VECTEURS – EXERCICES CORRIGES

1 VECTEURS EXERCICES CORRIGES . Exercice n 1. On consid re un hexagone r gulier ABCDEF de centre O, et I et J. les milieux respectifs des segments [AB] et [ED]. En utilisant les lettres de la figure citer : 1) Deux VECTEURS gaux . 2) Deux VECTEURS de m me direction, de sens contraire et de normes diff rentes . 3) Deux VECTEURS de m me direction, de m me sens et de normes diff rentes . 4) Deux VECTEURS de direction diff rentes et de m me norme.. 5) Deux VECTEURS oppos s.. Exercice n 2. Compl ter les pointill s l'aide de la relation de Chasles JJG JJG JJG JJG JJG JJG JJJG JJJG JJJG JJJG G JJJG JJJG JJG. IJ = IB + B.

2 E = F . + G. AB + BC + CD + DE = .. XK = XL + .K. JJG G JJG JJJG JJG JJG G JJJG JJG JJG JJJG JJG JG. H . = .. + IJ AB = .C + .D + .. CD = .A + A. RS = R. + .S. JJJJG JJG G G JJJG JJG JG JJJG G JJG. MN = .P + .. = JK + .M .Y = XJ + .. + .R. i Exercice n consid re la figure-contre : En n'utilisant que les lettres repr sent es sur cette figure, compl ter : JJJG JJJG. ouk D E F. G. Cha AB + FE =.. JJJG JJJJG H. AB + AH .. JJJG JJJG B. BA + BC =.. C. JJJG JJJG. raa BC + DE =.. A. JJJG JJJG. BF + GF =.. JJJG JJJG. AE + FB =.. uzou Exercice n 4. ABC est le triangle ci-contre JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG. 1) Placer les points D et E tels que AD = AC AB et AE = AB AC.

3 2) D montrer que A est le milieu de [ED] . Bo Exercice n 5. Dans chaque cas , D terminer partir du graphique une relation du type : =k o k est un r el : .. Exercice n 6. ABCD tant un parall logramme, construire les points I, J et K tels que : JJG JJJG JJJG 3 JJJG JJJJG JJJG JJJG. AI = 3 AB DJ = CD DK = CA + 3 AB. 2. Exercice n 7. JJJG JJJG G. Soit A et B deux points distincts d'un plan. Placer le point G tel que 2GA + 5GB = 0. Page 1/7. Exercice n 8. JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG. G. ( ). 1) Exprimer plus simplement le vecteur : n = 2 MA AC + MB 3MC en fonction de AB et AC . G G G G G G 5G G 2G. 2) u , v et w sont 3 VECTEURS .

4 D terminer le nombre k tel que w = k u sachant que u = v et que w = v . 4 3. Exercice n 9. Soient trois points A, B et C distincts non align s. G G. Les VECTEURS w et x sont-ils colin aires dans les cas suivants? G JJJG G JJJG G JJJG JJJG G JJJG JJJG. 1) w = 2 AB et x = 6 AB 2) w = 2 AB +3 AC et x = 4 AB 6 AC. G JJJG JJJG G JJJG JJJG 1. G JJJG JJJG G 3 JJJG JJJG. 3) w = 3 AB AC et x = 9 AB 2 AC 4) w = AB +3 AC et x = AB 9 AC. 2 2. G 1 JJJG JJJG G 1 JJJG JJJG G 2 JJJG 3 JJJG G 1 JJJG 3 JJJG. 5) w = AB +2 AC et x = AB 3 AC 6) w = AB AC et x = AB AC. 3 2 5 5 2 4. Exercice n 10. On consid re un triangle ABC.

5 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG. 1) Construire les points D et E tels que AD = AC + AB et BE = AB + AD. JJJJG 2 JJJG JJJG 2 JJJG. 2) Construire les points M et N tels que AM = AB et AN = AC. JJJJG JJJG 3 3. 3) Exprimer MN en fonction de BC . Que peut-on en d duire pour (MN) et (BC) ? Exercice n 11. i Soit ABCD un quadrilat re quelconque. On d signe par I,J,K et L les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA]. 1) Trouvez le nombre h tel que IJ =h AC. JJJG. 2) Que peut-on dire de LK ? JJG JJJG. ouk Cha 3) Conclure sur la nature du quadrilat re IJKL. Exercice n 12. On consid re un triangle ABC. JJJG 1 JJJG JJJG 4 JJJG.

6 On d signe par P le milieu de [AB], et par Q et R les points d finis par BQ = - BC et RC = AC. raa JJJG JJJG JJJG 3 5. JJJG. 1) Exprimer PQ et PR en fonction des VECTEURS AB et AC. JJJG JJJG. 2) Que peut-on dire des VECTEURS PQ et PR ? uzou 3) Que peut-on en d duire ? Exercice n 13. Soit ABC un triangle. JJJG 5 JJJG 3 JJJG JJJG JJJG 1 JJJG. Bo On d signe par D et E les points tels que : AD = AC + CB et CE = 2 AC + AB. 2 2 2. Montrer que le point B est le milieu du segment [ED]. Exercice n 14. Soit ABC un triangle. JJJG 2 JJJG JJJG 1 JJJG JJJG JJJG. 1) On d signe par J , D et K les points tels que AJ = AB , BK = BC et AD = 2 AC.

7 3 2. 2) Montrer que les points J, D et K sont align s. Page 2/7. VECTEURS CORRECTION. Exercice n 1. 1) Deux VECTEURS gaux sont par exemple : JJJG JJJG JJJG JJJG. AB = FO = OC = ED. JJJG JJJG JJJG JJJG. ou encore FE = AO = OD = BC. 2) Deux VECTEURS de m me direction, de sens contraire et de normes diff rentes sont par exemple : JJJG JJJG. AB et CF. 3) deux VECTEURS de m me direction, de m me sens et de normes diff rentes sont par exemple : JJJG JJJG. AB et FC. 4) Deux VECTEURS de direction diff rentes et de m me norme sont par exemple : JJJG JJJG. AB et BC. 5) Deux VECTEURS oppos s sont par exemple : JJJG JJJG.

8 AB et DE. Exercice JJG JJG n 2JJ. Compl ter JG leJJJ. s pG ointJJJ. ill Gs l'JJJ. aid G e de la relation de ChaslesJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG. IJ = IB + BJ FE = FG + GE AB + BC + CD + DE = AE. JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJG JJJG JJJG JJJG JJJG. XK = XL + LK HJ = HI + IJ AB = AC + CD + DB. i JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJG. CD = CA +. JJJJG JJJG JJJG. AD RS = RA + AS (ou n'importe quelle autre lettre que A). JJJG JJJG JJJJG. ouk XY = XJ + RY + JR (on change alors l'ordre des VECTEURS dans la somme). Cha MN = MP + PN JM = JK + KM. EJJJ. xeGrciceJJJ. nG 3 OJJJ. n GconsJJJ. idG re JJJ. la Gfigure suivante : AB + FE = AB + BC = AC.

9 JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG. raa AB + AH = AB + BE = AE. JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG. BA + BC = FG + GH = FH. JJJG JJJG JJJG JJJG G. BC + DE = BC + CB = 0. uzou JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG. BF + GF = BF + AB = AB + BF = AF. JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG. AE + FB = AE + EC = AC. Bo Exercice n 4. 1). JJJG JJJG JJJG. AD = AC AB. JJJG JJJG. = AC + AB.. ( ). oppos du JJJG. JJJG PG. JJJ. vcteur AB. JJJG JJJG JJJG. = AC + BA = BA + AC = BC. JJJG JJJG JJJG. AE = AB AC. JJJG JJJG. = AB + AC.. ( ). oppos du JJJJG. JJJG PG. vcteur AC. JJJ JJJG JJJG JJJG. = AB + CA = CA + AB = CB. JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG. 2) Puisque CB = BC , on d duit que AE = AD = DA , qui caract rise le fait que A est le milieu de {ED].}

10 Page 3/7. Exercice n 5. et ont la m me et ont la m me et ont la m me et ont la m me direction, et sont de m me direction, et sont de sens direction, et sont de sens direction, et sont de m me sens donc k > 0 . contraire donc k < 0 . contraire donc k < 0 . sens donc k > 0 . G 5G G 2G G 6G G 4G 2G. u= v u= v u= v u= v= v 3 3 5 6 3. Exercice n 6. i JJJG 3 JJJG 3 JJJG. DJ = CD = DC ouk Cha 2 2. Exercice n 7. 1) On crit JJJG JJJG JJJG JJJJG. G. ( ). raa n = 2 MA AC + MB 3MC. JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG. ( ) (. = 2 MA AC + MA + AB 3 MA + AC ). uzou JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG. = 2 MA 2 AC + MA + AB 3MA 3 AC.