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Teoría de Conjuntos Definiciones Básicas

1 Teor a de Conjuntos Definiciones B sicas 2 Conjunto Definici n Un conjunto es una colecci n o familia de objetos. Las llaves { } tendr n un uso muy especial y nico: servir n para definir un conjunto. Para ninguna otra cosa m s. Formas de Construir o Definir Conjuntos Manejaremos dos formas de construir Conjuntos : Definici n de un conjunto por extensi n. Definici n de un conjunto por intenci n. 3 Definici n por Extensi n Definici n Construir o definir un conjunto por extensi n consiste en declarar todos lo elementos que lo forman.

Formas de Construir o Definir Conjuntos Manejaremos dos formas de construir conjuntos: Definición de un conjunto por extensión. Definición de un conjunto por intención. 3

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1 1 Teor a de Conjuntos Definiciones B sicas 2 Conjunto Definici n Un conjunto es una colecci n o familia de objetos. Las llaves { } tendr n un uso muy especial y nico: servir n para definir un conjunto. Para ninguna otra cosa m s. Formas de Construir o Definir Conjuntos Manejaremos dos formas de construir Conjuntos : Definici n de un conjunto por extensi n. Definici n de un conjunto por intenci n. 3 Definici n por Extensi n Definici n Construir o definir un conjunto por extensi n consiste en declarar todos lo elementos que lo forman.

2 Ejemplo {Rosana, Sakura, Mar a del Carmen, Vito Corleone, Pedro } 4 Definici n por Intenci n Definici n Construir o definir un conjunto por intenci n consiste en declarar cu les elementos de un cierto conjunto son seleccionados. Esto se lleva a cabo por una propiedad o predicado P(x). {x D|P(x)} Ejemplo {x R| 2 < x} Todos aquellos n meros reales que son mayores que -2. 5 x A Definici n Un objeto x se dice pertenecer o ser elemento o estar en un conjunto A si cuando el conjunto A est definido por extensi n (cuando el elemento x aparece en la lista deelementos del conjunto A) cuando el conjunto A est definido por intenci n (cuando el elemento x es tomado del universo del discurso y cumple la propiedad establecida para A)

3 Ejemplo A = { Rosana, Sakura, Mar a del Carmen, Vito Corleone, Pedro} Jonas A Pedro A 6 Ejemplo Indique cu les opciones contienen elementos del conjunto: A = {x Z| 2 < x < 5} a)3 b)6 c)-3 d) 7 x A 3 A pues 3 es entero y cumple 2 < 3 < 5 6 A pues 2 < 6 5 3 A pues 2 3 < 5 A pues no es entero. Definici n de Subconjunto Definici n Diremos que un conjunto A es un subconjunto de el conjunto B y lo simbolizaremos A B si todo elemento de A es tambi n elemento de B. Observe que de la definici n se tiene la siguiente equivalencia: Y negando lo anterior: 8 Definici n de Subconjunto Ejemplo En referencia a los Conjuntos : N El conjunto de los n meros enteros positivos Z El conjunto de los enteros R El conjunto de los n meros reales Q El conjunto de los n meros racionales o fraccionarios 9 Se tiene.

4 Definici n de Subconjunto Propio Definici n Diremos que un conjunto A es un subconjunto propio de el conjunto B y lo simbolizaremos A B si todo elemento de A es tambi n elemento de B y adem s existe un elemento de b que no es elemento de A. 10 11 Subconjunto propio. BATodos los elementos de A est n en B y al menos un elemento de B no est en A. U A B Subconjunto propio El conjunto Vac o Definici n El conjunto que no tiene ning n elemento se llamar el conjunto vac o. Y se simbolizar por: 12 13 Operaciones entre Conjuntos Uni n.

5 BAEvento que consiste en los elementos que est n en A, en B o en ambos. Diagrama de Venn U 14 Intersecci n. BAEvento que consiste en los elementos que est n en A y en B. Operaciones entre Conjuntos U 15 Complemento. cAEvento que consiste en los elementos que NO est n en A. A U Operaciones entre Conjuntos 'AO tambi n cA16 Diferencia. ABEvento que consiste en los elementos que est n en B y NO en A. Operaciones entre Conjuntos U 17 Conjuntos mutuamente excluyentes A y B son mutuamente excluyentes si no tienen ning n elemento en com n.

6 U A B 18 Teor a de Conjuntos Ejemplos: Representar en Diagrama de Venn A (B C) Ac Bc Cc U U 19 Teor a de Conjuntos Ejercicio 1 U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = N meros primos = { 2, 3, 5, 7} B = N meros pares = { 2, 4, 6, 8, 10} Determinar los siguientes eventos. A B Ac Ac Bc Nota: El n mero 1 NO es primo (aunque hay quienes as lo consideran). El conjunto de los n meros primos es un subconjunto de los n meros naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto que son divisibles exactamente tan s lo por si mismos y por la unidad (por convenci n, el 1 no se considera primo).

7 Los veinte primeros n meros primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 y 71. Ejercicio 2 Representar en diagrama de Venn (A B) (A B) A B A B 20 Teor a de Conjuntos Leyes de Morgan (A B) c = Ac Bc (A B) c = Ac Bc Ejercicio Una agencia de autos vendi durante un a o 180 unidades con las siguientes caracter sticas: 57 ten an transmisi n autom tica 77 ten an clima 45 ten an transmisi n autom tica y clima 10 ten an transmisi n autom tica pero no ten an ni clima ni est reo 28 ten an transmisi n autom tica y clima, pero no ten an est reo 90 no ten an ninguna de las 3 caracter sticas mencionadas 19 ten an clima y est reo Cu ntas de estas unidades ten an est reo?

8 R = 22 21