TEMI SVOLTI - dmi.units.it

1 Pierpaolo OmariMaurizio TrombettaTEMI SVOLTIDIANALISI MATEMATICA ITrieste Udinegiugno 2005 PrefazioneQuesto volume raccoglie i temi assegnati alle prove d esame dei corsi di Analisimatematica I per la laurea triennale in Ingegneria, presso l Universit`a degliStudi di Trieste, durante gli anni accademici 2001-02, 2002-03, esercizi si riferiscono ai seguenti argomenti: numeri reali e complessi;funzioni elementari; limiti, continuit`a, derivate e integrali, eventualmente ge-neralizzati, di funzioni di una variabile. I quesiti, di varia natura e complessit`a,sono 254 di cui 158 completamente risolti. Gli esercizi non SVOLTI riguardanosolo alcune prove intermedie e sono comunque piccole variazioni di problemigi`a raccomanda allo studente che utilizzer`a questo testo di curare, in primoluogo, la propria preparazione teorica, poi di cimentarsi autonomamente nellarisoluzione degli esercizi e in fine, soltanto dopo aver elaborato una propriarisposta di leggere lo svolgimento qui anticipatamente chiunque vorr`a gentilmente segnalarci queglierrori, che sicuramente sono presenti nel testo e che finora ci sono - , Udine - Trieste, giugno 2005 Pierpaolo OmariDipartimento di Matematica e InformaticaUniversit`a degli Studi di TriesteEmail: TrombettaDipartimento di Matematica e InformaticaUniversit`a degli Studi di UdineEmail: Anno Accademico 2001 - Prove Intermedie.

2 6 ottobre 2001 TemaA.. 6 ottobre 2001 TemaB.. 6 ottobre 2001 TemaC.. 6 ottobre 2001 TemaD.. 20 ottobre 2001 TemaA.. 20 ottobre 2001 TemaB.. 20 ottobre 2001 TemaC.. 20 ottobre 2001 TemaD.. 10 novembre 2001 TemaA.. 10 novembre 2001 TemaB.. 10 novembre 2001 TemaC.. 10 novembre 2001 TemaD.. 17 novembre 2001 TemaA.. 17 novembre 2001 TemaB.. 17 novembre 2001 TemaC.. 17 novembre 2001 TemaD.. 1 dicembre 2001 TemaA.. 1 dicembre 2001 TemaB.. 1 dicembre 2001 TemaC.. 1 dicembre 2001 TemaD.. 22 dicembre 2001 TemaA.. 22 dicembre 2001 TemaB.. 22 dicembre 2001 TemaC.. 22 dicembre 2001 TemaD.. Temi d esame .. 14 gennaio 2002 .. 28 gennaio 2002 .. 11 febbraio 2002.

3 17 giugno 2002 .. 1 luglio 2002 .. 15 luglio 2002 .. 16 settembre 2002 .. 492 Anno Accademico 2002 - Prove intermedie .. 25 ottobre 2002 TemaA.. 25 ottobre 2002 TemaB.. 25 ottobre 2002 TemaC.. 25 ottobre 2002 TemaD.. 22 novembre 2002 TemaA.. 22 novembre 2002 TemaB.. 22 novembre 2002 TemaC.. 22 novembre 2002 TemaD.. 20 dicembre 2002 TemaA.. 20 dicembre 2002 TemaB.. 20 dicembre 2002 TemaC.. 20 dicembre 2002 TemaD.. Temi d esame .. 7 gennaio 2003 .. 20 gennaio 2003 .. 10 febbraio 2003 .. 9 giugno 2003 .. 23 giugno 2003 .. 14 luglio 2003 .. 15 settembre 2003 .. 993 Anno Accademico 2003 - Prove intermedie .. 25 ottobre 2003 TemaA.. 25 ottobre 2003 TemaB.. 25 ottobre 2003 TemaC.

4 25 ottobre 2003 TemaD.. 21 novembre 2003 TemaA.. 21 novembre 2003 TemaB.. 21 novembre 2003 TemaC.. 21 novembre 2003 TemaD.. 19 dicembre 2003 TemaA.. 19 dicembre 2003 TemaB.. 19 dicembre 2003 TemaC.. 19 dicembre 2003 TemaD.. Temi d esame .. 12 gennaio 2004 .. 26 gennaio 2004 .. 16 febbraio 2004 .. 7 giugno 2004 .. 28 giugno 2004 .. 14 luglio 2004 .. 13 settembre 2004 .. 1451 Anno Accademico 2001 - Prove 6 ottobre 2001 TemaA Esercizio determinino tutti glix Rtali che il numero complesso2i x+ 12x+iha parte immaginaria 12,12 SvolgimentoSi ha che2i x+ 12x+i=2i x+ 12x+i 2x i2x i=4x+i(4x2 1)4x2+ 1ha parte immaginaria nulla se e solo se4x2= 1,cio`e(x= 1/2) (x=1/2).12 Anno Accademico 2001 - 2002 Esercizio calcoli10 k=0(10k) la formula di Newton per lo sviluppo del binomio, si ottiene10 k=0(10k) 999k=10 k=0(10k) 999k 110 k= (999 + 1)10= 1030.

5 Esercizio determinino gli estremi inferiore e superiore dell insiemeA=]1, 3[ [ 2,3],specificando se sono rispettivamente minimo e 2 = minA,supA= 3 (maxAnon esiste)SvolgimentoPoich eA=[ 2, 3[,si hainfA= 2 A,supA= 3/ Prove 6 ottobre 2001 TemaB Esercizio determinino tutti glix Rtali che il numero complessoi x+ 2x+ 2iha parte immaginaria nulla. Esercizio calcoli100 k=0(100k) 99k. Esercizio determinino gli estremi inferiore e superiore dell insiemeA=]0, 2[ [1, 3],specificando se sono rispettivamente minimo e 6 ottobre 2001 TemaC Esercizio determinino tutti glix Rtali che il numero complesso3i x+ 13x+iha parte immaginaria nulla. Esercizio calcoli10 k=0(10k) 99k. Esercizio determinino gli estremi inferiore e superiore dell insiemeA=[0, 2] ]1, 3[,specificando se sono rispettivamente minimo e Accademico 2001 - 6 ottobre 2001 TemaD Esercizio determinino tutti glix Rtali che il numero complessoi x+ 3x+ 3iha parte immaginaria nulla.]]

6 Esercizio calcoli100 k=0(100k) 999k. Esercizio determinino gli estremi inferiore e superiore dell insiemeA=[1, 3] ] 2,3[,specificando se sono rispettivamente minimo e 20 ottobre 2001 TemaA Esercizio dimostri, applicando la definizione di limite, chelimn + en+ en+ =e .SvolgimentoSi deve dimostrare che( >0)( n N)( n N)(n > n en+ en+ e < ).Fissato >0, si cerca ntale che per ognin > nsi abbia en+ en+ e < .Poich e en+ en+ e = (1 +e )en+ (1 +e )en,basta prendere n >log (1 +e ) . Prove Intermedie5 Esercizio consideri la funzionef(x) = 4 arcsin(1 log(x 1)).ISi determini il dominio ha{x 1>0 1 1 log(x 1) 1 {x >1 2 log(x 1) 0 {x >11 x 1 e2 {x >12 x e2+ 1 2 x e2+ 1e quindidomf= [2, e2+ 1].ISi provi chef`e una funzione strettamente ognix1, x2 domf, si hax1< x2 log(x1 1)<log(x2 1) 1 log(x1 1)>1 log(x2 1) 4 arcsin(1 log(x1 1))>4 arcsin(1 log(x2 1)).}}}}

7 ISi determini l insieme degliy Rtali che l equazionef(x) =yammette unasoluzionex haf(x) =y arcsin(1 log(x 1)) =y4 { /2 y/4 /21 log(x 1) = siny/4 { 2 y 2 x= 1 + exp(1 siny/4).e quindiimmf= [ 2 ,2 ].6 Anno Accademico 2001 - 20 ottobre 2001 TemaB Esercizio dimostri, applicando la definizione di limite, chelimn + n+e e n+e= e. Esercizio consideri la funzionef(x) =2 arcsin(1 log(x+ 1)).ISi determini il dominio provi chef`e una funzione strettamente determini l insieme degliy Rtali che l equazionef(x) =yammette unasoluzionex 20 ottobre 2001 TemaC Esercizio dimostri, applicando la definizione di limite, chelimn + n e e n+e= e. Esercizio consideri la funzionef(x) = 2 arcsin(1 + log(1 x)).ISi determini il dominio provi chef`e una funzione strettamente determini l insieme degliy Rtali che l equazionef(x) =yammette unasoluzionex Prove 20 ottobre 2001 TemaD Esercizio dimostri, applicando la definizione di limite, chelimn + en en+ =e.}}

8 Esercizio consideri la funzionef(x) =1 arcsin(1 log(1 x)).ISi determini il dominio provi chef`e una funzione strettamente determini l insieme degliy Rtali che l equazionef(x) =yammette unasoluzionex 10 novembre 2001 TemaA Esercizio calcolilimx 0 2x SvolgimentoSi halimx 0 2x 13x= limx 0(e2xlog 12xlog 2xlog 3x)=23log .8 Anno Accademico 2001 - 2002 Esercizio calcolilimx + x2 (cos1x 1).Risultato 12 SvolgimentoSi halimx + x2 (cos1x 1)= limx + 1 cos (1/x)(1/x)2== limt 0+1 costt2= 12. Esercizio consideri la funzionef(x) ={(x a)2 1,sex 0,e 1/x,sex >0,dipendente dal parametroa calcolino i seguenti limiti: limx f(x) = + limx 0 f(x) =a2 1 limx 0+f(x) = 0 limx + f(x) = 1 ISi determinino glia Rtali chef`e continua inx0= funzionef`e continua inx0= 0 se e solo se0 = limx 0+f(x) = limx 0 f(x) =f(0) =a2 1,cio`e se e solo sea2= 1,ossia se e solo se(a= 1) (a= 1).}

9 Prove Intermedie9 ISi determinino glia Rtali chef`e continua e non negativa funzionef`e continua suRse e solo sea= 1 oa= 1, allora (x+ 1)2 1 =x(x+ 2)<0 in ] 2,0[.Sea= 1, alloraf(x) ={x(x 2) [ 0],sex 0,e 1/x[>0],sex >0,cio`ef`e non negativa unico valore `e dunquea= 10 novembre 2001 TemaB Esercizio calcolilimx 0log (1 + x)x. Esercizio calcolilimx + ex sine x. Esercizio consideri la funzionef(x) ={(x+a)2 1,sex 0,e 1/x,sex >0,dipendente dal parametroa calcolino i seguenti limiti: limx f(x) = limx 0 f(x) = limx 0+f(x) = limx + f(x) =ISi determinino glia Rtali chef`e continua inx0= determinino glia Rtali chef`e continua e non negativa Accademico 2001 - 10 novembre 2001 TemaC Esercizio calcolilimx 0log3(1 2x)x. Esercizio calcolilimx + x sin x. Esercizio consideri la funzionef(x) ={e1/x,sex <0,(x a)2 1,sex 0,dipendente dal parametroa calcolino i seguenti limiti: limx f(x) = limx 0 f(x) = limx 0+f(x) = limx + f(x) =ISi determinino glia Rtali chef`e continua inx0= determinino glia Rtali chef`e continua e non negativa 10 novembre 2001 TemaD Esercizio calcolilimx + (1 +3x) Prove Intermedie11 Esercizio calcolilimx 0cos(sinx) 1sin2x.}}}

10 Esercizio consideri la funzionef(x) ={e1/x,sex <0,(x+a)2 1,sex 0,dipendente dal parametroa calcolino i seguenti limiti: limx f(x) = limx 0 f(x) = limx 0+f(x) = limx + f(x) =ISi determinino glia Rtali chef`e continua inx0= determinino glia Rtali chef`e continua e non negativa 17 novembre 2001 TemaA Esercizio tabella seguente riporta i valori in alcuni punti dellefunzionif(x),g(x)e delle loro derivatef (x),g (x).xf(x)g(x)f (x)g (x) 3414 1 20 35 2 1 246001 13 11 2 3 1 420 3213 4 6 24 ISi calcoli nel puntox0= 1la derivata della funzione prodottof(x) g(x).12 Anno Accademico 2001 - 2002Si ha(f(x) g(x)) =f (x)g(x) +f(x)g (x)e quindiD(f g)(1) =f (1)g(1) +f(1)g (1) = ( 1)( 3) + ( 2)( 4) = calcoli nel puntox0= 0la derivata della funzione compostaf(g(x)).Si ha(f(g(x))) =f (g(x))g (x)e quindiD(f g)(0) =f (g(0))g (0) =f ( 1)( 1) = 6 ( 1) = calcoli nel puntox0= 1la derivata della funzione quozienteg(x)f(x).}