Formules de Taylor. Applications.

CAPES 2007D ecembre 2007 Oral AnalyseFormules de Taylor. niveau naturel de cette le con est celui du e-requis1. Continuit e, d erivabilit e, in egalit e des accroissements finis, th eor`eme de Rolle, d erivabilit ed ordre sup erieur, int Pour les applications : s eries enti` Formule de Taylor avec reste int Th eor`emeTh eor`eme : [a, b] IR une fonction de classeCn+1. On a:f(b) =f(a) +n k=1f(k)(a)k!(b a)k+1n! ba(b t)nf(n+1)(t) se fait par r ecurrence surnen int egrant par parties le reste int egralRn(f) =1n! ba(b t)nf(n+1)(t) efinition appelle partie r eguli`ere d ordrendu d eveloppement de Taylor defenale polyn omePn(x)d efini parPn(x) =f(a) +n k=1f(k)(a)k!(x a) `es le changement de variablet=a+(b a)s, le reste int egral peut s ecriresous la formeRn(f) =(b a)n+1n! 10(1 s)nf(n+1)(a+s(b a)) Applications D eveloppement en s erie enti`ereOn va traiter l exemple classique suivant. On d efinit la fonction exponentielle expcomme l unique fonction d erivable sur IR, solution de l equation diff erentielle :y (x) =y(x) pour toutx IR, y(0) = vient imm ediatement (par r ecurrence) que exp est de classeC sur IR et que,pour toutn IN, exp(n)(0) = 1.

CAPES 2007 D´ecembre 2007 Oral Analyse Formules de Taylor. Applications. Remarques Le niveau naturel de cette lec¸on est celui du Deug. Pr´e-requis

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