Formules de Taylor. Applications.

1 CAPES 2007D ecembre 2007 Oral AnalyseFormules de Taylor. niveau naturel de cette le con est celui du e-requis1. Continuit e, d erivabilit e, in egalit e des accroissements finis, th eor`eme de Rolle, d erivabilit ed ordre sup erieur, int Pour les applications : s eries enti` Formule de Taylor avec reste int Th eor`emeTh eor`eme : [a, b] IR une fonction de classeCn+1. On a:f(b) =f(a) +n k=1f(k)(a)k!(b a)k+1n! ba(b t)nf(n+1)(t) se fait par r ecurrence surnen int egrant par parties le reste int egralRn(f) =1n! ba(b t)nf(n+1)(t) efinition appelle partie r eguli`ere d ordrendu d eveloppement de Taylor defenale polyn omePn(x)d efini parPn(x) =f(a) +n k=1f(k)(a)k!(x a) `es le changement de variablet=a+(b a)s, le reste int egral peut s ecriresous la formeRn(f) =(b a)n+1n! 10(1 s)nf(n+1)(a+s(b a)) Applications D eveloppement en s erie enti`ereOn va traiter l exemple classique suivant. On d efinit la fonction exponentielle expcomme l unique fonction d erivable sur IR, solution de l equation diff erentielle :y (x) =y(x) pour toutx IR, y(0) = vient imm ediatement (par r ecurrence) que exp est de classeC sur IR et que,pour toutn IN, exp(n)(0) = 1.

2 On d emontre sans probl`eme que exp ne s annulepas (on rappelle pour cela qu il suffit d etudier la fonctionx exp(x) exp( x))et donc reste positive et est croissante. La formule de Taylor avec reste int egral `al ordre n s ecrit alors :exp(x) = 1 +n k=1xkk!+xn+1n! 10(1 t)nexp(tx)dt( )On peut alors majorer grossi`erement le reste de la mani`eresuivante : exp(x) (1 +n k=1xkk!) = xn+1n! 10(1 t)nexp(tx)dt |x|n+1n!exp(|x|) 10(1 t)ndt=|x|n+1(n+ 1)!exp(|x|)Le dernier terme de droite tend vers 0 quandntend vers + . Il en r esulte que,pour toutx IR, on aexp(x) = 1 ++ k=1xkk!RemarqueGr ace `a ( ), on a :e= 1 +n k=11k!+1n! 10(1 t)nexp(t)dt. En etudiantsur [0,1] la fonctiont (1 t)nexp(t), on voit qu elle reste comprise entre 0 et 1quandn 1. On en d eduit l encadrement :1 +n k=11k! e 1 +n k=11k!+1n!et en particulier, le fait queeest irrationnel. On peut alors citer quelques d eveloppements en s eries enti`eres c el`ebres: ceux desinx, cosx, (1 +x) o`u est un r eel non nul.

3 ExerciceMontrer qu une fonction de classeC sur IR est une fonction polyn ome si, et seule-ment si, ses d eriv ees successives sont nulles `a partir d un certain Formule de Th eor`eme(s)Th eor`eme : [a, b] IR une fonction de classeCn+1. Alors il existec [a, b]tel quef(b) =f(a) +n k=1f(k)(a)k!(b a)k+(b a)n+1(n+ 1)!f(n+1)(c).PreuveOn d eduit ce r esultat de la formule de Taylor avec reste int egral et de la formulede la moyenne. Si on notemle minimum de la fonction continuef(n+1)sur [a, b] etMson maximum, on remarque quem (n+ 1) 10(1 s)nf(n+1)(a+s(b a))ds th eor`eme des valeurs interm ediaires assure alors l existence d unc [a, b] tel quef(n+1)(c) = (n+ 1) 10(1 s)nf(n+1)(a+s(b a))dset on a le r esultat plus pr ecis suivant :Th eor`eme * Soitf: [a, b] IR une fonction de classeCnsur[a, b]et dont lad eriv een+ 1i`eme existe sur]a, b[. Alors il existec ]a, b[tel quef(b) =f(a) +n k=1f(k)(a)k!(b a)k+(b a)n+1(n+ 1)!f(n+1)(c).

4 Preuve 1Le casn= 0 correspond `a l egalit e des accroissements finis. Pourn 1, onconsid`ere la fonction n(t) =f(b) f(t) n k=1f(k)(t)k!(b t)k (b t)n+1(n+ 1)!o`u l on a choisi pour que n(a) = 0. (On ne cherche pas pour le moment `a exprimer ce .) Comme n(b) = 0, on applique le th eor`eme de Rolle. Il existe doncc ]a, b[ tel que n(c) = 0. Cette egalit e s ecrit f (c) n k=1f(k+1)(c)k!(b c)k+n k=1f(k)(c)(k 1)!(b t)k 1+ (b c)nn!qui, apr`es simplications, donne =f(n+1)(c)Dans l expression n(a) = 0, il suffit de remplacer par la valeur que l on vient detrouver. Ce qui termine cette 2 Elle utilise le th eor`eme des accroissements finis g en eralis es que l on rappelle etd emontre pour le confort du * (Accroissements finis g en eralis es) Soientfetgdes fonctions de[a, b]dans IR, continues sur[a, b]et d erivables sur]a, b[. Alors il existec ]a, b[tel que: f(b) f(a)f (c)g(b) g(a)g (c) = 0.(Comment cela se traduit-il g eom etriquement pour une courbe param etr ee r eguli`ere?)

5 Preuve de la propositionOn applique le th eor`eme de Rolle `a la fonction d efinie sur[a, b] par:h(t) = (g(t) g(a))(f(b) f(a)) (f(t) f(a))(g(b) g(a)).Suite de la preuve 2On d efinit le resteRn(x) =f(a+x) f(a) n k=1f(k)(a)k!xkpourx [0, b a] et on le compare `aSn(x) =xn+1(n+ 1)!. On aRn(0) =R n(0) =..=R(n)n(0) = 0,Sn(0) =S n(0) =..=S(n)n(0) = l utilisation r ep et ee du th eor`eme des accroissements finis g en eralis es il r esulte l existenced une suite den+ 1 r eels 1, 2, .., n+1v erifiant 0< n+1< n< .. < 1< x b aettelle queRn(x)Sn(x)=Rn(x) Rn(0)Sn(x) Sn(0)=R n( 1)S n( 1)=R n( 1) R n(0)S n( 1) S n(0)=R n( 2)S n( 2)=..=R(n+1)n( n+1)S(n+1)n( n+1)CommeS(n+1)n( n+1) = 1, on obtient, pourx=b a,Rn(b a) =(b a)n+1(n+ 1)!f(n+1)(a+ n+1).RemarqueNoter que la formule de Taylor-Lagrange (de m eme que le th eor`eme de Rolle)n est pas valable sifest `a valeurs dans lC. Penser par exemple `a la fonctionf(x) =eixsur l intervalle [0,2 ].

6 Applications Convexit eSoitf:I IR (Iintervalle de IR) de classeC2surI. Sif 0 surIalors la courbe repr esentative defest au dessus de ses tangentes. In egalit es de KolmogorovSoitf:]a,+ [ IR une fonction deux fois d suppose que|f|et|f |sont born ees respectivement parM0etM2. Alors|f |est born ee par 2 ]a,+ [ etu ]0,+ [. Il existe alorscx,u [x, x+u] tel quef (x) =1u(f(x+u) f(x) u22!f (cx,u)).On en d eduit que|f (x)| 2M0u+ 0, on fait tendreuvers + dans l in egalit e pr ec edente et on obtientf = 0sur ]a,+ [ et le r esultat annonc e est evidemment v erifi 0, on minimise l expression de droite dans l in egalit e en choisissantu=2 M0M2et on obtient|f (x)| 2 M0M2, ceci pour toutx ]a,+ [.3 Formule de Th eor`eme(s)Th eor`eme :I IR une fonction de classeCnsur l intervalleI. Soita il existe une fonction :I IR v erifiantlimx a (x) = 0telle que, pour toutx I,f(x) =f(a) +n k=1f(k)(a)k!(x a)k+ (x a)n (x).PreuveSoitx I.

7 On ecrit la formule de Taylor-Lagrange `a l ordren 1 sur l intervalle[a, x] (ou [x, a]); Il existecx [a, x] tel quef(x) =f(a) +n 1 k=1f(k)(a)k!(x a)k+(x a)nn!f(n)(cx)=f(a) +n k=1f(k)(a)k!(x a)k+(x a)nn!(f(n)(cx) f(n)(a)).( )On pose, pourx6=a, (x) =1(x a)n(f(x) f(a) n k=1f(k)(a)k!(x a)k)et, commef(n)est continue ena, on d eduit de l egalit e ( ) que limx a (x) = a le r esultat plus fort suivant:Th eor`eme * Soita I. On suppose que la fonctionf:I IR admet une d eriv eed ordrenau pointa. Alors il existe une fonction :I IR v erifiantlimx a (x) = 0telleque, pour toutx I,f(x) =f(a) +n k=1f(k)(a)k!(x a)k+ (x a)n (x).Preuve* La preuve se fait par r ecurrence surn. Soit doncn N et notonsHnl assertion:pour toute fonctionf:I IR,nfois d erivable au pointa, on a :limx a,x6=a1(x a)n(f(x) f(a) n k=1f(k)(a)k!(x a)k)= 0H1est clairement vraie : c est la d efinition de la d erivabilit e au pointa. Supposons doncHnvraie et consid erons une fonctionf:I IR, d erivable `a l ordren+ 1 au pointa.

8 Lafonction d eriv eef , d efinie sur un certainJ=I ]a 1, a+ 1[, est doncnfois d erivableena. Soit >0. Il existe >0 tel que, pour toutt I ]a , a+ [, on a :|f (t) f (a) n k=1f(k+1)(a)k!(t a)k| |t a|nOn d efinie surI ]a , a+ [ les fonctions d erivableshetgparh(t) =f(t) f(a) n+1 k=1f(k)(a)k!(t a)ketg(t) = n+ 1|t a|n(t a)Le fait queHnest vraie implique que t I ]a , a+ [,|h (t)| g (t)Il r esulte de l in egalit e des accroissements finis que x I ]a , a+ [,|h(x) h(a)| |g(x) g(a)|c est-`a-dire x I ]a , a+ [,1|x a|n+1 f(x) f(a) n+1 k=1f(k)(a)k!(x a)k n+ 1 etHn+1est ApplicationsCette formule de Taylor, contrairement aux deux pr ec edentes,n a qu un caract`erelocal. Elle ne pourra donc etre utile que pour r esoudre des probl`emes locaux. Elle donneune condition suffisante pour qu une fonctionfposs`edeun d eveloppement limit e`al ordrenen un pointa: il suffit qu elle admette en ce pointaune d eriv ee d ordre n.

9 Onpeut, par exemple, s attaquer aux probl`emes suivants : d etermination de limites; etude de la position de la courbe repr esentative d une fonction au voisinage d unpoint par rapport `a sa tangente en ce point.