Teoria dos Conjuntos - IME-USP

1 Teoria dos Conjuntos18 de Junho de 20172 Conte udo1 Introdu c ao52 L ogica de primeira O alfabeto .. F ormulas .. Unicidade de representa c ao .. Omiss ao de par enteses .. Vari aveis livres .. Abreviaturas .. S mbolos relacionais e funcionais .. Notas sobre a sem antica ..223 Primeiros Axioma da extens ao .. Axioma do vazio .. Axioma do par .. Axioma da uni ao .. Axioma das partes .. Axioma da separa c ao .. Axioma da regularidade .. Axioma da infinidade.

2 344 Produto cartesiano, rela c oes e fun c Pares ordenados .. Produto cartesiano .. Rela c oes .. Fun c oes .. Rela c oes de ordem .. Rela c ao de equival encia .. Teorema da recurs ao .. Aritm etica dos n umeros naturais ..525 Axioma da escolha e suas aplica c Axioma da escolha .. Lema de Zorn .. Princ pio da Boa Ordem ..6134 CONTE Comparabilidade de Conjuntos por fun c oes injetoras ..636 Conjuntos O Teorema de Cantor-Schr oder-Bernstein .. Conjuntos finitos.

3 Conjuntos enumer aveis .. Compara c ao entre Conjuntos infinitos .. Conjuntos n ao-enumer aveis: Teorema de Cantor ..757 Axioma da Substitui c ao .. Teorema da Recurs ao Transfinita .. Ordinais .. Aritm etica dos ordinais ..878 Cardinais .. Usando os ordinais para enumerar os cardinais .. Aritm etica cardinal .. 100 Bibliografia103 Cap tulo 1 Introdu c aoO infinito sempre assombrou os matem aticos e fil osofos, estando relacionada aos mai-ores paradoxos e crises nos fundamentos da matem atica, como e o caso dos famososparadoxos de Zeno, de El eia, que se baseiam em interpreta c oes tortuosas do conceitode infinitude para provar a n ao exist encia de desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos , o conceito de infinito desepenhaum papel fundamental.

4 Sendo respons avel por uma das maiores crises filos oficasna hist oria da matem atica. Como efeito dessa crise , tivemos pressupostos ma-tem aticos e filos oficos sendo destru dos, novos questionamentos surgindo, diverg enciasna pr opria concep c ao de verdade matem atica, novas propostas de formaliza c ao da dis-ciplina. Enfim, como aconteceu com as grandezas incomensur aveis e a hist oria doquinto postulado de Euclides (esses dois tamb em est ao diretamente relacionados aoconceito de infinitude) os paradoxos da Teoria dos Conjuntos contribu ram enorme-mente para o enriquecimento do pensamento matem refletir um pouco sobre o conceito de Conjuntos .

5 Podemos pensar emconjunto como um agrupamento de objetos que compartilham uma propriedade co-mum1. Assim, podemos pensar na palavrap assarocomo um conjunto de animaisque possuem certas caracter sticas, como o corpo coberto de penas e reprodu c aoov pora. Cada descri c ao de objetos, animais ou pessoas nos fornece um exemplo:o conjunto dos p assaros que voam, ouo conjunto dos alunos da considerar a no c ao de Conjuntos como um dos primeiros conceitos abs-tratos da mente humana. Um p assaro e um ser vivo que existe independente do pen-samento humano (se deixarmos um pouco de lado excesso de divaga c oes filos oficas).

6 Mas a no c ao de p assaro o conjunto de todos os p assaros do mundo e uma no c aoabstrata, criada pelo nosso racioc surgimento dos n umeros naturais uma das cria c oes mais uteis do pensamentohumano e um dos alicerces da matem atica pode ser visto como consequ encia dano c ao de Conjuntos . Dizem alguns historiadores que, h a muitos s eculos atr as, antesde existir a contagem, os pastores usavam um saquinho de pedras para n ao perderem1 Isso est a longe de ser uma defini c ao. Seria dif cil definir conjunto sem usar algum termo comoagrupamento,cole c ao, ou outro que seja praticamente sin onimo de conjunto.

7 Conjunto deve sertratado comoconceito primitivo, que n ao requer defini c ao. O prop osito deste par agrafo e discutir-mos um pouco a ideia intuitiva de um conceito que j a conhecemos, antes de entrar na abordagemaxiom ITULO 1. INTRODUC AOas ovelhas. Quando levavam as ovelhas para pastar, para cada ovelha que passavaguardavam uma pedrinha. Na hora de recolher as ovelhas, para cada ovelha quevoltava ao curral, retiravam uma pedrinha. Se, no final, n ao sobrasse nenhuma pedrano saquinho, eles podiam se assegurar de que nenhuma ovelha se forma, estabeleceu-se uma semelhan ca entre o conjunto das pedras queum pastor levava em um saquinho e o conjunto das ovelhas que eles possu a: am-bos t em a mesmaquantidade de elementos, j a que podemos associar biunivocamentecada elemento de um conjunto com um elemento de outro.

8 Com o tempo, as pes-soas perceberam que n ao havia necessidade de usar pedras de verdade, e inventaramum conceito abstrato chamadon umero(os n umeros naturais). Cada n umero repre-sentava uma poss vel quantidade de elementos de um conjunto. Assim, o n umero 1representava todos os Conjuntos existentes que possuem 1 elemento. O n umero 2,todos os Conjuntos que possuem 2 elementos, e assim por diante. E como saber aquantidade de elementos que cada conjunto cont em? Bastava colocar os n umeros emuma sequ encia (0, 1, 2, 3 etc.)

9 E a cada elemento novo que colocamos num conjuntoavan camos um n umero na sequ encia. Por exemplo, se um conjunto n ao tem nenhumelemento, ele e rotulado pelo n umero 0. A partir do momento que colocamos algumacoisa nesse conjunto, seu tamanho e promovido a 1, e assim por trivialidades primitivas e impressionante quantos conceitos complexosda matem atica moderna est ao sendo abordados: fun c oes bijetoras, classe de conjun-tos, rela c ao de equival encia, ordinais, cardinais etc. N ao e f acil explicar para umapessoa ainda n ao familiarizada com a linguagem formal da matem atica o que e umafun c ao bijetora.

10 Todavia, uma crian ca consegue contar o n umero de brinquedos quetem, e observem como e esse processo de contagem: A crian ca aponta com o dedo para um brinquedo e diz, em voz alta, o n umero1. A crian ca aponta para outro brinquedo e diz 2, e assim sucessivamente nasequ encia dos n umeros. A crian ca toma o cuidado de n ao apontar duas vezes para o mesmo brinquedo(n ao contar repetido ). A crian ca toma o cuidade de n ao deixar de apontar para nenhum brinquedo. No final, o ultimo n umero mencionado pela crian ca durante a contagem quando todos os brinquedos j a foram contados e a quantidade de brinquedosque ela seja, a crian ca que contou e descobriu que tinha 10 brinquedos soube per-feitamente construir uma bije c ao entre o conjunto dos brinquedos e o conjunto dosn umeros que v ao de 1 a 10.