Une séquence sur l’introduction des fractions au CM1

1 Une s quence sur l'introduction des fractions au CM1. (*). Lucie BRACHET. INSTITUT DE RECHERCHE SUR Magali HERSANT. L'ENSEIGNEMENT DES MATH MATIQUES Florence LUCAS. DES PAYS DE LA LOIRE. Avec la participation de Adresse postale 2, rue de la Houssini re BP 92208 Bruno COURTEL. 44322 NANTES CEDEX 03. Direction Magali HERSANT. Tel. : 02 51 12 59 09. E-Mail : Mai 2020. Technicien PAO. Serge CORMIER. Tel. 02 51 12 59 41. E-Mail : ISBN10 : 2-86300-043-8. Site web : ISBN13 : 978-2-86300-043-4. EAN :9782863000434. fractions au CM1 - IREM des Pays de la Loire 2. Une s quence sur l'introduction des fractions au CM1. fractions au CM1 - IREM des Pays de la Loire 2. Lucie BRACHET. Conseill re p dagogique de circonscription Circonscription de Bouguenais Magali HERSANT. Professeure des universit s INSP de l'Acad mie de Nantes Florence LUCAS. Professeure des coles et formatrice cole M. Curie, Saint-S bastien sur Loire INSP de l'Acad mie de Nantes Avec la participation de Bruno COURTEL.

2 ERUN Bouguenais - Vertou - Rez . Une s quence sur l introduction des fractions au CM1. CYCLES 3. MAI 2020. IREM. Des Pays de la Loire fractions au CM1 - IREM des Pays de la Loire 2. fractions au CM1 - IREM des Pays de la Loire Nous proposons dans cette premi re brochure une s quence d'introduction des fractions au CM1. Elle s'arr te aux fractions d cimales qui seront d velopp es dans une seconde brochure traitant des nombres d cimaux. Les fractions y sont pr sent es, au d part, comme des nouveaux nombres permettant de r soudre des probl mes pour lesquels les nombres entiers ne su sent pas, dans le contexte de mesures de longueurs, comme le proposent les travaux didactiques (Douady et Perrin-Glorian, 19861) et les programmes actuels. En ce sens, cette s quence n'est pas forc ment originale par rapport ce que l'on peut trouver dans certains manuels (ERMEL, Cap Maths, EuroMaths/. Op ration Maths ). L'originalit de cette ressource r side plus dans l'attention port e.

3 L'explicitation de certains aspects de l'enseignement des fractions . D'une part, nous explicitons les choix e ectu s pour les di rentes tapes de la s quence et les ruptures ou continuit s auxquels ils sont associ s. Nous pensons en e et que cela peut aider n gocier les ruptures avec les l ves et comprendre certaines de leurs di cult s. D'autre part, nous proposons des formulations des savoirs et savoirs-faire relatifs aux fractions qui peuvent tre reprises oralement ou par crit (a ches dans la classe, notes provisoires au tableau, cahier de l' l ve). La formulation des savoirs au plus proche des activit s e ectu es dans la classe est, en e et, une condition essentielle de l'apprentissage et nous savons qu'il n'est pas toujours ais de trouver de telles formulations. Ces formulations devront ensuite tre reprises et, petit petit, d contextualis es. Cette s quence a t exp riment e dans plusieurs classes, ce qui nous a permis de l'a ner.

4 Des productions d' l ves recueillies aux cours de ces exp rimentations sont ins r es pour certaines s ances. Nous pensons que cela peut aider anticiper le d roulement de ces s ances. Pour chaque s ance, nous mentionnons le mat riel n cessaire, tape par tape, l'aide de repr sentations en format r duit de ce mat riel. Le mat riel pour la classe l' chelle 1 figure en annexe. 1 Douady R., Perrin M-J. (1986). Liaison cole coll ge. Nombres d cimaux, IREM de Paris 7, Paris, 3. fractions au CM1 - IREM des Pays de la Loire 4. fractions au CM1 - IREM des Pays de la Loire Sommaire de la brochure Une s quence sur l'introduction des fractions au CM1 1. Remarques sur la notion de fractions 7. Vue d'ensemble de la s quence. 8. S ance 1 : insu sance des nombres entiers (1h) 9. S ance 2 : introduction de l' criture fractionnaire (1 h) 15. S ance 3 : codage et d codage de fractions (1 heure) 20. S ance 4 : d composition de fractions (1 h) 23. S ance 5 : d couverte et utilisation d'autres fractions (45 min.)

5 25. S ance 6 : placer des fractions sur une droite gradu e (45 min.) 28. S ance 7 : utiliser des fractions dans des probl mes (45 min.) 30. Activit s ritualis es 33. ANNEXES 35. 5. fractions au CM1 - IREM des Pays de la Loire 6. fractions au CM1 - IREM des Pays de la Loire Remarques sur la notion de fractions . Nous apportons des clairages math matiques sur la notion de fraction et sur les di cult s de leur apprentissage qu'il nous semble importantes d'avoir en t te pour bien appr hender l'enseignement des fractions . Savoirs en jeu Dans les programmes de math matiques actuels, les fractions sont assimil es des nombres2. Cela constitue un abus de langage. Il est plus juste de consid rer les fractions comme a un moyen de repr senter les nombres rationnels. Une fraction est en e et une criture de type b o a et b sont des nombres entiers et b est di rent de 0. Qu'est-ce qu'un nombre rationnel alors ? Il y a plusieurs fa ons de l'envisager.

6 Bien entendu on peut dire qu'un nombre rationnel est un nombre qui peut s' crire sous la forme d'une fraction. 2. 2 3. et 1,5 sont ainsi des nombres rationnels puisqu'ils peuvent s' crire comme et par exemple. 1 2. Mais en faisant ainsi on tourne en rond. Sans entrer, dans des questions compliqu es de classe d' quivalence, on peut dire qu'un nombre rationnel est la solution d'une quation du type a = bx o a et b sont des entiers et b est non nul. Cette quation admet une seule solution qui a 2a 3a 4a peut s' crire de di rentes fa ons, comme par exemple , , , . En particulier, si b b 2b 3b 4b vaut 1, alors x est gal a et le nombre x est un entier. Si b ou 2b ou 4b s' crivent comme une puissance de 10 alors x est un nombre rationnel particulier, c'est un nombre d cimal. Et ce type particulier de nombre rationnel peut s' crire soit sous la forme d'une fraction, soit sous la forme d'une criture chi r e avec une virgule. Il y a alors plusieurs fractions pour repr senter ce nombre mais une seule criture chi r e avec une virgule (si l'on admet qu'on ne met pas de z ro superflu l'extr mit droite de l' criture).

7 Obstacles et points de vigilance Ces remarques nous semblent clairer les enjeux li s l'enseignement des fractions et les di cult s de certains l ves. Voici quelques points de vigilance prendre en compte : Alors que les l ves ne connaissent que les entiers, il s'agit d'introduire des nouveaux nombres , les rationnels, sans entrer dans cette distinction de nature des nombres car l'objectif est in fine de permettre de manipuler des rationnels particuliers : les d cimaux (op rations, probl mes ). Les l ves ont l'habitude d'une relation univoque entre un nombre et son criture chi r e (sans z ro inutile gauche du nombre). Dire qu'une fraction est un nombre g n re une di cult : pour a a . l' l ve cela va impliquer, en e et, que deux nombres et (avec a, b, a ', b' des entiers tels b b . que a a , b b , b 0,b 0 et a b = a b) di rents sont gaux ! Par exemple, pour 1 2. un l ve et vont correspondre deux nombres di rents puisque ce sont deux critures 2 4.

8 Di rentes. Il semble alors important de pr ciser que toutes ces fractions correspondent au m me nombre, m me si elles s' crivent di remment. Cela est bien mis en vidence lorsqu'on place les nombres sur la droite gradu e. Ces pr cisions sont importantes pour travailler ensuite les fractions d cimales puis les nombres d cimaux. En e et, pour tudier les nombres d cimaux, on a besoin de les repr senter. Pour cela on utilise les fractions d cimales puis l' criture chi r e avec une virgule. 2 Les programmes pr cisent en e et ( du 26 novembre 2015) : Les fractions puis les nombres d cimaux apparaissent comme de nouveaux nombres introduits pour pallier l'insu sance des nombres entiers, notamment pour mesurer des longueurs, des aires et rep rer des points sur une demi-droite gradu e.. 7. fractions au CM1 - IREM des Pays de la Loire Vue d'ensemble de la s quence. La s quence se compose de 7 s ances ; elle s'arr te aux fractions d cimales. Nous conseillons : - dans une s ance pr alable de faire mesurer par les l ves des bandes de papier dont la mesure est un nombre entier d'unit avec une bande unit fournie par l'enseignant de fa on les habituer mesurer des longueurs sans la r gle, avec une unit non conventionnelle - d'encha ner les s ances 1 6 sur une p riode de 2 3 semaines.

9 La s ance 7 peut tre r alis e plus tard. Nous proposons aussi des activit s ritualis es pour consolider les connaissances des l ves. Le tableau ci-dessous r sume les principales tapes de la s quence avec leur enjeu et les contextes dans lesquels sont mobilis es les fractions . Selon le niveau des l ves, ne pas h sitez intercaler des s ances d'entrainement qui reprennent des l ves en cours d'apprentissage afin de bien stabiliser les connaissances. Objectif Domaine et contexte S ance 0 Mesurer une longueur en reportant une unit non grandeurs et mesures : conventionnelle. longueur S ance 1 Montrer l'insu sance des nombres entiers pour grandeurs et mesures : communiquer pr cis ment la mesure d'une longueur. longueur Exprimer cette mesure en r f rence des pliages - reports de la bande unit . S ance 2 Introduire la repr sentation symbolique d'une fraction. grandeurs et mesures : Comprendre que des critures fractionnaires di rentes longueur peuvent correspondre une m me mesure de longueur.

10 S ance 3 Coder et d coder des fractions dans un contexte de grandeurs et mesures : mesure de longueurs. longueur S ance 4 Introduire de nouvelles fractions (tiers, cinqui me) dans de grandeurs et mesures : aire nouveaux contextes (aire de rectangles ou de disque). D composer une fraction en la somme d'un entier et d'une fraction plus petite que 1 et inversement. S ance 5 Utiliser les fractions , inf rieures ou sup rieures 1, dans grandeurs et mesures : di rents contextes (aire, partage ). aire, partage S ance 6 Placer des fractions sur une droite gradu e. grandeurs et mesures : Encadrer par deux entiers cons cutifs. longueur Comparer des fractions . Nombre : droite gradu e S ance 7 R soudre des probl mes impliquant les fractions . Nombre et calcul : fraction op rateur Activit s Consolider les connaissances des l ves. ritualis es Certaines s ances n cessitent beaucoup de mat riel, en particulier la s ance 1. Nous avons donc distingu une rubrique sp cifique qui donne les vignettes des fiches l ves et donne des indications sur le mat riel.