Termodinámica del volumen de control - webserver.dmt.upm.es

1 Cap tulo 5 Termodin mica del volumen de control Ecuaciones generales aplicadas a un volumen de control La elecci n del sistema termodin mico puede interesar hacerla para una cantidad de sustancia constante dada (masa de control ) o para la cantidad de sustancia que en cada instante est dentro de un recinto dado (limitado por paredes f sicas o imaginarias); el an lisis de estos ltimos se llama de volumen de control o de sistema abierto o de sistema de flujo. Estos sistemas suelen ser los de mayor inter s pr ctico pues facilitan el estudio del flujo de fluidos a trav s de conductos, v lvulas de restricci n, cambiadores de calor, compresores y turbinas rotodin micas, c maras de mezcla, c maras de combusti n, reactores qu micos de flujo, ondas de choque, llamas, etc.

2 , etc. Para simplificar la exposici n nos vamos a limitar en este cap tulo al estudio de sistemas simples compresibles, los cuales est n constituidos por una sustancia de composici n fija (no hay difusi n de especies ni reacciones qu micas), de propiedades isotr picas y sin cargas el ctricas ni magn ticas, lo suficientemente grandes para que los efectos superficiales sean despreciables (para estos sistemas y tomando una referencia espacial galileana, el nico campo de fuerzas aplicado adem s de la limitaci n del volumen es un campo gravitatorio uniforme), y la ecuaci n energ tica fundamental es dU=TdS-pdV.

3 El an lisis de volumen de control no introduce conceptos termodin micos nuevos; todo el formalismo termodin mico desarrollado para una masa de control sigue siendo v lido y el nico objetivo aqu es reescribir las ecuaciones de conservaci n de la masa, cantidad de movimiento y energ a, y la de producci n de entrop a, para un caso gen rico de sistema termodin mico permeable a la materia. Obviamente, los datos que se necesitan sobre el comportamiento macrosc pico de la materia en el estado de equilibrio termodin mico no depender n de si el an lisis se centra en una masa de control o en un volumen de control , as que el potencial termodin mico o las ecuaciones de estado ser n los mismos (normalmente se supondr conocido v=v(T,p) y cp=cp(T,p+O)).

4 Antes de formular las ecuaciones para un volumen de control , recordemos las de una masa de control limitada por una superficie impermeable y m vil, A, cuyo volumen V encierra la masa constante, m, del sistema en su evoluci n. Sobre este sistema se considera que act a un campo gravitatorio uniforme que da lugar a una fuerza hacia abajo, mg, sobre el centro de - masas, y que sobre la frontera act a una fuerza exterior fA por unidad de rea y un flujo de calor a por unidad de rea y de tiempo (el calor que realmente entra ser -a. , siendo R la normal exterior). 82 l. Mari nez: TERMODINAMICA BASICA Y APLICADA Paralelamente a esta notaci n termodin mica (que s lo utiliza variables globales del sistema, como la velocidad del centro de masas) se va a presentar la notaci n usual en Mec nica de fluidos (donde se utilizan variables interiores, como la velocidad en cada punto del sistema) y que, de momento, s lo diferir n en que la fuerza superficial se expresa en funci n del - llamado tensor de esfuerzos ?

5 De manera que 7, = 7. , siendo el vector normal exterior al elemento de rea dA. El objetivo de esta doble presentaci n es dejar claramente establecidas las similitudes y diferencias entre el planteamiento Termodin mico (modelo de sistema de caja negra donde no se mira el interior del sistema sino s lo los intercambios a trav s de su frontera) y el de la Mec nica de fluidos (donde el tama o de la 'caja negra' se reduce a una porci n tan peque a del sistema que se pueda considerar en equilibrio local, y por tanto, se estudia el estado termodin mico de todas las partes del sistema). Las ecuaciones para una masa de control en una evoluci n infinitesimal dt ser n: -balance m sico: dm = O -balance de cantidad de movimiento: y en dt = j?

6 A dA + lpgdv v ( ) -balance energ tico: mde = -la E.(.+ 17, m y en =-j~. d~+j~ .~~ ( ) A A A A dt - generaci n de entrop a: donde se refiere al planteamiento de la Mec nica de fluidos. Estas ecuaciones de conservaci n y degradaci n, m s las ecuaciones constitutivas de la materia de que se trate (las de equilibrio y las de transporte), m s las condiciones iniciales y de contorno, completan la formulaci n general de la evoluci n de los medios continuos. El an lisis termodin mico de un volumen de control tambi n es de tipo "caja negra" como el de una masa de control , es decir, se limita a estudiar la interacci n del sistema con el exterior a trav s de la frontera sin entrar en el detalle de los procesos que tienen lugar en su interior.)

7 Al ser la frontera permeable a la masa, en las ecuaciones de la evoluci n habr que a adir Cap. 5: TERMODINAMICA DEL volumen DE control 83 t rminos convectivos seg n el teorema del transporte de Reynoldsl, que para una magnitud gen rica cD (escalar, vectorial o tensorial) se escribe: do d Si @(t) = (,t) entonces - = - Jqdv = J *dV + dA VMC(t) dt dt VMC (1) vvc (to 1 at Avc (to ( ) siendo J la velocidad local del fluido y JAvc la de la frontera del volumen de control (que ser nula si se elige el sistema de referencia de coordenadas fijo con el volumen de control , como es lo normal). Los sub ndices MC y VC se refieren a una masa de control y a un volumen de control .))

8 N tese que k&/dt)d~=&j@dV)/&, pues al ser derivadas parciales en el tiempo en un volumen fijo, la suma de las variaciones coincide con la variaci n de la suma. Conviene puntualizar que, aunque el contenido de un volumen de control ser en general una cantidad de sustancia variable, las funciones energ ticas y entr picas carecen de sentido si no se refieren a una misma masa constante, por lo que el an lisis de volumen de control es un artificio para separar las variables en una forma m s conveniente, pero subyaciendo siempre la realidad de que la energ a va asociada a una masa dada, que entra y10 sale y sufre una evoluci n.

9 Para mejor comprender el paso del an lisis de masa de control al an lisis de volumen de control , en la Fig. se representan dos estados pr ximos de una masa de control (la encerrada dentro de la l nea gruesa) y de un volumen de control caprichosamente elegido para que en un instante coincida con el sistema de masa de control , pero que en el instante previo deje una parte infinitesimal de ste fuera (la sombreada en la Fig. ); la generalizaci n para el caso de salidas (cambio de signo) y variaci n continua (integral) es inmediata. Fig. Esquema explicativo del paso del an lisis de masa de control (MC) al de volumen de control (VC).

10 Se rnuesuan dos instanles sucesivos a) y b) de la evoluci n de un sistema gen rico donde la l nea llcna limita la masa de control (constante), y el volumen de control se ha tomado coincidcnle con el dc la masa de conuol en el instante t+dt, y un poco diferente en el estado t. Se van a utilizar los sub ndices MC y VC para referirse a la masa de control y al volumen de control , y la frontera de ste se va a dividir en la parte permeable FP y la impermeable FI (el caso m s corriente es que el volumen de control coincida con el interior de una m quina o 1. Ver White, F., "Mec nica de fluidos", McGraw-Hill, 1983.