Transcription of 3. Fonction de Dirac
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3. Fonction de Dirac
313. Fonction de Dirac1. Fonctions fortement piqu ees. La Fonction delta de Exemple en electrostatiqueO1/2-1/2n = 8 n = 4n = 2 n(x)xFigure 1n = 1 Consid erons, sur une droite, une suite de densit es de charges n(x) repr esent eespar (Fig. 1) n(x) =n (nx),( )o`u (x) est la Fonction porte , d efinie par : (x) ={0,|x| 1/21,|x|<1/2.( )32 Chapitre 3 : Fonction de DiracL int egrale de la Fonction n(x), qui repr esente la charge totale en electrostatique,est ind ependante den: n(x)dx= 1.( )Lorsquentend vers l infini, la charge totale, qui est rest ee egale `a l unit e, est cepen-dant enti`erement concentr ee `a l origine. On a obtenu une charge unit e ponctuelle`a l Dirac , on peut songer `a repr esenter cette charge par une Fonction (x) qui vaudrait (x) ={0,x6= 0+ , x= 0,( )et telle que : (x)dx= 1.( )Une telle Fonction est cependant math ematiquement mal d efinie, car l int egraled une Fonction presque partout nulle est La Fonction deltaL op eration fondamentale `a laquelle Dirac voulait soumettre (x) est l evalua-tion de l int egrale (x)f(x)dx,( )o`ufest une Fonction continue quelconque.}}
la limite n → ∞ la propri´et´e de filtrage (formule (2.1)). 34 Chapitre 3 : Fonction de Dirac 3. Calculs faisant intervenir la fonction delta Le traitement de δ(x) en tant que fonction au sens ordinaire (ce qu’elle n’est pas) est un raccourci commode permettant d’obtenir des …
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