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1 TRANSFORMADA Z Ing. Juan Sacerdoti Departamento de Matem tica Facultad de Ingenier a Universidad de Buenos Aires 2003 V NDICE TRANSFORMADA Z INTRODUCCI N SISTEMAS Y SE ALES DESCRIPCI N Y ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE SE ALES VARIANTES DE MODELOS DE SISTEMA SISTEMA SIN CONTROL (DE LAZO ABIERTO)

2 SISTEMA CON CONTROL O CON REALIMENTACI N (DE LAZO CERRADO) SISTEMAS CON PERTURBACIONES EJEMPLO DE UN SISTEMA CON CONTROL Y PERTURBACIONES TIPIFICACI N DE SISTEMAS SE ALES Y SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO DEFINICIONES DE SE ALES Y SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO CONVERSIONES ANAL GICA/DIGITAL (A/D) Y DIGITAL/ANAL GICA (D/A) CONVERSI N A/D CONVERSI N D/A SISTEMAS CON Y SIN MEMORIA SISTEMA CAUSAL SISTEMA ESTABLE SISTEMAS LINEALES SISTEMAS INVARIANTES TRANSFORMADAS EN GENERAL Y TRANSFORMADA ZETA QUE ES UNA TRANSFORMADA QUE ES LA TRANSFORMADA ZETA Y SUS APLICACIONES APLICACIONES DE TRANSFORMADA ZETA.

3 SISTEMAS TDLI SE ALES PARTICULARES ELEMENTOS DE LOS SISTEMAS TDLI DEFINICI N DE LA TRANSFORMADA ZETA TEOREMA DE LA SERIE DE LAURENT DEFINICI N DE LA TRANSFORMADA ZETA CAMPO O REGI N DE CONVERGENCIA (ROC) NOTACI N REDUCCI N A LA TRANSFORMADA FINITA DE FOURIER TRANSFORMADA ZETA DE SUCESIONES ELEMENTALES ESCALON UNITARIO u[n] IMPULSO UNITARIO [n] TABLA DE TRANSFORMADAS ZETA DE FUNCIONES ELEMENTALES PROPIEDADES LINEALIDAD DESPLAZAMIENTO EN TIEMPO DESPLAZAMIENTO z a MODULACI N DE SUCESI N EN TIEMPO MODULACI N CON an MODULACI N CON ei n CAMBIO DE ESCALA GEN RICO INVERSI N EN z TZ DE LA DIFERENCIA FINITA PRIMERA DIFERENCIA SEGUNDA DIFERENCIA TZ DE LA SUMA FINITA DERIVADA DE LA TZ PRIMITIVA DE LA TZ PRIMITIVA DE LA TZ EN EL ANILLO A(r1,r2) PRIMITIVA DE LA TZ EN EL ANILLO A(r1, ) CONVOLUCI N DE SUCESIONES.

4 ANTITRANSFORMADA DEL PRODUCTO DE TRANSFORMADAS. CONVOLUCI N DE TRANSFORMADAS. TRANSFORMADA DE PRODUCTO DE SUCESIONES SUCESI N PERI DICA RESUMEN DE PROPIEDADES TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL - CAUSAL DEFINICI N DE FUNCI N CAUSAL DEFINICI N DE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL CAMPO DE CONVERGENCIA DE LA CAUSAL NOTACI N PROPIEDADES DE LA CAUSAL DESPLAZAMIENTO EN TIEMPO DE LA CAUSAL DIFERENCIAS FINITAS CAUSAL DE LA PRIMERA DIFERENCIA CAUSAL DE LA SEGUNDA DIFERENCIA CONVOLUCI N DE LA CAUSAL TEOREMA DE RIEMANN Y COROLARIOS TEOREMA DEL VALOR INICIAL TEOREMA DEL VALOR FINAL RESUMEN DE PROPIEDADES ESPEC FICAS DE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL

5 APROXIMACI N ENTRE LAS SE ALES DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO ERRORES DE LA APROXIMACI N RELACI N ENTRE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL Y LA TRANSFORMADA DE LAPLACE APROXIMACI N DERIVADAS CON DIFERENCIAS FINITAS APROXIMACI N ECUACIONES DIFERENCIALES CON ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS APROXIMACI N DE INTEGRALES CON SUMAS FINITAS INTEGRALES DE RIEMANN INTEGRALES IMPROPIAS APLICACIONES RESOLUCI N DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS SIN CONDICIONES INICIALES ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS CON CONDICIONES INICIALES .- APLICACIONES A SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO LINEALES E INVARIANTES.

6 (TDLI) SISTEMAS TDLI EN EL CAMPO z EJEMPLOS DE TDLI APROXIMACI N DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS TABLA DE TRANSFORMADAS ZETA EJERCICIOS resueltos DE TRANSFORMADAS ZETA Agradecimientos: Se agradece a todos los docentes y alumnos que han aportado observaciones y comentarios al texto, especialmente a mi ayudante Juan Pablo Fr as. TRANSFORMADA ZETA 1. INTRODUCCI N La TRANSFORMADA Zeta (TZ) es un modelo matem tico que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del Procesamiento de Se ales Digitales, como son el an lisis y proyecto de Circuitos Digitales, los Sistemas de Radar o Telecomunicaciones y especialmente los Sistemas de Control de Procesos por computadoras.

7 La TZ es un ejemplo m s de TRANSFORMADA , como lo son la TRANSFORMADA de Fourier para el caso de tiempo discreto y las TRANSFORMADA de Fourier y Laplace para el caso del tiempo continuo. La importancia del modelo de la TRANSFORMADA Z radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias o ecuaciones recursivas con coeficientes constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales. Se introducen en primer t rmino algunos elementos de Sistemas y Se ales. SISTEMAS Y SE ALES DESCRIPCI N Y ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE SE ALES Se llama Sistema a un conjunto de elementos de cualquier tipo, naturales o artificiales (construidos por el hombre) como mecanismos, m quinas, circuitos etc.

8 Un Sistema est sometido a la excitaci n de una Se al de Entrada o de Control (causa) a la cual le responde transform ndola en una Se al de Salida (efecto). Las se ales de Entrada y de Salida son funciones de una o m s variables. El modelo de un Sistema para analizar y dise ar el comportamiento causa- efecto se puede representar por el siguiente esquema: Dicho esquema o modelo es aplicable a todas las ramas de la ingenier a: electricidad, mec nica, comunicaciones, astron utica, aeron utica, naval, control de procesos qu micos, construcciones, etc. Los problemas que se presentan en el estudio de Sistemas son dos: An lisis y S ntesis An lisis: Dado un Sistema sometido a una entrada determinada X analizar que salida Y produce.

9 SX Y S ntesis: Dadas una entrada X y una salida Y determinadas dise ar el Sistema que transforma una en otra. YX S Ejemplos simples de Sistemas son: Ejemplos de Sistemas Entrada Sistema Salida Presi n en el acelerador Autom vil Velocidad del autom vil Acciones del conductor.

10 - Giro del volante - Presi n en el acelerador - Freno - etc. Autom vil Movimiento del autom vil Fuerza vibratoria excitatriz Sistema vibratorio Movimiento vibratorio del cuerpo Movimiento de la Luna Mar Altura mareas Programa de mecanizado Central de mecanizado Pieza mecanizada Tensi n el ctrica circuito el ctrico Corriente el ctrica Corriente el ctrico circuito el ctrico Tensi n el ctrica Energ a Hidr ulica o T rmica etc Sistemas de generaci n y distribuci n de energ a Energ a El ctrica Energ a combustible Cohete Movimiento Onda electromagn tica Radio Emisi n de la voz Onda