim pledetama para la media poblacional con varianza conocidaTema 7 Anteriormente,supon amosconocidalamediapoblacional yestudiamosparamuestrasdedistintostama os,qu tancercaolejospod ,siseconsideraunapoblaci nnormaldonde = npoblacional =1.

8 Yseextraenmuestrasdetama o100, nest ndar1 mbolos:18 Tema 7IC para la media poblacional con varianza conocida 7 Por lo tanto, el 95% de los promedios muestrales estar n entre y :IC para la media poblacional con varianza conocida 7IC para la media poblacional con varianza conocida ,losl mitesdejandeseraleatoriosdadoqueobtenemo sunvalordelpromediodelamuestraselecciona dayenconsecuenciahablamosdeunintervalode confianzade95% las siguientes situaciones para una muestra extra da de tama o 100:21 Tema 7IC para la media poblacional con varianza conocida cont. La media muestral resulta igual a Luego el intervalo de confianza para es:Esteintervalo( ; )contienealamediapoblacional =.

9 :(4,404; ),tambi nnosllevar . :( ; )nocontienealpar metro;nosllevar . :( ; )nosllevar . Todasestassituacionessepuedenvisualizare nlafigurasiguiente:22 Tema 7IC para la media poblacional con varianza conocida ,elintervalodeconfianzacontienealverdade rovalorde , 7IC para la media poblacional con varianza conocida ,siemprequelamedia(opromedio)est ,elintervalocubrir alverdaderovalordelpromediopoblacionalye stosuceder enun95% nyesunamedidadelaprecisi ndelaestimaci nparaunintervalode95% cticas loseseleccionaunamuestraysedesconoce . , ( ; ).Esteintervaloeselquevar aenfunci metroes 7 Siapartirdelmismoejemplosehubieratrabaja doconunaconfianzade99%,elerrordeestimaci nresultar a:IC para la media poblacional con varianza conocida general, para una confianza de 100 (1- ) % el error de estimaci n resulta:Y el intervalo de confianza para la media poblacional con varianza conocida es:Silapoblaci nesNormal,nointeresaeltama odelamuestraaleatoriaqueseseleccionapara estimar.

10 Silapoblaci nnoesNormal,senecesitauntama odemuestradeporlomenos30observaciones(Te oremaCentraldelL mite)parausarlaexpresi o de la muestra para estimar Tema 7 Siempre es necesario planificar la inferencia conjuntamente con la obtenci n de los el error de estimaci n para la media es:Eltama odemuestraparaunerrordeestimaci n yunniveldeconfianzadeterminadosededucede laecuaci nanterior,resultando:Esimportantetenercl aroqueloquedeterminaeltama odelamuestraeselerrordeestimaci nylaconfianzaquesepretendepararealizarla estimaci nynoeltama odelapoblaci n,yaque stenoinfluyesobreeltama rmula(redondearnsiemprehaciaarriba) cticalaobtenci odelamuestraidealseainviableporrazonesec on para la media con varianza desconocidaTema 7 Enelpuntoanteriorestimamoselpromediopobl acionalsuponiendoladesviaci nest ctica,espocoprobableconocerelvalorde.