Teoremas del seno y el coseno: ejercicios resueltos

1 Caj n de CienciasTeoremas del seno y el coseno: ejercicios resueltos1) En los siguientes tri ngulos, halla los lados y ngulos restantes:a) b)c)d)2) Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ngulo de 50 , y otro B, situado al otro lado y en l nea recta, con un ngulo de 60 . Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kil metros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y ) Los flancos de un tri ngulo forman un ngulo de 80 con la base. Si el tri ngulo tiene 30 cent metros de base, calcula la longitud de sus ) Tres amigos se sit an en un campo de f tbol. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto y Camilo, 12 metros. El ngulo formado en la esquina de Camilo es de 20 . Calcula la distancia entre Alberto y ) Una valla cuyo per metro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en otro y 60 en el ngulo que forman entre ambos. Calcula cu nto mide el per metro de la 79 892 151270 65110 2528 Caj n de CienciasSoluciones1) a) Siendo a y A, b y B, c y C las parejas de ngulo y lado opuesto.

2 Utilizamos en este caso los 22 y el lado de 8 como referencia y calculamos el lado opuesto a los 79 :8/sen22 = b/sen798/0,37 = b/0,98b = 21,62 0,98b = 21,22 Para hallar el resto podr a parecer que nos falta el dato del tercer ngulo. Pero recuerda que los tres ngulos de un tri ngulo siempre suman 180 . Por lo tanto, ese tercer ngulo debe valerC = 180 22 79 = 79 As que es un tri ngulo is sceles. No hace falta hacer m s c lculos: si tiene dos ngulos iguales, tambi n tiene dos lados iguales, y el lado que nos falta tambi n mide 21, )El tercer ngulo mide 37,63 (180 menos la suma de los otros dos). Con este dato calculamos el tercer lado:15/sen92 = c/sen37,6315,15 = c/0,61c = 9,25(Tambi n podr amos haber usado la otra pareja b/senB; comprueba que da lo mismo). 79 892 1512 Cuando tengamos que resolver un tri ngulo no rect ngulo del cual conozcamos una pareja ngulo-lado opuesto y un dato de alg n otro lado o ngulo, aplicaremos el teorema del seno. Recuerda que es el que establece la siguiente relaci n:a/senA = b/senB = c/senCOtro caso de teorema del seno, pues tenemos una pareja ngulo/lado opuesto completa, y alg n otro dato suelto.

3 Empezamos calculando el ngulo que est frente al lado que mide 12:15/sen92 = 12/senB15/0,99 = 12/senBsenB = 12/15,15B = 52,37 Caj n de Cienciasc)Siendo a el lado que nos falta. Si te fijas, la f rmula se parece un mont n al teorema de Pit goras, s lo que con un a adido; esta actualizaci n es la que nos permite usarla en tri ngulos no rect ngulos. La f rmula del teorema del coseno tambi n deber a recordarte a otra cosa. Intenta pensar cu l antes de mirar la nota al pie de p = 52 + 62 2 5 6 cos70a2 = 61 60 0,34a2 = 40,48a = 6,36 Conociendo el lado opuesto, ya podemos usar el teorema del seno para hallar alguno de los ngulos que a n no tenemos:6,36/sen70 = 5/senB6,36/0,94 = 5/senBsenB = 5/6,39B = 51,54 Y por lo tanto, C valeC = 180 51,54 70 = 58,46 d)Y luego el teorema del seno:43,42/sen110 = 25/senBsenB = 25/46,21 = 0,54B = 32,76 C = 180 110 32,76 = 37,24 1 El primero al cuadrado m s el segundo al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo O no se parece al cuadrado de una resta?

4 65110 2528 Ahora no nos vale el teorema del seno, porque no tenemos una pareja de ngulo/lado opuesto. Para estos casos, en los que conocemos dos lados y el ngulo del v rtice que forman, usamos el teorema del coseno: a2 = b2 + c2 - 2bc cosADe nuevo usamos el terorema del coseno. Se resuelve igual que el caso = 252 + 282 2 25 28 cos110a2 = 625 + 784 1400 (-0,34)a2 = 1885a = 43,42 Caj n de Ciencias2) Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ngulo de 50 , y otro B, situado al otro lado y en l nea recta, con un ngulo de 60 . Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kil metros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y primero un esquema de la situaci n. Ser a as :El ngulo debajo del globo es de 110 porque si traz ramos una perpendicular desde el globo al suelo, a la izquierda tendr amos 50 y a la derecha 60 (por cierto, tambi n nos podr an preguntar la altura a la que est el globo; usar amos entonces el teorema de la altura).

5 Aqu tendremos que usar el teorema del coseno, porque el ngulo que conocemos es el que forman los dos lados de los cuales tenemos su = 62 + 42 - 2 6 4 cos110 d2 = 52 48 (-0,34)d2 = 52 + 16,32d = 8,27Km3) Los flancos de un tri ngulo forman un ngulo de 80 con la base. Si el tri ngulo tiene 30 cent metros de base, calcula la longitud de sus representaci n gr fica es esta:En primer lugar, podemos deducir que el ngulo que falta mide 20 , porque la suma de todos los ngulos de un tri ngulo debe sumar 180 .Sabiendo este dato, aplicamos el teorema del seno para hallar la longitud de un lado. El otro lado mide lo mismo, porque es un tri ngulo is sceles (f jate que tiene dos ngulos iguales. Pero si no te f as, puedes calcularlo y ver s que te da el mismo valor).30/sen20 = x/sen80 87,71 = x/sen80 x = 87,71 sen80 x = 86, d80 80 30 Caj n de Ciencias4) Tres amigos se sit an en un campo de f tbol. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto y Camilo, 12 metros. El ngulo formado en la esquina de Camilo es de 20.

6 Calcula la distancia entre Alberto y esquema de la situaci n ser a algo as :Como en el ejercicio anterior, tenemos al menos una pareja ngulo-lado opuesto. Para hallar la medida del lado que nos falta, nos basta recurrir al teorema del seno. El problema es que el ngulo opuesto al lado AC tampoco lo sabemos, algo que tiene f cil soluci n si primero aplicamos el teorema del seno para hallar el ngulo A y despu s deducir la medida de = 12/senA73,10 = 12/senAsenA = 12/73,10sen A = 0,16A = 9,45 Como los tres ngulos deben sumar 180 , B debe valer 150,55 . Ahora ya tenemos todo lo necesario para volver a usar el teorema del seno y hallar la distancia AC:25/sen20 = AC/sen150,55 73,10 = AC/0,49AC = 73,10 0,49 = 35,94m5) Una valla cuyo per metro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en otro y 60 en el ngulo que forman entre ambos. Calcula cu nto mide el per metro de la el per metro de la valla es lo mismo que pedirnos hallar el lado que falta y sumarlos = 62 + 202 2 6 20 cos60 d2 = 436 240 = 17,78mPer metro = 20 + 6 + 17,78 = 43, 20660 Caj n de