TP SdF N° 20 La loi de Weibull - CAB INNOVATION

1 TP SdF N 20. La loi de Weibull Ce TP porte sur la loi de Weibull et ses techniques d'ajustement. 1 Caract ristiques de la loi de Weibull Pr senter les principales caract ristiques de la loi de Weibull . 2 Ajustement d'un mod le de Weibull Expliquer les diff rentes techniques d'ajustement (graphiques et par calcul) de la loi de Weibull 2. et 3 param tres en soulignant leurs limitations ventuelles. R aliser un ajustement partir du recueil de donn es censur es suivant : Dur es avant panne : 3510 3183 8408 4808 5587 4591 5198 267 5164 5234 7261 5 575 6021 6483. 1978 1767 4367 2320 4223 6477 5212 3129 8908 1810 4410 4 724 3840 2744. 4356 3955 5222 7959 4940 3507 5693 1110 4573 1746 2996 4826 3415 4562. Dur es sans panne : 3777 5171 8693 7091 958 3866 3694. 3 Utilisation de la loi de Weibull Conclure sur l'utilisation de la loi de Weibull et l'emploi des diverses techniques d'ajustement. 1 La loi de Weibull Propos e par l'ing nieur et math maticien su dois Ernst Hjalmar Waloddi Weibull1 (1887-1979), la loi de Weibull est une loi de probabilit 3 param tres qui est tr s utilis e pour mod liser la dur e de vie des produits en raison de sa grande flexibilit.

2 Elle est caract ris e par : Sa densit de probabilit : f(t) = (t- ) -1/ . exp(-[(t- )/ . ] ) avec > 0, > 0 et t > . Densit de probabilit f(t). 0,0009. 0,0008. 0,0007. Ouverture du fichier correspondant par double clic : 0,0006. B ta = 0,5. 0,0005 B ta = 1. 0,0004 B ta = 2. B ta = 3. 0,0003 Feuille de calcul 0,0002 Microsoft Excel 0,0001. 0. 0 1000 2000 3000 4000 5000. t Et sa fonction de r partition : ] ). F(t) = 1- exp(-[(t- )/ . Fonction de r partition F(t). 1. 0,9. 0,8. 0,7. B ta = 0,5. 0,6. B ta = 1. 0,5. B ta = 2. 0,4. B ta = 3. 0,3. 0,2. 0,1. 0. 0 1000 2000 3000 4000 5000. t (0,5 3) est le param tre de forme, (1500) le param tre d' chelle et (1000) le param tre de localisation de la distribution par rapport l'origine. Pour la valeur de t = + , on observe un quantile caract ristique 63 % quelle que soit la valeur du param tre (F(t) = 1- exp(-[(t-g)/ ]b) = 1-1/e = 0,632120559). Ce taux de mortalit de 63 % de la population, ind pendant de , est notamment consid r pour d finir le taux d'acc l ration dans le 1.

3 Wallodi Weibull , "A Statistical Distribution Function of Wide Applicability", ASME Journal Of Applied Mechanics Paper, 1951. The hallmark paper of Weibull analysis. cadre d'essais acc l r s (rapport entre les dur es correspondant ce quantile avec ou sans conditions de stress renforc es : = Fs s si = 0). Le taux de d faillance de la loi de Weibull est (t) = (t- ) -1/ , puisque (t) = f(t) / (1-F(t)) par d finition. Taux de d faillance Lambda(t). 0,01. 0,009. 0,008. 0,007. B ta = 0,5. 0,006. B ta = 1. 0,005. B ta = 2. 0,004. B ta = 3. 0,003. 0,002. 0,001. 0. 0 1000 2000 3000 4000 5000. t Le taux de d faillance est croissant si > 1, constant si = 1, d croissant si < 1. La loi exponentielle est une loi de Weibull de param tres = 1, = 1/ et = 0. La moyenne et la variance de loi de Weibull s'expriment de la mani re suivante : Moyenne : + [(1+ )/ ] Variance : 2 [ (1+2/ ) - 2(1+1/ )]. partir de la fonction gamma : ( )= 0 x -1 e-xdx ou ( -1) !

4 Pour des valeurs enti res. 2 Ajustement d'un mod le de Weibull L'ajustement consiste trouver les param tres d'une fonction math matique afin de la faire correspondre au mieux une courbe exp rimentale. Ajustement graphique L'ajustement graphique consiste effectuer un changement de variables judicieux permettant de ramener l'ajustement une simple r gression lin aire, ce que permet la loi de Weibull : F(t) = 1-exp(-((t- )/ ) ) 1-F(t) = exp(-((t- )/ ) ) -ln[1-F(t)] = ln(1/[1-F(t)]) = ((t- )/ ) . D'o : ln(ln(1/[1-F(t)])) = ln(t- ) - ln( ). ln(ln(1/[1-F(t)])). ln( ). Pente . 0 ln(t- ). Donn es Exp rimentales La pente de la droite est et la droite coupe l'axe des abscisses la valeur ln( ). L'origine nulle de l'axe des ordonn es correspond nouveau au quantile caract ristique de 63 % : ln(ln(1/[1-F(t)])) = 0 ln(1/[1-F(t)]) = 1 1/[1-F(t)] = e F(t) =1-1/e = 0,632120559. Deux difficult s subsistent cependant : - D finir la valeur des quantiles F(ti) correspondant aux donn es exp rimentales, - Estimer la valeur de pour lequel l'ajustement est linaire.

5 Plusieurs m thodes peuvent tre utilis es pour surmonter la premi re difficult : - Remplacer 1/1-F(ti) = 1/R(ti) par (n+1)/(n+1-i) avec i la i me panne parmi n quipements (1. est ajout aux deux termes du quotient pour viter la valeur nulle au d nominateur), - Calculer les valeurs des F(ti) 50 % (borne de l'intervalle de confiance unilat ral 50 % de la loi binomiale calcul e par r solution de l' quation 0i CiN F(ti)i (1- F(ti))N-i = 50 % ). - Utiliser l'approximation propos e par A. Benard 2 : F(ti) = (i-0,3)/(n+0,4). - Calculer les valeurs des F(ti) par la m thode de Kaplan-Meier, notamment dans le cas de donn es censur es : 1-F(ti) = k=1i (nk-dk)/nk avec nk le nombre d' quipements encore en vie juste avant tk et dk le nombre de d faillances tk. Dans le cas d'un nombre de donn es r duites, ces m thodes peuvent donner des r sultats assez diff rents comme le montre le tableau suivant : ti i (i+1)/(N+1) Kaplan-Meyer Benard F(ti)50%.

6 16 1 0,2857 0,1667 0,1094 0,1091. 34 2 0,4286 0,3333 0,2656 0,2644. 53 3 0,5714 0,5000 0,4219 0,4214 Feuille de calcul 75 4 0,7143 0,6667 0,5781 0,5786 Microsoft Excel 93 5 0,8571 0,8333 0,7344 0,7356. 120 6 1,0000 1,0000 0,8906 0,8909. La deuxi me difficult dispara t si = 0 (ajustement d'une loi de Weibull 2 param tres) bien que ce cas exclut la majorit des ph nom nes r els pour lesquels les d faillances n'apparaissent qu'apr s le franchissement d'un certain seuil d'usure. Utilisation du papier de Weibull Le papier de Weibull utilise le changement de variables indiqu pr c demment tout en gardant des chelles de graduation en t et F(t). La valeur correspond l'abscisse du point d'ordonn e 63 % et une sorte de rapporteur d'angle plac en haut gauche du papier permet de lire directement la valeur , correspondant la pente de la droite, en tra ant une parall le cette derni re. 2. Benard, A. and Bos-Levenbach, E. C. (1953): Het uitzetten van waarnemingen op waarschijnlijkheids-papier.

7 Statistica Neerlandica, Vol. 7 pp. 163-173. English translation by Schop, R. (2001): The Plotting of Observations on Probability Paper. Report SP 30 of the Statistical Department of the Mathematics Centrum, Amsterdam. Papier de Weibull Le papier de Weibull ne permet d'ajuster que des lois 2 param tres et la droite se transforme en courbe si est diff rent de z ro. La valeur peut cependant tre estim e pr alablement partir de 3. points d'une telle courbe par la m thode propos e par , avant de proc der l'ajustement proprement dit avec des points d'abscisse ti- . F(t). Y3. Y2. Y3. ln(t). t1 t2 t3. Si les points correspondent une loi de Weibull , on peur crire la condition de lin arit : (Y3-Y2)/(ln(t3- )- ln(t2- )) = (Y2-Y1)/(ln(t2- )- ln(t1- )). De plus, si les 3 points sont choisis tels que Y3-Y2 = Y2-Y1 on obtient : ln(t3- )- ln(t2- ) = ln(t2- )- ln(t1- ) (t3- )/(t2- ) = (t2- )/(t1- ) (t3- )(t1- ) = (t2- )2. Soit : = (t22-t1t3)/(2t2-(t1+t3)).

8 J. David, D termination sans t tonnement du coefficient de de la loi de Weibull , Revue de statistique 3. appliqu e, tome 23, n 3 (1975), p. 81-85. R solution math matique de la r gression lin aire Calcul e par la m thode des moindres carr s (Min 1n (yi axi -b)2), les coefficients de la droite y = ax + b ont pour expression : a = cov(x,y) / V(x) et b = Y- aX. avec : cov(x,y) = 1/n 1n (xi-X)(yi-Y) V(x) = 1/n 1n (xi-X)2 X = 1/n 1n xi Y = 1/n 1n yi L'ajustement peut tre r alis par r solution math matique de la r gression lin aire en conservant toutefois les limitations relatives l'estimation de la valeur des quantiles et du param tre . La m thode du maximum de vraisemblance permet de surmonter ces difficult s. Ajustement par la m thode du maximum de vraisemblance La m thode du maximum de vraisemblance (maximum likelihood) consiste rechercher le mod le th orique qui donne la densit de probabilit maximale pour les donn es exp rimentales, soit la valeur des param tres qui maximise le produit 1n f(ti) pour n dur es de fonctionnement d' quipement avant panne.

9 Dans le cas de donn es de retour d'exp rience, g n ralement censur es droite, on multiplie ce produit par la probabilit de non-apparition de panne au moment de la censure pour chacune des dur es correspondantes, soit 1n f(ti) * 1m (1-F(tj)) dans le cas de m donn es censur es. Si les donn es sont nombreuses, il est pr f rable de maximiser la somme des logarithmes des diff rents termes du produit, dont certains ont des valeurs tr s proches de z ro, pour viter des probl mes de calcul num rique. L'optimisation est cependant d licate car la vraisemblance comprend plusieurs maxima locaux : - Certains outils tentent de r soudre le syst me d' quations r sultant de l'annulation des d riv es partielles de la vraisemblance en B ta et Sigma, en adoptant une recherche it rative suivant le param tre Gamma. - L'ajustement r alis par l'outil SIMCAB est bas sur la m thode locale du Simplexe (algorithme de Nelder-Mead) men e partir d'un point initial judicieusement choisi.

10 - L'ajustement peut tre galement r alis de mani re encore plus efficace par l'outil GENCAB qui couple le simplexe (m thode locale) aux algorithmes g n tiques (m thode globale). L'application demand e est trait e, ci-apr s, au moyen de cet outil. Ajustement d'un mod le de Weibull Vraisemblance B ta : 2,81 ln(f(Ti)) : -376,74016 Pannes Weibull Kaplan-Meier Fonctions de r partition : Weibull / Kaplan-Meier Sigma : 6042 ln(1-F(Tj)) -7,53121318 Censures F(X) Nb survivants F(Xi). Gamma : -630 : -384,271373 0 0,00173676 0 0 49 1 1 0,00. 10001 0,02483545 267 1 48 0,98 0,98 0,02. Dur es avant panne Dur es avant censure 2000 0,0919979 958 0 47 1,00 0,98 0,02. 0,9. 3000 0,21240678 1110 1 46 0,98 0,96 0,04. Ti ln(f(Ti)) Tj ln(1-F(Tj)) 0,8. 4000 0,37700183 1746 1 45 0,98 0,94 0,06. 3510 -8,70305252 3777 -0,41189769 5000 0,5595599 1767 1 44 0,98 0,92 0,08. 0,7. 3183 -8,78072698 5171 -0,89193654 6000 0,72703701 1810 1 43 0,98 0,90 0,10.