3. Fonction de Dirac

1 313. Fonction de Dirac1. Fonctions fortement piqu ees. La Fonction delta de Exemple en electrostatiqueO1/2-1/2n = 8 n = 4n = 2 n(x)xFigure 1n = 1 Consid erons, sur une droite, une suite de densit es de charges n(x) repr esent eespar (Fig. 1) n(x) =n (nx),( )o`u (x) est la Fonction porte , d efinie par : (x) ={0,|x| 1/21,|x|<1/2.( )32 Chapitre 3 : Fonction de DiracL int egrale de la Fonction n(x), qui repr esente la charge totale en electrostatique,est ind ependante den: n(x)dx= 1.( )Lorsquentend vers l infini, la charge totale, qui est rest ee egale `a l unit e, est cepen-dant enti`erement concentr ee `a l origine. On a obtenu une charge unit e ponctuelle`a l Dirac , on peut songer `a repr esenter cette charge par une Fonction (x) qui vaudrait (x) ={0,x6= 0+ , x= 0,( )et telle que : (x)dx= 1.( )Une telle Fonction est cependant math ematiquement mal d efinie, car l int egraled une Fonction presque partout nulle est La Fonction deltaL op eration fondamentale `a laquelle Dirac voulait soumettre (x) est l evalua-tion de l int egrale (x)f(x)dx,( )o`ufest une Fonction continue quelconque.}}

2 Cette int egrale peut etre evalu ee parl argument suivant : puisque (x) est nulle pourx6= 0, les bornes d int egrationpeuvent etre remplac ees par et + , o`u est un nombre positif petit. De plus,puisquefest continue enx= 0, ses valeurs dans l intervalle ( ,+ ) ne diff`erentpas beaucoup def(0). On ecrit donc approximativement : (x)f(x)dx= (x)f(x)dx'f(0) (x)dx.( )L approximation s am eliore au fur et `a mesure que s approche de 0.`A la limite 0, compte tenu de l equation ( ), on a exactement l egalit e : (x)f(x)dx=f(0).( )La Fonction delta agit en quelque sorte comme un filtre ou un tamis s election-nant, parmi toutes les valeurs possibles def(x), sa valeur enx= de fonctions poss edant `a la limite la propri et e de filtrage332. Suites de fonctions poss edant `a la limite la propri et e de filtrageLa formule ( ) ne permet pas de d efinir (x) comme une v eritable Fonction . Ilexiste cependant des suites de fonctions{ n(x)}fortement piqu ees qui approchent`a la limite la propri et e de filtrage, c est-`a-dire telles que :limn n(x)f(x)dx=f(0).

3 ( ) Suite de fonctions porteC est par exemple le cas de la suite de fonctions porte consid er ee au para-graphe 1. On a en effet, en prenant n(x) = n(x) : n(x)f(x)dx= 1/2n 1/2nnf(x)dx.( )En utilisant le th eor`eme de la moyenne pour les int egrales, on en d eduit :n 1/2n 1/2nf(x)dx=f( ), 12n 12n.( )Lorsquen , alors 0. De la continuit e def(x), il s ensuit quef( ) f(0).On a donc le r esultat ( ). Autres exemplesOn souhaite construire d autres suites de fonctions poss edant `a la limite lapropri et e de filtrage, notamment des suites de fonctions qui soient continues etdiff erentiables (ce qui n est pas le cas des fonctions porte). Les exemples les pluscouramment utilis es sont les suivants : suite de lorentziennesOn pose : n(x) =n 11 +n2x2.( ) suite de gaussiennesOn pose : n(x) =n e n2x2.( )Toutes ces fonctions sont normalis ees `a l unit e : n(x)dx= 1.( )Par des raisonnements analogues `a ceux effectu es au paragraphe pour les suitesde Fonction porte, on peut d emontrer que les suites de lorentziennes et les suitesde gaussiennes d efinies respectivement par les formules ( ) et ( ) poss`edent `ala limiten la propri et e de filtrage ( formule ( )).

4 34 Chapitre 3 : Fonction de Dirac3. Calculs faisant intervenir la Fonction deltaLe traitement de (x) en tant que Fonction au sens ordinaire (ce qu elle n estpas) est un raccourci commode permettant d obtenir des r esultats qui d ependentde certains processus de passage `a la limite. On peut d evelopper les r`egles de cecalcul par des op erations formelles, en partant des propri et es suivantes : (x)f(x)dx=f(0),( ) (x) ={0,x6= 0+ , x= 0,( ) (x)dx= 1,( )et en ignorant, pour le moment, leur justification math la variablexrepr esente une grandeur physique, c est en g en eral une quantit edimensionn ee. Il en est alors de m eme de (x), dont les dimensions sont inversesde celles de la Signification de (x a). Peigne de DiracOn consid`ere l int egrale (x a)f(x)dx. On posex a= et on ecritf( +a) =g( ). On a : (x a)f(x)dx= ( )g( )d =g(0) =f(a).( )La fonctionP(x) = n= (x na)( )a des propri et es int eressantes. Elle porte le nom depeigne de Dirac . On a : P(x)f(x)dx= n= f(na).}

5 ( ) Changement d echelleOn cherche `a d emontrer la relation : (ax) =1|a| (x),a6= 0.( )1 Elle peut etre effectu ee de fa con rigoureuse dans le cadre de la th eorie des esentations de Fourier de la Fonction delta35On poseax= . On a, sia >0 : (ax)f(x)dx= ( )f( a)1ad =1af(0).( )Sia <0, un calcul analogue conduit `a : (ax)f(x)dx= ( )f( a)1ad = 1af(0).( )Ceci d emontre la formule ( ).4. Repr esentations de Fourier de la Fonction deltaIl est essentiel, en vue des applications dans de nombreux domaines de laphysique, de disposer pour la Fonction delta d une repr esentation de Fourier, no-tamment d une repr esentation en int egrale de Fourier. L ecriture de cette repr esen-tation int egrale n ecessite certains passages `a la limite. C est pourquoi nous com-men cons par ecrire une repr esentation en s erie de Repr esentation en s erie de FourierOn part de la Fonction porte (ou impulsion) a(x) repr esent ee sur la Figure Fonction est normalis ee `a l unit e.

6 Elle a pour largeur 2a. L intervalle ded efinition est choisi comme etant L x 2x a(x)L1/(2a)a-a On r ep`ete cette Fonction p eriodiquement, la p eriode choisie etant 2L > coefficients de Fourier de la Fonction ainsi p eriodis ee sontbn= 0 (la Fonction n(x) est paire),a0= 1/Letan= (1/n a) sin(n a/L) pourn 1. On a donc : a(x) =12L+ n=11n asinn aLcosn xL, L x L.( )36 Chapitre 3 : Fonction de DiracApr`es passage `a la limitea 0, on obtient une s erie de Fourier pour (x) : (x) =12L+1L n=1cosn xL, L x L.( )La s erie au second membre de l equation ( ) est divergente, ce qui n est pas etonnant, car, si elle etait convergente, alors (x) serait une vraie Fonction , ce quin est pas le Passage `a une repr esentation en int egrale de FourierOn r e ecrit tout d abord la formule ( ) sous la forme equivalente suivante : (x) =12L n= exp(in xL), L x L.( )LorsqueL , la s erie au second membre de l equation ( ) se transforme enint egrale (divergente) : (x) =12 eikxdk.

7 ( )La repr esentation int egrale ( ) de la Fonction delta est largement utilis ee peut ecrire aussi (x x ) =12 eik(x x )dk,( )ou : eik(x x )dk= 2 (x x ).( )5. Fonction delta et D efinition du produit de convolution de deux fonctionsRappelons que l on appelle, lorsqu il existe, produit de convolution de deuxfonctionsf(x) etg(x) la fonctionh(x) d efinie par la formuleh(x) = f(u)g(x u)du,( )2 Elle peut etre etablie de fa con rigoureuse dans le cadre de la th eorie des delta et convolution37et que l on ecrit symboliquement :h=f g.( )Lorsquefetgsont deux fonctions deL1,f g=g fa toujours un sens et estaussi une Fonction fonctionh(x) repr esente une moyenne def(u) pond er ee au voisinage dechaque pointxparg(x u). Il s ensuit que, sig(x) est suffisamment r eguli`ere,h(x) pr esente des fluctuations moins rapides quef(x). Ce ph enom`ene intervienttoujours dans une mesure physique :f(x) repr esente alors la v eritable Fonction `a mesurer, tandis queg(x) repr esente l effet de l instrument de mesure, qui estincapable de discerner les variations trop rapides def(x).

8 La fonctionh(x) est ler esultat de la mesure. On peut citer comme exemples : l effet d u `a la r esolution finie des instruments d optique qui ne peuvents eparer deux points lumineux trop rapproch es, ou d un spectroscope qui ne permetpas de distinguer deux raies trop serr ees, l effet d u `a la r esolution finie dans le temps des appareils de mesure electriquequi ne peuvent distinguer deux impulsions trop rapproch ees dans le Convolution par une Fonction porteUn cas particulier int eressant est celui o`u l on ag(x) =1a (xa),( )la Fonction (x) etant la Fonction porte. Dans ce cas, la formule ( ) s ecrit :h(x) =f(x) 1a (xa)=1a f(u) (x ua)du=1a x+(a/2)x (a/2)f(u)du.( )La fonctionh(x) repr esente alors simplement la valeur moyenne def(x) entrex (a/2) etx+ (a/2). Passage `a la limitea 0`A la limitea 0, d apr`es la formule ( ), on s attend `a avoir :f(x) (x) =f(x).( )Ainsi la Fonction appara t comme l unit e du produit de convolution (convoluerune Fonction par la Fonction delta ne change rien).

9 En physique, cette propri et es ecrit souvent de la fa con suivante : f(u) (x u)du= f(x u) (u)du=f(x).( )