Université Libre de Bruxelles Solvay Business School …

1 Universit Libre de Bruxelles Solvay Business School la valeur actuelle Andr Farber Novembre 2005 1. Introduction Supposons d abord que le temps soit limit une p riode et que les cash flows futurs (les flux mon taires) soient certains. Dans ce contexte, la formule de calcul de la valeur actuelle d un cash flow futur C1 tant donn le taux d int r t r en vigueur sur le march est : rCVA+=11 Cette formule peut s crire : VA(1+r) = C1 Cette expression montre que la valeur actuelle est le montant placer aujourd hui pour obtenir C1 en fin de p riode si le taux d int r t par p riode est r.

2 Une autre pr sentation de la m me formule peut tre donn e : VA = C1 v1dans laquelle v1 = 1/(1+r) est le facteur d actualisation. Ce facteur d actualisation est le prix de march d un z ro-coupon de valeur faciale unitaire. Une z ro-coupon est une obligation l mentaire qui ne verse pas d int r ts interm diaires (les coupons) et donne lieu un paiement unique l ch ance d un montant appel la valeur faciale. Un z ro-coupon de valeur faciale unitaire verse donc 1 l ch ance. Dans cette note, nous rel chons l hypoth se d un avenir limit une seule p riode.

3 Nous montrons comment calculer la valeur actuelle d une chronique quelconque de cash flows futurs. Nous maintenons cependant l hypoth se de certitude. Certaines des formules pr sent es dans cette note sont d application dans une situation plus r aliste d incertitude mais nous continuons assimiler le taux d actualisation uniquement un taux d int r t. Dans un contexte d incertitude, nous devrons ajouter au taux d int r t une prime de risque pour obtenir le taux d actualisation. 2. Formule g n rale VALEUR ACTUELLE ET FACTEUR D ACTUALISATION L analyse pr sent e dans l introduction conduit naturellement une d finition g n rale de la valeur actuelle.

4 la valeur actuelle d un flux de tr sorerie (ou cash flow) futur est le prix (ou la valeur ) sur les march s financiers de ce flux. Elle est calcul e en multipliant ce flux (Ct) par un facteur d actualisation (vt). Celui-ci correspond au prix de march aujourd hui (temps 0) d une unit mon taire disponible la date future (temps t). la valeur actuelle theorie v1 1 de 7 ttVACv= De mani re similaire, la valeur actuelle d un ch ancier de cash flows : C1, C2, .., CT est la somme des valeurs actuelles des cash flows individuels. 1122 TTVACvCvCv= + +.

5 + Lorsque les cash flows futurs sont connus avec certitude, les facteurs d actualisation peuvent tre obtenus directement en observant les prix de z ro-coupons bas s sur des obligations d Etat. En effet, il existe des instruments financiers trait s sur les march s dont le prix aujourd hui correspond exactement au droit recevoir un montant de 1 dans n ann es, ce qui quivaut notre facteur d actualisation pour l ann e n. Ces obligations sont connues sous le nom de STRIPS ( Separate Trading of Registered Interest and Principal of Securities ).

6 Une obligation d Etat traditionnelle comprend des coupons (les int r ts pay s p riodiquement) et le principal (le remboursement l ch ance de la valeur nominale). Une s rie de STRIPS est cr e en scindant une obligation en plusieurs morceaux, chacun d eux correspondant un seul encaissement. Le facteur d actualisation est galement li un taux d actualisation, le taux d int r t correspondant l ch ance, par la formule : tttrv)1(1+= Cette formule peut aussi s crire :. Cette pr sentation indique que la valeur future d un montant v (1 ) 1tttvr +=t plac pendant t ann es un taux annuel moyen rt avec r investissement annuel des int r ts est gal l unit.

7 Le taux d int r t rt est aussi appel taux comptant ( spot rate ) quand on veut pr ciser qu il est applicable tout emprunt ou pr t d marrant aujourd hui. L ensemble des taux au comptant et de leur ch ance ultime donne la structure par terme des taux d int r t. Si l on fait l hypoth se que le taux d int r t est ind pendant de l ch ance, c est- -dire que la structure par terme des taux est plate, la formule du facteur d actualisation s crit : tttvrv=+=)1(1 o 1(1)vr +. A titre d illustration, nous pr sentons deux applications-type du principe d actualisation : les projets d investissement et le calcul obligataire.

8 PROJETS D INVESTISSEMENT la valeur actuelle nette d un projet d investissement est la somme des valeurs actuelles de tous les cash flows associ s ce projet : la valeur actuelle theorie v1 2 de 7 01122 TTVANCCvCvCv=+ + +..+ Le taux d actualisation r utilis dans l expression de v est le taux correspondant aux exigences de rentabilit des apporteurs de capitaux. Pour un projet dont les cash flows futurs sont risqu s, le taux d actualisation est gale au taux sans risque auquel l on rajoute une prime de risque. Le taux de rentabilit interne ( Internal Rate of Return ) d un projet d investissement est le taux d actualisation qui annule la valeur actuelle nette.

9 Il est la solution de : 1202 0(1)(1)(1)TTCCCCTRITRITRI+++..++++= Pour les projets caract ris s par des flux de tr sorerie n gatifs suivis de flux de tr sorerie positifs: 0 VANTRIr> > Notons que la d termination d un TRI n est pas un calcul simple. Vous trouverez plus loin la fonction Excel qui vous permettra de r aliser ce calcul sans douleur. CALCUL OBLIGATAIRE Le prix P au temps 0 d une obligation d tat venant ch ance dans T ann es, de valeur nominale gale 100 et versant un coupon annuel C est : 012 (100) TPCvCvCv= + +.

10 ++ Dans le cas pr sent, il est important de pr ciser l ch ance de v . En effet, en mati re de produits sensibles au taux d int r t, il est irr aliste d oublier le fait que la courbe des taux d int r t n est g n ralement pas plate : le taux annuel d pend de l ch ance laquelle il est applicable. Le rendement l ch ance (ou taux de rendement actuariel yield to maturity ) est le taux d actualisation qui galise le prix de l obligation avec la valeur actuelle des coupons futurs et du remboursement final.