TRANSFERTS THERMIQUES I- Généralités II- Conduction III ...

1 TRANSFERTS THERMIQUES . I- G n ralit s II- Conduction III- Rayonnement IV- Convection V. Applications TRANSFERTS THERMIQUES . I- G n ralit s Transfert thermique =. nergie en transit d une diff rence de temp rature Les modes de transfert de chaleur La Conduction transport d' nergie dans la mati re sans de d placement de mati re Transport par les lectrons (conducteur) ou les phonons (isolant). n cessite un milieu solide de transmission transmission faible dans les gaz La convection transport d' nergie dans la mati re avec d placement de mati re Transport par coulement de fluide (liquides, gaz) / diff rence de masse volumique n cessite un milieu fluide de transmission Le rayonnement transport d' nergie sous forme d'ondes lectromagn tiques pas de d placement de mati re pas de contact entre les objets ou milieux qui changent l' nergie pas de milieu de transmission n cessaire (dans le vide, a marche aussi !). TRANSFERTS THERMIQUES . I- G n ralit s dQ. Flux de chaleur : quantit de chaleur transf r e par unit de temps =.

2 Dt Un flux de chaleur s'exprime donc en Joules/s, c'est- -dire en Watt c'est une puissance. Densit de flux de chaleur : quantit de chaleur transf r e par unit de temps par unit de surface Une densit de flux de chaleur s'exprime donc W/m2 dQ. = 1. S dt Analogie avec la m canique des fluides : Un d bit fluide est un flux de mati re [m3/s]. Pour obtenir un d bit de fluide, il faut force motrice: une diff rence de pression ou d' nergie potentielle. Analogie avec l' lectricit : Un d bit de courant est un flux d' lectrons [C/s]. Pour obtenir un d bit de courant, il faut force motrice: une diff rence de potentielle lectrique. Un d bit de chaleur est un flux de chaleur [J/s]. Pour obtenir un d bit de chaleur, il faut une force motrice: une diff rence de temp rature TRANSFERTS THERMIQUES . I- G n ralit s D perdition d'une piscine 3 changeurs de chaleur 2. 1. Thermique des b timents Capteurs solaires (production ECS). Rendement dans les turbines quilibre thermique de la Terre Changements climatiques TRANSFERTS THERMIQUES .

3 II- Conduction Loi de Fourier A B. Dans cette barre m tallique chauff e en son extr mit A, on observe un gradient longitudinal de temp rature T(x): T(A) > T(B). Cette diff rence du potentiel temp rature T(A) - T(B) provoque un flux de chaleur : = h S [ T(A) - T(B) ] en J/s h est d fini comme un coefficient de transfert de chaleur Milieu de propagation du flux de chaleur: un solide Cause du ph nom ne: un cart de temp rature Dans le b ton, la temp rature T(M) va varie de 26 C au contact de l'eau, 8 C au contact du sol. Il existe donc une fonction de variation de la temp rature T = T(M). dans le milieu conduisant la chaleur Puisque la temp rature varie dans le solide en fonction de l'endroit o on la mesure, c'est dire que: Lorsqu'on de d place de: M en M + dM. T(M + dM) = T(M) + dT. La variation totale dT est la somme des 3 variations: T est une fonction des 3. variables d'espace x, y et z: Il existe donc un gradient de temp rature: et la variation totale de temp rature est gale au produit scalaire: avec: Cause Effet Un gradient un densit de flux local de de chaleur locale provoque temp rature La Loi de Fourier exprime que l'effet produit est proportionnel sa cause W/m2 W/(m.)

4 C) C/m TRANSFERTS THERMIQUES . I- Conduction Champs de lignes isothermes D finition de (C), une ligne isotherme: Si M (C) alors T(M) = Cte ou dT 0. La Loi de Fourier: les vecteurs densit de flux et gradient de temp rature sont colin aires. conduit donc . D finition du l'expression du gradient: produit scalaire: Si: on a: quand M + dM Lignes de flux orthogonales aux isothermes qui signifie que les vecteurs densit de flux Lignes isothermes sont orthogonaux aux lignes isothermes TRANSFERTS THERMIQUES . I- Conduction Conduction en 1D (probl me du mur). 1 D une seule variable d'espace x x=0 x=L. Dans le cas g n ral, T d pendra de l'espace: ce sera T(x, t) T(x = 0) = T0. T(x = L) = TL. dT. et la Loi de Fourier se r duit l' quation diff rentielle = . dx Cause du ph nom ne de Conduction dans le milieu: une diff rence de temp rature T0 > TL TL. x=0 x=L. Flux de chaleur en W/m2. Effet: un Flux de chaleur Hypoth se stationnaire Dans cette hypoth se, rien ne d pend de la variable temps t : T(x,t) T(x).

5 La temp rature de cette tranche de mati re de longueur dx demeure constante x x + dx (x) (x + dx) Par cons quent: (x) = (x + dx) Le flux de chaleur est constant x=L x=L. ( x)dx = T ( x)dx .L = (T T0 ). dT. ( x ) = ( x)dx = dT L. dx x =0 x =0. T0 TL. = . L. Exemple: mur en b ton L' cart de temp rature T1 - T2. provoque un flux de chaleur . travers le mur: T1 T2. = . L. Ecart de temp rature: T1 - T2 = 20 C - 5 C = 15 C. Epaisseur du mur: L = 0,20 m pour le b ton: = 0,92 W / (m . C). Flux thermique travers le mur: = 0,92 x 15 / 0,20 = 69 W/m2. Puissance pour S = 5 m x 4 m = 20 m2, = S = 1,38 kW. Analogie lectrique T1 T2 = R Diff rence de potentiel . = (T1 T2 ) T1 T2 =. L. = = R 1. S L S L . L. L R sistance thermique R= = . est la r sistivit lectrique S S S. est la r sistivit thermique, inverse de la conductivit . 1/ . R s'exprime en C/W.. = (T1 T2 ) T1 T2 = r . L. r est la r sistance sp cifique r = = =. S L. r s'exprime en /W. Mur multicouches (1D stationnaire). Chaque couche est caract ris e par: son paisseur ei sa conductivit i les temp ratures Ti et Ti+1 de ses 2 faces La densit de Flux thermique est constante tout le mur: T T T T.

6 = 1 2 = .. = n n +1. R1 Rn 1 R1 Rn i R. = = .. = = i T1 T2 Tn Tn +1 T1 Tn +1. T T. = =S. i R. i ei i i Loi du mur simple avec additivit des r sistances sp cifiques TRANSFERTS THERMIQUES . I- Conduction quation g n rale de la chaleur Expression locale de la loi exprimant un lien causal entre un apport d' nergie et une variation de temp rature application du 1er principe de la thermodynamique Apport d' nergie implique dt = ..dV une variation d' nergie du corps V. Les apports peuvent tre : 1 - Flux par Conduction re u par un volume V d limit par une surface S. rr rr [W ] = . soit un apport d' nergie QC [ J ] = dt.. S S. 2 - ventuellement, apport thermique de sources de chaleur internes de densit de puissance volumique p [W/m3] Q [ J ] = dt. I . V. rr 1er principe : Qc+Qi= U=mc T dt.. + dt. = dV . S V V. r r (Formule d'Ostrogradski) n ds = div dv = .dv r T r T. Bilan thermique + p c dv = 0 V + p c =0. V. t t r r ( ) T. r Loi de Fourier = T T + p c =0. t ( ) p c T p c T. r Milieu homog ne isotrope T + = 0 T + =0.

7 T t . Diffusivit thermique a= [m2s-1] Le cuivre a une diffusivit thermique a = 1, 1 . 10-4 m2/s). c 2 21 1 2 1 (r.) 2. 2 2. 1 1. = = 2 + + 2 + 2 = + 2 sin + 2 2. 2 r r r r 2. z r r 2. r sin r sin 2. R gime stationnaire Milieu inerte R gime stationnaire+milieu inerte p 1 T. T + =0 T =0 T = 0. a t quation de Poisson quation de Fourier quation de Laplace Conditions aux limites Indispensables pour la r solution de l' quation 2 grands type (Dirichlet, Neumann). Conditions de Dirichlet : les CL imposent la temp rature en surface (ou en un point particulier) chaque instant TS = T ( xs , ys , z s ). -assez loign es de la r alit (imposer une temp rature ?!). -facilitent les calculs Conditions de Neumann : les CL imposent le flux en surface chaque instant S = ( xs , y s , z s , t ). -Plus r aliste (tiens compte des flux par rayonnement par exemple). -Dans le cas stationnaire, S= 0. TRANSFERTS THERMIQUES . I- Conduction Mod les l mentaires 2T ( x). Mur homog ne, r gime stationnaire, conductivit constante T = 0 =0.

8 X 2. T1 T2. T ( x) = C1 x + C2 T1 T2 T ( x) = x + T1. C1 = T1 T2. x = 0 T = T1 dT S. x = T = T2 C2 = T1 = S = (T T ) . dx 1 2. T . = R=. R S. Mur homog ne N couches, r gime stationnaire T1 T2 T2 T3 Tn Tn+1.. T1 Tn+1. On apllique pour chaque couche le mod le pr c dent Ti Ti +1 i S T1 TN +1 T i T ( x) = x + Ti = (Ti Ti +1 ) = = RT = . i i Ri RT. i = N. i = N i S. Cylindre creux homog ne, r gime stationnaire, conductivit constante 2T (r ) 1 T (r ). T = 0 + =0. r 2 r r T1. r1. r2. T2. L. T (r ) = T1 (T1 T2 ) ln r r1. ln r2 r1. dT du u T (r ) = C1 ln r + C2 dT S (r ) (T1 T2 ). u= + =0 = S ( r ) =. dr dr r T1 T2 dr r ln r2 r1. ln u + ln r = ln C1 C1 =. 1 . ln r1 r2 = S (r ) = T = T 2 rL. r = r1 T = T1 R r ln r2 r1. C2 = T1 (T1 T2 ). ln r1. r = r2 T = T2 ln r1 r2 ln r2 r1. R=. 2 .L.. er R sont ind pendant de r - . - On utilise souvent une puissance lin aire lin ique l= pour 1 m de tuyau (L = 1 m). Cylindre creux homog ne N couches, r gime stationnaire, conductivit i constante est ind pendant de r il se conserve au passage de N couches On apllique pour chaque couche le mod le pr c dent r1.

9 (Ti Ti +1 ) ln r ln r T (r ) = i + Ti ln ri +1. r2 ln ri = 2 L i (Ti Ti +1 ). r3 ln ri +1 ri ln rn +1 rn 1 ln r2 r1 ln rn +1 rn 2 L i = = .. = = i = N. 2 L 1 (T1 T2 ) 2 L n (Tn Tn +1 ) T1 TN +1. 1. =. RT. T RT = ln r i = N. n +1 rn 2 L i Exemple : canalisation calorifug es Mur homog ne, r gime stationnaire, conductivit constante, CL Dirichlet + Neumann T ( x) = C1 x + C2 C2 = T1. T1 T2. x = 0 T = T1 T ( x) . 2 = = C1 C1 = 2. x = ( ) = 2 x x = . 2 . x + T1 T ( ) = T2 = 2 + T1 T2 T1 = 2 = . T ( x) = .. T . = R=. R S. Cylindre plein, r gime stationnaire, conductivit constante 0. Idem cylindre creux avec r1 0 T (r ) = C1 ln r + C2 r .. Physiquement inacceptable, sauf si C1=0 T(r)=constante, donc = 0 W. Mur composite, r gime stationnaire T1 T2 Probl me a priori 2D, mais l'approximation 1D permet cependant une bonne mod lisation de la r alit .. 2T ( x). T1 T2 T = 0 =0. x 2.. T1 T2. R1=e1/( 1S1).. R1=e1/( 1S1). T1 T2. Mur composite de N couches caract ris es par: son paisseur ei sa conductivit i R1=e1/( 1S1).

10 Sa surafce Si T T ei les temp ratures T1 et T2 de ses 2 faces = = Ri =. RT 1 i Si . i = N Ri TRANSFERTS THERMIQUES . I- Conduction Mod le du milieu semi-infini T, . Milieu semi infini = milieu dont les dimensions sont suffisamment grandes pour que les perturbations (T. ou ) applique s sur l'une des faces ne se fassent pas ressentir sur l'autre R solution de l' quation de la chaleur . Description r aliste du sol Transform e de Laplace d'une fonction M thode de s paration des variables Th or me de superposition (d composition de Fourier). Fonction de Green Calcul num rique Tranform e de Laplace . f continue born e sur [0, + [ (m me par morceaux). F ( p) = L[ f (t )] = exp( pt ) f (t )dt 0< <1 / t |f(t)| 0 si t 0. 0. Si f est d finie sur |R, f est nulle sur |R- F(p) d finie pour p>0 (majoration l' ). Si p complexe c'est la transform e de Fourier Lin arit : L[af(t)+bg(t)]=aL[f(t)]+bL[g(t)]. D riv e : L[fn(t)]=pF(p)-f(0+)]. f(t) F(p). Similitude : L[f(kt)]=(1/k)F(p/k) 1 (Heaviside) 1/p t 1/p2.]