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1 Teorema fondamentale del calcolointegraleIl Teorema fondamentale del calcolo integrale fornisce lo strumento essenziale per il calcolo effet-tivo di integrali; inoltre esso rappresenta il raccordo tra calcolo delle derivate e calcolo integrale ,mostrando che sono uno l inverso dell altro. Per questi motivi il Teorema fondamentale del calcolointegrale rappresenta il risultato fondamentale dell intero calcolo infinitesimale in una `a elementari dell integrale di RiemannSianof,g: [a,b] Rdue funzioni limitate e integrabili secondo Riemann su [a,b], cona,breali,e siac R; allora valgono le propriet`a:1)f+g`e integrabile e si ha ba(f(x) +g(x))dx= baf(x)dx+ bag(x) )cf`e integrabile e si ha ba(cf(x))dx=c baf(x) ) Sef gsi ha baf(x)dx bag(x) ) Per ognid (a,b) si ha baf(x)dx= daf(x)dx+ bdf(x) )|f|`e integrabile e si ha baf(x)dx ba|f(x)| Teorema della mediaSiaf: [a,b] Runa funzione integrabile secondo Riemann; il numero reale1b a baf(x)dx1 Luca LussardiAppunti di Analisi chiama media integrale difsu [a,b].
2 Sef`e continua su tutto [a,b] allora esiste x [a,b] taleper cui si abbiaf( x) =1b a baf(x) Teorema fondamentale del calcolo integraleSiaf: [a,b] Runa funzione integrabile secondo Riemann. Perc,x [a,b] siaA: [a,b] Rlafunzione integrale definita comeA(x) = xcf(t) ( fondamentale del calcolo integrale ):Sef`e continua inxalloraA`e deriv-abile inxe si haA (x) =f(x). ogni >0 esiste >0 tale per cui sey (x ,x+ ) allora|f(y) f(x)|< ,ovverof(x) < f(y)< f(x) + . Ma allora sey (x,x+ ) si haf(x) <1y x yxf(t)dt < f(x) + mentre sey (x ,x) si haf(x) <1x y xyf(t)dt < f(x) + .In ogni caso dunque si haf(x) <1y x yxf(t)dt < f(x) + e dunqueA(y) A(x)y x=1y x yxf(t)dtda cui A(y) A(x)y x f(x) < che conclude la il Teorema fondamentale del calcolo integrale si ha facilmente la formula che consenteil calcolo di un integrale : baf(x)dx=F(b) F(a)doveF: [a,b] R`e una qualunque funzione derivabile conF =f, ovvero una primitiva :Siaf(x) =x 3x2; dal momento che la funzioneF(x) =x22 x3`e una primitiva difsi ha 10f(x)dx=F(1) F(0) =12 1 = LussardiAppunti di Analisi formula di integrazioneI seguenti due risultati sono spesso utili per il calcolo di per sostituzione:Sianof: [a,b] Runa funzione continua e : [ , ] Runa funzione derivabile con derivata continua tale per cui Im( ) [a,b].
3 Allora si ha ( ) ( )f(x)dx= f( (t)) (t) :Sia da calcolare 211ex+ logtsi trova 211ex+ 1dx= 1ee21t(t+ 1)dt= e2e(1t 1t+ 1)dt= log(e2) loge log(e2+ 1) + log(e+ 1) = 1 + log(e+ 1e2+ 1).Integrazione per parti:Sianof,g: [a,b] Rdue funzioni continue eF,G: [ , ] Rdueprimitive difegrispettivamente; allora si ha baF(x)g(x)dx=F(b)G(b) F(a)G(a) baG(x)f(x) :Sia da calcolare per parti si poneF(x) = logxeg(x) = 1; allora si ha 21logxdx= 2 log 2 21dx= 2 log 2 LussardiAppunti di Analisi
