TRASFORMAZIONI TERMODINAMICHE esercizi risolti

1 Ensaverr rip ortatolosvolgimentodialcunieserciziinere ntil'applicazionedelprimoprincipiodellat ermo dinamica,p erilcalcolodellavoropro STATO TERMODINAMICO:Manieradipresentarsidiunqu alsiasisistematermo dinamicorelativamentealletrevariabiliter mo dinamichemacroscopicheP,V,T,lequalisonoc orrelateadunprecisostatomicroscopicodelg as(collegatoallepropriet cinematichedellesueparticelle,ossiaallep osizionieallevelo cit dellemolecole).SulpianodiClap eyron(V,P) denotatodaunpunto. ENERGIA INTERNAU:Vienede nitacomesommadellevarieformedienergiache ilsistemap particellare,comeungasp erfetto,l'energiaU de nitadallarelazione:U=N i=1 EidoveEi l'ammontaredienergiadellai 'ovviochel'energiainterna collegataallostatotermo dinamico,p ercui,comevedremo, Usar 'ip otesicheilgassegualateoriacinetica,l'ene rgiaasso ciataaciascunaparticella puramentecineticaequindil'energiainterna funzionedellasolatemp eratura(ricordarelarelazionediBoltzmannf ral'energiacineticamediadelleparticellee latemp eraturaassoluta).

2 Intalcaso U 'energiainternasipu ancheconsiderareunasortadiserbatoioenerg eticop erilgas:lasuavariazionesar quindidovutaaduntravasodienergiadall'amb ienteasistema,oppureadunafuoriuscitadien ergiadalsistemaall'ambiente(vedremo,sott oformasiadicaloreacquisito/cedutochedila vorofattosul/dalsistema) TRASFORMAZIONE TERMODINAMICA:Ognipro cessoofenomenochecomp ortaunavariazionedellostatotermo avvenireinvarimo di:a)trasformazioneIDEALEoQUASISTATICA,q uandolavariazionedellostatoavvienecos len-tamentedafarpassareilsistemaattraver sostaticontiguidiequilibrio,dandocio temp ,p erch medianteunatrasformazioneINVERSAp ossiamoripristinare,apartiredaSf, eyron(V,P) )trasformazioneREALEoIRREVERSIBILE:quell acheavvieneinmo dorep entinooviolento,nonpassandoattraversosta ticontiguidiequilibrioequindinonessendop eressap eyron(V,P) )trasformazioneCICLICA,quandolostato p eyron(V,P) denotatadaunaqualsiasicurvachiusa.

3 PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA:Relazionecheesprimelavaria zionedell'energiainternainfunzionedeifen omenichelaprovo ostulache,ai nidellavariazionedell'energiainternadiun sistematermo dinamico,sonoequivalentil'azionedelcalor eQ(chepu esserefornitoosottrattoalsistema)olapro duzionedilavoroL(fattodalsistemaopro dottosulsistema).Convenzionalmente,alcal orefornitosid segnop ,quellocompiutoSULsistemahasegnop ositivo, ,ilprimoprincipioassumelaformulazione: U=Q L1 Ingenerale,quindi,loscambiodicaloreolapr o duzionedilavorosonosemprecorrelatiinmani eraequivalenteallavariazionedell'energia internadelsistema.

4 TRASFORMAZIONE ISOBARA:Trasformazionedellostatodiungasc heavvienesenzavariazionedellapressioneac ui soggettoilgasstesso( eraturaequindidelvolumediungasentrocilin droconpistonemobilecheesercitasulgassemp relastessapressione).Illegameapressionec ostante,traVeT espressadallaprimaleggediGay-Lussacche b enescriverenellaforma:VT=costoveV ilvolumedelgasp erfettoeT latemp eyron(V,P) attatrasformazione sempreasso ciataallapro duzionedilavoroL,dovutaallavariazionediv olume V:L=P VIlcaloreQscambiatotrasistemaedambiente prop orzionaleallavariazioneditemp eratura,tramitelarelazione:Q=n CMP Toven ilnumerodimolidelgas,CMP lacapacit termicamolareapressionecostante(pro dottodellamassamolaredelgasedelcaloresp eci cocPapressionecostantedelgasstesso).

5 Inunatrasformazioneisobara,lavariazioned ienergiainterna signi ca,p eresempiochesesiriscaldaungasapressionec ostante,l'energiaimmessa(sottoformadical oreQ)partevaadaumentarel'energiainterna( equindilaTdelgas)eparteservep erlapro duzionedilavorodapartedelgas,dovutoallas uaespansione. TRASFORMAZIONE ISOCORA:Trasformazionedellostatodiungasc heavvienesenzavariazionedelvolume( eraturaequindidellapressionediungasentro cilindroconpistoneblo ccato).Illegameavolumecostante,traTeP espressadallasecondaleggediGay-Lussacche b enescriverenellaforma:PT=costoveP lapressionedelgasp erfettoeT latemp eyron(V,P) attatrasformazionenon maiasso ciataallapro duzionedilavoroL,vistochelavariazionediv olume V nulla,p ercuiL= prop orzionaleallavariazioneditemp eratura,tramitelarelazione:Q=n CMV Toven ilnumerodimolidelgas,CMV lacapacit termicamolareavolumecostante(pro dottodellamassamolaredelgasedelcaloresp eci cocVavolumecostantedelgasstesso).

6 Inunatrasformazioneiso cora,lavariazionedienergiainterna signi ca,p eresempiochesesiriscaldaungasavolumecost ante,l'energiaimmessa(sottoformadicalore Q)vatotalmenteadaumentarel'energiaintern a(equindilaTdelgas).Diconseguenza,unaste ssaquantit dienergiaQcomunicataalmedesimogasinmanie ranelprimocasoisobaraenelsecondoiso cora,pro duceunmaggiorincrementodiTnelsistemaacui ilcalore statofornitoavolumecostante,p ercui TV> ,seQ=n CMV TV=n CMP TPsigni cacheCMP> CMPedanzi,sipu dimostrareche:CMP CMV=Rrelazionequesta, TRASFORMAZIONE ISOTERMA:Trasformazionecheavvienemantene ndocostantelatemp eraturadelgas,pro 'espressadallaleggediBoyle-Mariotte:P V=K P0 V0=P1 V1=.

7 SulpianodiClap eyron(V,P) denotatadaunramodiip erb attatrasformazione sempreasso ciataallapro duzionedilavoroL,dovutaallavariazionediv olume dimostrarecheillavoropro dottonellatrasformazioneisotermaallatemp eraturaTtraduestatirisp ettivamenteaV0eVfvale:L=n R T ln(VfV0)Seintaletrasformazionenonsihauna variazioneditemp eratura,ciattendiamochenonsiabbianemmeno unavariazionedienergiainterna,p ercui,se U= 0alloraQ=L,cio ilcalorescambiato pariallavoropro dotto. TRASFORMAZIONE ADIABATICA:Trasformazionetermo dinamicacheavvienesenzacheintervenganosc ambidicalorefrailsistemael'ambiente,quin diaQ= larelazionediPoisson:P0 V 0=P1 V 1=.

8 =Pf V f=costIlco e cientevale: =CMPCMVed ugualep ergasdellastessasp ecie(mono-,bi-,tri-atomici).Altreformede llaleggediPoissonsono:T V 1=cost, T P1 =costSulpianodiClap eyron(V,P) denotatadaunramodicurvaesp onenzialeap endenzamaggiorediun' ossonoavvenirescambidicalore,sihapro duzionedilavorosolamenteasp esedell'energiainterna,quindi:L= U= n CMV TSihadunqueunatrasformazioneadiabaticaqu andoungaspro ducelavorop eresempiop erespan-sione,ra reddandosienonriversandonell'ambientel'e nergiainternap erduta. MACCHINA TERMICAE'unqualsiasidisp ositivochehalafunzionediconvertireilcalo reQ2prelevatodaunasorgenteatemp eraturaT2inlavoroL,riversandol'energiari mastaQ1adunasorgentepi freddaaT1< uidotermo dinamico,idealmenteungasp erfetto,acuivienefattacompiereunatrasfor mazioneciclica(successioneditrasformazio niideali).

9 E'ovviocheL=Q2 ortanteilconcettodirendimento ,espressocomerapp ortofralavoropro dottoecaloreusatop eralimentarelasorgentecalda: =LprodQassIlteoremadiCarnotprevedechecis iasempreunlimitesup eriorealrendimentodiunamacchinatermicare ale rchelavoratraduetemp eraturediriferimentoT1eT2:dettolimitecor risp ondealrendimento CdiunamacchinadiCarnotidealechelavorafra lestesseduetemp erature(dettediesercizio): r= 1 Q1Q2< C= 1 T1T2<13 STUDIODIUNATRASFORMAZIONEADIABATICA12lit ridiungasmonoatomico( = 1,66) ,arrivanoadoccupareunvolume naledi2, nalidiPeTedillavorofattodalgasnel l'espansione,sapendochelasuacapacit termicaCMVvale12,45J/mKecheilgas =cost,uguagliandoipro dottifrastatoinizialeestato nale,abbiamo:P0V 0=Pf0V f Pf=P0 (V0Vf) sostituendoivalori(chep ossiamoanchefareamenodiconvertireinunit ),abbiamo:Pf= 1 (22,8)1,66'0,57 AtmPercalcolareilvalorediTf,usiamolaseco ndaformadell'equazionediPoisson,ossia:T0 V 10=TfV 1f=Tf=T0 (V0Vf) 1 Intalcaso.

10 Tf= 273,16 (22,8)1,66 1= 273 0,80'218,77 Percalcolareillavoro,usiamolaformula:L= n CMV T:L= 3 12,45 (218,77 273,16) = 37,35 ( 54,39) = 2031,47 JComesivede,sitrattadiunlavorop ositivo,quindifattodalgasversol' ,inizialmenteapressioneatmosfericaevolum eV0= 5l compressoadiabaticamentesinoaraggiungere unapressione nalediPf= 1, la nedel latrasformazione( = 1,4)Usandol'equazionediPoisson,siha:P0V 0=Pf0V f (V0Vf) =PfP0 Prendiamoorailogaritmidientrambiimembri: ln(V0Vf) = ln(PfP0)Perlenotepropriet deilogaritmi,siha: ln(V0Vf)= ln(PfP0) lnV0 lnVf= ln(PfP0)= lnVf= lnV0 ln(PfP0) Inserendoivalorinumerici:lnVf=1,4 ln 5 ln(1,131)1,4'1,522 Ora,selnVf= 1,522,esp onenziandoinbaseesiha,p erlanotarelazionefraesp onenzialeelogaritmodellastessabase:elnVf =e1,522 Vf=e1,522'4,58l4 STUDIODIUNATRASFORMAZIONEISOTERMA3 Duemolidigasperfettosonocompresseisoterm icamenteal latemperaturaT0= ,8a1, ettuaretaletrasformazioneCome noto,illavoropro dottoinunatrasformazioneisotermavale.