Transcription of 7. KOMPLEXE ZAHLEN und die KOMPLEXE e-FUNKTION
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7. KOMPLEXE ZAHLEN und die KOMPLEXE e-FUNKTION
7. KOMPLEXE ZAHLENund dieKOMPLEXEe-FUNKTION1 Wir gehen aus von der Ebene, versehen mit einem Koordinaten-system undx,y-Koordinaten. Dann entsprechen Punktezin derEbene Zahlenpaaren:z= (x,y)xundysind die (kartesischen) Koordinaten onentenweise:z= (x,y)yx3 Zahlenpaare addiert mankomponentenweise:z=z1+z2= (x1+x2,y1+y2)z1= (x1,y1)z2= (x2,y2) Parallelogrammregel 4 Diese Addition von Punktenzder Ebene erf ullt vertraute Re-chenregeln:z1+z2=z2+z1, z1+ (z2+z3) = (z1+z2) +z3(Kommutativit at, Assoziativit at), weil sie komponentenweise at und Assoziativit at6 Wir wollen Punkte auch multiplizieren. Dazu betrachen wir auchdie Darstellung eines PunkteszinPolarkoordinatenz= [r; ]mitr,dem Abstand , Betrag , und ,dem Winkel , Argument onentenweise:z= [r; ]r Der Winkel wird wieder als L ange entlang des schreibt f urBetragundArgumentvonzr=|z|und = arg(z)Unter Beachtung des Pythagoras giltr2=x2+y2,sin =yr,cos =xr9Es gilt die Dreiecksungleichung |z1+z2| |z1|+|z2||z2||z1||z1+z2|10 Wir multiplizieren zwei Punkte der Ebene gem a der Regelz1= [r1; 1], z2= [r2; 2]: z1z2= [r1r2; 1+ 2] 1 2r1r2r1r2 1+ 2 Geometrisch ist die Multiplikation at und Assoziativit atz1z2=z2z1undz1(z2z3) = (z1z2)z3ergeben sich wieder komponentenweise, (z2z3) = [r1(r2r3); 1+ ( 2+ 3)]= [(r1r2)r3; ( 1+ 2) + 3] = (z1z2)z3 Zu
Spezialf alle: b) Die Zahlen auf der y-Achse heiˇen die imagin aren Zahlen. Insbesondere heiˇt i= (0;1) die imagin are Einheit. Die Multiplikation von z mit ibewirkt eine Drehung von z um
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