TEMA 8 – GEOMETRÍA ANALÍTICA 8.1 RELACIONES …

1 Tema 8: Geometr a Anal tica Matem ticas B 4 ESO 1 TEMA 8 GEOMETR A ANAL TICA RELACIONES ENTRE PUNTOS DEL PLANO 4 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO 4 Dados dos puntos A(x1,y1), B(x2,y2) Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de sus extremos: M = ++2yy,2xx2121 4 COMPROBACI N SI TRES PUNTOS EST N ALINEADOS 4 Si tres puntos A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) est n alineados, entonces los dos tri ngulos son semejantes, y por tanto sus lados son proporcionales Los puntos A, B y C estar n alineados si 23231212xxyyxxyy = ECUACIONES DE RECTAS DEFINICI N La ecuaci n de una recta es una relaci n algebraica entre las coordenadas (x, abscisa e y, ordenada) de todos sus puntos.

2 En la ecuaci n de una recta, llamamos (x,y) a las coordenadas de un punto cualquiera, variable. Se suele denominar punto gen rico de la recta. BISECTRICES DE LOS CUADRANTES La bisectriz del primer cuadrante (l nea roja), tiene la peculiaridad de que sus puntos (0,0), (1,1), (7,7), (-4,-4),.. Tienen iguales sus coordenadas. Por eso, su ecuaci n es : y = x La bisectriz del segundo cuadrante (l nea azul), tiene la peculiaridad de que sus puntos (0,0), (1,-1), (-7,7), (4,-4),.. Tienen sus coordenadas iguales pero de distinto signo. Por eso, su ecuaci n es : y = -x OTRAS RECTAS QUE PASAN POR EL ORIGEN Las rectas que pasan por el origen de coordenadas tienen por ecuaci n y = mx, donde m es la pendiente.

3 A B M Tema 8: Geometr a Anal tica Matem ticas B 4 ESO 2 RECTAS PARALELAS A LOS EJES Las rectas paralelas al eje X son de la forma y = k. El propio eje X tiene de ecuaci n y = 0 Las rectas paralelas al eje Y son de la forma x = k. El propio eje Y tiene de ecuaci n x = 0 ECUACI N DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS Dados dos puntos A(x1,y1), (x2,y2) Pendiente de una recta: m = 1212xxyyxy = Tomando uno cualquiera de los puntos, por ejemplo A(x1,y1) y la pendiente, m, la ecuaci n de la recta es: y y1 = m.(x x1) PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 4 PENDIENTE DE RECTAS PARALELAS 4 Dos rectas paralelas tienen la misma inclinaci n, por tanto tienen la misma pendiente.

4 4 PENDIENTE DE UNA RECTA PERPENDICULAR A OTRO 4 Las pendientes m1 y m2 de dos rectas perpendiculares se relacionan as : = -1 m2 = -1m1 POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS 4 POSICI N RELATIVA DE DOS RECTAS 4 Dos rectas en el plano, pueden ser: - Coincidentes : Tienen infinitos puntos en com n - Secantes: Tienen un punto en com n - Paralelas: No tienen ning n punto en com n 4 ESTUDIO DE LA POSICI N RELATIVA DE DOS RECTAS 4 Anal ticamente: Resolvemos el sistema - No tiene soluci n: Paralelas - Una soluci n: Secantes - Infinitas soluciones: Coincidentes Gr ficamente: Dibujar las dos rectas en los mismos ejes Tema 8: Geometr a Anal tica Matem ticas B 4 ESO 3 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 4 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 4 La distancia entre dos puntos A(x1,y1), B(x2,y2) se halla aplicando el teorema de Pit goras en el tri ngulo rect ngulo rojo: dist(A,B) = 212212)yy()xx( + ECUACI N DE UNA CIRCUNFERENCIA 4 ECUACI N DE LA CIRCUNFERENCIA 4 Todos los puntos de la circunferencia cumplen que su distancia al centro es igual al radio.

5 Aplicaremos esta propiedad para hallar la ecuaci n de un circunferencia de centro C(a,b) y radio r. Llamamos P(x,y) a un punto cualquiera (punto gen rico) de la circunferencia: ()r)by(ax22= + Elevando al cuadrado: (x a)2 + (y b)2 = r2 REGIONES EN EL PLANO La ecuaci n de una recta o de una circunferencia determina regiones en el plano. Una recta y = mx + n +<+>nmxy:2gi nRenmxy:1gi nRe Una circunferencia: (x a)2 + (y b)2 = r2 > + < + r)by()ax(:Exteriorr)by()ax(:Interior2222 Los sistemas de inecuaciones sirven para describir recintos que se obtienen como intersecci n de los anteriores.