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1 MATEM TICAS TIMONMATE. ejercicios resueltos DE TRIGONOMETR A Juan Jes s Pascual TRIGONOMETR A. A. Introducci n te rica Razones trigonom tricas de un tri ngulo rect ngulo. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ngulos significativos (en grados y radianes). Significado geom trico de las razones trigonom tricas en la esfera goniom trica. Relaciones entre las razones trigonom tricas. Resoluci n de tri ngulos: Teoremas del seno y del coseno. B. ejercicios resueltos Razones trigonom tricas. Ecuaciones trigonom tricas. Problemas. A. INTRODUCCI N TE RICA. Razones trigonom tricas de un tri ngulo rect ngulo: Las razones trigonom tricas de un tri ngulo rect ngulo son las siguientes funciones: La funci n seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Todas ellas pueden entenderse como relaciones entre los lados de un tri ngulo rect ngulo. Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los ngulos y.

2 Del tri ngulo rect ngulo aqu representado: a) Para el ngulo : funci n seno funci n coseno funci n tangente a b a sen = cos = tg =. c c b funci n cosecante funci n secante funci n cotangente 1 c 1 c 1 b cos ec = = s ec = = cotg = =. sen a cos b tg a 1/22. ejercicios de trigonometr a resueltos TIMONMATE. b) Para el ngulo : funci n seno funci n coseno funci n tangente b a b sen = cos = tg =. c c a funci n cosecante funci n secante funci n cotangente 1 c 1 c 1 a cos ec = = s ec = = cotg = =. sen b cos a tg b Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ngulos significativos (en grados y radianes). ngulo sen cos tg ngulo sen cos tg 3 1. 0 0 rad 0 1 0 60 rad 3. 3 2 2. 1 3 1 . 30 rad 90 rad 1 0 . 6 2 2 3 2. 2 2. 45 rad 1 180 rad 0 1 0. 4 2 2. Significado geom trico de las razones trigonom tricas en la esfera goniom trica Se llama circunferencia goniom trica a aquella que tiene por radio la unidad .

3 Para una circunferencia goniom trica es posible dar un sentido muy intuitivo a todas las razones trigonom tricas. Vamos a verlo mediante el siguiente dibujo. 2/22. TIMONMATE ejercicios de trigonometr a resueltos Relaciones entre las razones trigonom tricas a) Relaciones fundamentales: El seno, el coseno y la tangente de un ngulo est n relacionados mediante la siguiente igualdad: sen . = tg . cos . Por otro lado, se cumple la siguiente igualdad, estrechamente vinculada al teorema de Pit goras: sen 2 + cos 2 = 1. b) Relaciones del ngulo suma diferencia: sen ( ) = sen cos sen cos . cos ( ) = cos cos sen sen . tg tg . tg ( ) =. 1 tg tg . c) Relaciones del ngulo doble Es un caso particular del anterior en el que y son iguales. sen ( 2 ) = 2sen cos . cos ( 2 ) = cos 2 sen 2 . 2tg . tg ( 2 ) =. 1 tg 2 . d) Relaciones del ngulo mitad 1 cos . sen 2 =. 2 2. 1 + cos . cos 2 =. 2 2. 3/22. ejercicios de trigonometr a resueltos TIMONMATE.

4 1 cos . tg 2 =. 2 1 + cos . Resoluci n de tri ngulos: Teoremas del seno y del coseno Sea el siguiente tri ngulo. No hace falta que sea rect ngulo! Se verifican las siguientes dos expresiones, conocidas como teorema del seno y teorema del coseno. A. c b B C. a a b c a) Teorema del seno: = =. senA senB senC. b) Teorema del coseno: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A. B. ejercicios resueltos . C lculo de razones trigonom tricas 1. Sabiendo que sen = 0, 86 calcula las dem s razones trigonom tricas directas e inversas Soluci n: Las razones trigonom tricas directas son el seno, el coseno y la tangente, y las inversas la cosecante, la secante y la cotangente. Vamos a relacionar todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan: sen = 0, 86. 4/22. TIMONMATE ejercicios de trigonometr a resueltos El coseno se deduce a partir de la ecuaci n fundamental sen 2 + cos 2 = 1 : sen 2 + cos 2 = 1 cos 2 = 1 sen 2 cos = 1 sen 2.

5 Sustituyendo datos: 1. cos = 1 sen 2 cos = 1 0, 86 2 cos =. 2. La tangente buscada se deduce de la f rmula fundamental sen . = tg . S lo hay que sustituir en ella los valores conocidos: cos . sen 0, 86. = tg tg = tg = 1,72. cos 0, 5. La cosecante es la inversa del seno. 1. cos ec = sen 1 = = 1, 26. 0, 86. La secante es la inversa del coseno. 1. s ec = cos 1 = =2. 1. 2. La cotangente es la inversa de la tangente. 1. cot g = tg 1 = = 0, 58. 1,72. 2. Calcula las relaciones trigonom tricas directas de y . Soluci n: Las razones trigonom tricas directas son el seno, el coseno y la tangente. Para el ngulo : 40. sen = sen = 0, 8 , 50. 30. cos = cos = 0, 6. 50. 40. tg = tg = 1, 33. 30. Observa que se cumple que sen 2 + cos 2 = 1. 5/22. ejercicios de trigonometr a resueltos TIMONMATE. Para el ngulo : 30. sen = sen = 0, 6. 50. 40. cos = cos = 0, 8. 50. 30. tg = tg = 0, 75. 40. Observa que tambi n se cumple que sen 2 + cos 2 = 1 , como no pod a ser de otra manera.

6 3. Halla las razones trigonom tricas de los siguientes ngulos: 135 . Soluci n: El ngulo 135 est en el 2 cuadrante. Ser equivalente a un ngulo de 45 para el que sen45 es positivo y cos45 es negativo, tal como se indica en la figura. sen 45 135 . 45 . - cos 45. - 560 . Soluci n: Como el ngulo es mayor que 360 lo tratamos del siguiente modo: 560 360 .. 1 vuelta 360 + 200 . 200 1 . El ngulo que tenemos que manejar es -200 . Ello es equivalente a un ngulo de 20 en el segundo cuadrante, en donde sen20 es positivo y cos20 es negativo 6/22. TIMONMATE ejercicios de trigonometr a resueltos sen 20 20 . - cos 45. -200 . 3. 4. Sabiendo que cos = y que est en el 4 cuadrante, halla las 2. dem s razones trigonom tricas. Soluci n: Si est en el 4 cuadrante entonces cos es positivo y sen es negativo. El sen lo deducimos usando la relaci n fundamental de la trigonometr a: sen 2 + cos 2 = 1. 2. 3 3 1.

7 As : sen + cos = 1 sen + = 1 sen = . 2 2 2. 1 = . 2 4 2. El resto de razones trigonom tricas se obtiene de forma inmediata: 1.. sen 1 1. tg = = 2 = ; cotg = = 3 ;. cos 3 3 tg . 2. 1 3 1. sec = = ; co sec = = 2. cos 2 sen . 1. 5. Sabiendo que tg = y que est en el 2 cuadrante, halla las 3. dem s razones trigonom tricas. Soluci n: Si est en el 2 cuadrante entonces cos es negativo y sen es positivo. 1. - Utilizamos la relaci n tg 2 + 1 = para hallar sen : sen 2 . 2. 1 1 1 4 1 3. 2. tg + 1 = . + 1 = = sen =. 2. sen 3 2. sen 3 sen 2. 2. 7/22. ejercicios de trigonometr a resueltos TIMONMATE. sen . - Hallamos cos a partir de tg = : cos . 3. sen 3. cos = = 2 = . tg 1 2.. 3. - Las obtenci n de las razones trigonom tricas inversas es inmediata: 1 2 1 2 1. sec = = ; co sec = = ; cot g = = 3. cos 3 sen 3 tg . 1. 6. Si est en el tercer cuadrante y sen = , determina las siguientes 2. razones trigonom tricas: sen (180 ).

8 Soluci n: Como est en el tercer cuadrante el sen es negativo, como bien indica el enunciado. Pero, en general, sen = sen (180 ) , as que 1. sen (180 ) = . 2. sen (180 + ). Soluci n: Como est en el tercer cuadrante el sen es negativo. Adem s: 1. sen = sen (180 ) , as que sen (180 ) =. 2. cos (180 ). Soluci n: Como est en el tercer cuadrante cos es negativo. Adem s: cos = cos (180 ) . Deduzcamos cos : Usamos la relaci n fundamental de la trigonometr a: sen 2 + cos 2 = 1. 2. 1 1 3. sen 2 + cos 2 = 1 + cos 2 = 1 cos = 1 = . 2 4 4. 8/22. TIMONMATE ejercicios de trigonometr a resueltos 3. Entonces, cos (180 ) =. 4. cos (180 + ). Soluci n: Se cumple que cos = cos (180 + ) . Entonces: 3 3. = cos (180 + ) cos (180 + ) =. 4 4. tg (180 ). Soluci n: 1. sen (180 ) 2 2. tg (180 ) = = =. cos (180 ) 3 3. 4. tg (180 + ). Soluci n: 1. sen (180 + ) 2 2. tg (180 + ) = = =. cos (180 + ) 3 3. 4. Demostraci n de igualdades trigonom tricas: 2sen + 3.

9 7. = cos . 2tg + 3 sec . Soluci n: Vamos a tratar de manipular el lado izquierdo de la igualdad, para sen . convertirlo en cos . Teniendo en cuenta que tg = y que cos . 1. sec = , podemos escribir: cos . 2sen + 3 2sen + 3. =. 2tg + 3 sec 2 sen + 3. cos cos . 9/22. ejercicios de trigonometr a resueltos TIMONMATE. Operamos esa expresi n con el fin de simplificarla: 2sen + 3 2sen + 3 cos (2sen + 3). = = = cos . sen 3 2sen + 3 2sen + 3. 2 +. cos cos cos . Como acabamos de ver, la igualdad se cumple. sen 2 . 8. tg 2 =. 1 sen 2 . Soluci n: Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A: sen 2 . A = tg 2 =. cos 2 . Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B: sen 2 . En B = vamos a reescribir el denominador de una forma 1 sen 2 . m s conveniente: Teniendo en cuenta que sen 2 + cos 2 = 1 se deduce que 1 sen 2 = cos 2 . Entonces: sen 2 sen 2 . B= =. 1 sen 2 cos 2.

10 Observamos que A=B, luego la identidad es verdadera. 2sen ( ) . 9. tg ( ) cot g ( ) = cos ( ) + sen ( ) 1 1. sec ( ) cos ec ( ) . 1 + cot g 2 ( ) . Soluci n: Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A: 10/22. TIMONMATE ejercicios de trigonometr a resueltos 2 sen ( ) 1 2 sen ( ). A = tg ( ) cot g ( ) = tg ( ) =. 1 + cot g 2 ( ) tg ( ) 1. 1+ 2. t g ( ). 2 sen ( ) 2 sen ( ) 2 sen ( ). = 1 = 1 = 1 =. 2. cos ( ) 2. sen ( ) + cos ( ) 2. 1. 1+. sen 2 ( ) sen 2 ( ) sen 2 ( ). = 1 2 sen 2 ( ). Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B: 1 1 . B = cos ( ) + sen ( ) =. sec ( ) cos ec ( ) . = cos ( ) + sen ( ) cos ( ) sen ( ) =. = cos 2 ( ) sen 2 ( ) = 1 sen 2 ( ) sen 2 ( ) = 1 2 sen 2 ( ). Observamos que A=B, luego la identidad es cierta. 1. 10. 2. = sen 2 cos 2 + cos 4 . sec . Soluci n: Manipulamos primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A: 1.