Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ...

1 Transformada de Laplace y sus aplicaciones a lasecuaciones diferencialesJos Salvador C novas Pe a8 de enero de 2008 ndice General1 Transformada de ndeHeaviside .. Definici Definici Dominio de definici PropiedadesdelaTransformadadeLaplace .. Transformadadelaintegral .. Transformadadelaconvoluci PrimerTeoremadeTraslaci SegundoTeoremadeTraslaci Propiedadesdelafunci Teoremasdelvalorinicial .. Teorema del TransformadadeLaplaceinversa .. InyectividaddelaTransformadadeLaplace .. TransformadadeLaplaceinversa .. F rmuladeinversi Unaprimeraaproximaci Uso de la convoluci Sistemas de Funciones de 27i ndice Una aplicaci n concreta .. Funciones de transferencia. Estabilidad y control de sistemas el ctricos .. 30iiIntroducci nVamos a desarrollar un tema sobre la Transformada de Laplace y su aplicaci n a la resolu-ci n de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes ecuaciones surgen de manera natural enel contexto de los circuitos el por ejemplo el t pico circuito LRC de lafiguradonde la inductanciaL, la resistenciaRy la capacidad de condensadorCse consideranconstantes.

2 Se tiene entonces que la cargaq(t)que circula por el circuito est dada por laecuaci nLq00(t)+Rq0(t)+q(t)/C=V(t),y dado que la intensidadI(t)es la derivada de la carga, sta puede calcularse por la ecuaci nLI0(t)+RI(t)+Zt0I(s)ds/C=V(t),o equivalentemente con la ecuaci n diferencialLI00(t)+RI0(t)+I(t)/C=V0(t),e n el caso en queV(t)sea una funci n nDe forma similar, si tenemos un circuito con varias ramas y m s elementos, como porejemplopodemos deducir a partir de las leyes de Kirchoffque las intensidades que circulan por loshilos el ctricos del circuito vienen dadas por 0=I1 I2 I3,V0(t)=I01R1+I1/C1+I02R2,0= I02R2+I003L+I3/C2,Si suponemos los elementos del circuito constantes, salvo a lo mejor el voltajeV(t),quesupondremos una funci n derivable, tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales linealescon coeficientes Transformada de Laplace es una herramienta que permite transformar los problemasanteriores en problemas algebraicos y, una vez resuelto este problema algebraico m s f cila priori de resolver, calcular a partir de la soluci n del problema algebraico la soluci n delproblema de ecuaciones es la forma en que los ingenieros abordan el estudio de estos problemas, como ponede manifiesto las referencias [Oga1], [Sen] o [Jam].

3 Adem s este m todo es explicado enalgunos libros de ecuaciones diferenciales como [BoPr], [Bra], [Jef] o [MCZ].Sin embargo, para entender en su justa dimensi n la Transformada de Laplace hay que2 Introducci ndominar contenidos b sicos de variable compleja que nuestros alumnos ya han estudiado du-rante el curso (ver por ejemplo [Mur]). As , vamos a presentar la Transformada de Laplaceen un primer lugar usando los conocimientos que el alumno tiene de funciones de variablecompleja y una vez explicada sta, procederemos a indicar algunas aplicaciones a las ecuacio-nes y sistemas citadas anteriormente. Nuestros alumnos tambi n deben conocer y dominarcontenidos relativos a integrales impropias que fueron explicados en la asignatura de primercursofundamentos matem ticos de la ingenier modo de introducci n hist rica, diremos que la expresi nF(z)=Z+ e ztf(t)fu acu ada en primer lugar por Pierre Simon Laplace en 1782. Su utilizaci n dentro dela t cnica se debe en su forma rigurosa a Thomas Bromwich, el cual formaliz utilizandolas funciones de variable compleja y la Transformada de Laplace un c lculo operacionalinventado por Oliver Heaviside para la resoluci n de circuitos el n4 Cap tulo 1 Transformada de Funciones continuas a trozos.

4 Funci n de Heavisi-dePreviamente a introducir la Transformada de Laplace , hemos de concretar qu tipo defunciones vamos a considerar para nuestros problemas. Las funciones que van a ser de im-portanciadentrodelaingenier asonaquellasllamadascontinuas a trozos,queacontinuaci merosrealesa<b,sedicequelafunci nf:[a, b] Cescontinua a trozossi existe una partici n de[a, b],a=t0<t1<..<tn=b,demaneraquefes continuaen(ti,ti+1),0 i<n,yexistenysonfinitos los l mites laterales defen cada uno de lospuntosti,0 i funci nf:[0,+ ) Cse dice que escontinua a trozossi para cada intervalocompacto[a, b] [0,+ )se verifica quef:[a, b] Ces continua a de los primeros ejemplos de funci n continua a trozos esha:[0,+ ) C,dondeaes un n mero real mayor o igual que cero. Esta funci n est definida porha(t)=(0sit<a,1sit a,y se conoce en ingenier a con el nombre defunci n de de LaplaceF sicamente, la funci n de Heaviside realiza la funci n de interruptor, de manera que sif:[0,+ ) Ces una funci n continua se tiene queha fes la funci n(ha f)(t)=(0sit<a,f(t)sit a,lo que representa que la funci nha enciende a la funci n o se alfen el instante de tiempot=a.]]]]

5 Adicionalmente, si consideramos0 a<bylafunci nha hb:[0,+ ) C, statiene la forma(ha hb)(t)=(0sit/ [a, b),1sit [a, b).As , si tomamos ahora la funci nha f hb f,lafunci nhbtiene el efecto f sico de apagar la funci nf,yaque(ha f hb f)(t)= 0sit<a,f(t)sia t<b,0sib s de estas interpretaciones f sicas, la funci n de Heaviside es til para describirfunciones continuas a trozos que a su vez seancontinuas por la derecha. Por ejemplo, lafunci nf(f)= tsi0 t<1,t 1si1 t<3,sintsi3 t,puede escribirse comof(t)=t [h0(t) h1(t)] + (t 1) [h1(t) h3(t)] + sint h3(t).Esta forma de describir funciones continuas a trozos ser til en los siguientes apartados deltema debido a las propiedades de la Transformada de Laplace que posteriormente estudia-remos. Por otra parte hemos de comentar que al venir la Transformada de Laplace definidacomo una integral, la condici n de ser la funci n continua por la derecha es irrelevante ytodas las funciones pueden tomarse de esta Definici n de Transformada de Definici n y primeros ejemplosSeaf:[0,+ ) Cuna funci n localmente integrable, esto es, existe la integral deRiemann defen todo intervalo compacto[0,a] [0,+ ).]]]]]

6 Sedefine laTransformada de6 Transformada de LaplaceLaplacedefenz CcomoL[f](z)=Z+ 0e ztf(t)dt,( )siempre que tal integral impropia exista. Como el alumno debe conocer, la convergencia dela integralZ+ 0|e ztf(t)|dtimplica la convergencia de la integral ( ). Denotaremos porDfel dominio deL[f],esdecir, el subconjunto del plano complejo donde la expresi n ( ) tiene continuaci n vamos a ver ejemplos de Transformadas de Laplace de algunas funcioneselementales. Funci n de 0y consideremos la funci n de Heavisidehadefinidaanteriormente. Entonces para todoz Ctal queRez>0se verificaL[ha](z)=Z+ 0e ztha(t)dt=Z+ ae ztdt= limx + Zxae ztdt= limx + e zaz e zxz =e particular, cuandoa=0obtenemosL[h0](z)=1z. Funci n Cy consideremos la funci n exponencialf(t)=e verifica entonces para todoz Ctal queRez>Re L[f](z)=Z+ 0e zte tdt=Z+ 0e (z )tdt= limx + Zx0e (z )tdt= limx + 1z e (z )xz =1z .En particular, si =0se verifica quef(t)=1,conloquenuevamenteL[ha](z)=1zp ara todoz Ctal queRez>0.

7 N mero natural y consideremos la funci nfn(t)=tn. Vamosver que la Transformada de Laplace defnviene dada por la expresi nL[fn](z)=n!zn+1para todoz Ctal queRez> de LaplacePara ver esto procedemos por inducci n calculando en primer lugar la Transformadadef1. Integrando por partes obtenemosL[f1](z)=Z+ 0e tztdt=limx + Zx0e tztdt= limx + xe xzz+1 e xzz2 =1z2,A continuaci n, por la hip tesis de inducci n supongamos queL[fn](z)=n!/zn+1ycalculemos la Transformada defn+ [fn+1](z)=Z+ 0e tztn+1dt=limx + Zx0e tztn+1dt.( )Tomando partes en la expresi n anteriorZx0e tztn+1dt=xn+1e xz z+n+1zZx0e tztndt.( )Combinando ( ) y ( ) concluimos queL[fn+1](z)=n+1zL[fn](z)=(n+1)!zn+2. Funciones peri dicas. Las funciones peri dicas son bastante importantes en inge-nier a debido a que su periodicidad las hace controlables. Seaf:[0,+ ) Cunafunci n peri dica con periodoT. EntoncesZnT0e tzf(t)dt=n 1Xj=0Z(j+1)TjTe tzf(t)dt=n 1Xj=0e jzTZT0e tzf(t)dtrealizando cambios de variable en las integrales y usando que la funci n es peri dicade periodoT.]

8 Tomando l mites cuandon + ,severifica para todoz Ctal queRez>0la relaci nL[f](z)=11 e zTZT0e tzf(t) Dominio de definici n de la Transformada de LaplaceLos ejemplos que anteriormente hemos explicado ponen de manifiesto que la funci n Trans-formada de Laplace de una funci nf:[0,+ ) Cno tiene porque estar definida en todoel plano complejo. Vamos a estudiar con precisi n c mo es el dominio de definici n de estasfunciones, pero consideraremos una clase especial de funciones que tienen lo que llamaremosorden de LaplaceUna funci nf:[0,+ ) Cse dice que tiene orden exponencial si existen constantesA>0yB Rde manera que para todot 0se satisface la condici n|f(t)| AetB.( )Denotaremos porEel conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial, queser n las funciones con las que trabajaremos a partir de ahora. El siguiente resultado ofreceuna primera aproximaci n sobre el dominio de definici n de la Transformada de Laplace defunciones con orden 1 Seaf:[0,+ ) Cunafunci ncontinuaatrozoscumpliendolacondici n( ).]]]

9 EntoncesL[f](z)est definida para todo n mero complejoztal queRez> a ver que la funci ne ztf(t)es absolutamente integrable para todo complejoztal queRez>B. Para ello consideramosZ+ 0|e ztf(t)|dt=Z+ 0e Rezt|f(t)|dt AZ+ 0e (Rez B)tdt=limx + AZx0e (Rez B)tdt=Alimx + 1B Rez e x(Rez B)B Rez =1B Rez,con lo que la Transformada de Laplace existe en el subconjunto{z C:Rez>B}.Este resultado prueba que{z C:Rez>B} =inf{B R: A>0con|f(t)| AeBtpara todot 0},y denotamos porD f={z C:Rez> }.La Proposici n 1 nos asegura queD f Propiedades de la Transformada de LaplaceUna vez estudiada la definici n de Transformada de Laplace y caracterizadas algunas con-diciones para que una funci nftenga Transformada de LaplaceL[f]definida en un dominiodel plano complejoDf, pasamos a estudiar algunas propiedades b sicas de esta transformadaintegral. La primera propiedad que vamos a estudiar es la de LinealidadEsta propiedad ser muy til para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientesconstantes, a la vez que permitir el c lculo de la Transformada de algunas 2 Seanf, g Eya, b Df Dgse verifica queL[af+bg](z)=aL[f](z)+bL[g](z).

10 Demostraci n se sigue inmediatamente de la linealidad de la integral. Conside-remosL[af+bg](z)=Z+ 0e zt(af(t)+bg(t))dt=limx + Zx0e zt(af(t)+bg(t))dt=alimx + Zx0e ztf(t)dt+blimx + Zx0e ztg(t)dt=aL[f](z)+bL[g](z), partir de la linealidad de la Transformada de Laplace podemos obtener nuevas Trans-formadas de funciones elementales, como muestran los siguientes ejemplos. Funci n Ry consideremos la funci nf(t)=sin( t)=ei t e i [f](z)=12i L[eit ](z) L[e it ](z) =12i 1z i 1z+i = z2+ 2siempre queRez>0. Funci n Ry consideremos la funci nf(t)=cos( t)=ei t+e i forma an loga a la anterior se obtiene queL[f](z)=zz2+ 2siempre queRez> de Laplace Funci n seno hiperb Ry consideremos la funci nf(t)=sinh( t)=e t e [f](z)=12 L[e t](z) L[e t](z) =12 1z 1z+ = z2 2siRez>| |. Funci n coseno hiperb Ry consideremos la funci nf(t)=cosh( t)=e t+e forma an loga a la anterior se obtiene queL[f](z)=zz2 2siempre queRez>| |.