Transcription of INTEGRALES TRIPLES.
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Example: bachelor of science
INTEGRALES TRIPLES.
INTEGRALES la integral 10 x0 y0f(x, y, z)dzdydx, dibujar la regi on de integraci on y escribirla integral de todas las formas onxyzTeniendo en cuenta la gr afica adjunta, siD1,D2yD3son las proyecciones sobre los tresplanos coordenados, las diferentes formas de escribir la integral son las siguientes: D1dxdy y0f dz= 10dx x0dy y0f dz= 10dy 1ydx y0f dz, D2dxdz xzf dy= 10dz 1zdx xzf dy= 10dx x0dz xzf dy, D3dydz 1yf dx= 10dy y0dz 1yf dx= 10dz 1zdy 1yf las siguientes INTEGRALES triples:i) V(x2+y2)dxdydz,dondeVest a limitado por las superficiesx2+y2= 2z,z= ) W(1+z2)dxdydz, siendoWla regi on limitada por2az=x2+y2,x2+y2 z2=a2,z= on1i) La regi on de integraci on es el interior del paraboloide limitado por el planoz= la proyecci on de dicha regi on sobre el planoz= 0 es el c rculoC:x2+y2 4, laintegral triple se puede descomponer entonces comoI= Cdxdy 2(x2+y2)/2(x2+y2) escribir la integral en coordenadas cil ndricas, se obtiene:I= 2 0dv 20u du 2u2/2u2dz= 2 20u3 (2 u2/2)du=16 ) La intersecci on del paraboloide 2az=x2+y2con el hiperboloidex2+y2 z2=a2da la circunferenciax2+y2= 2a2situada en el planoz=a.
51. Calcular el volumen del casquete esf´erico limitado por x2 +y2 +z2 = a2 x2 +y2 +z2 = b2 x2 +y2 = z2, con z ≥ 0, siendo 0 < a < b. Solucion´ x y Si escribimos el volumen en coordenadas esf´ericas, de acuerdo a la figura tenemos: x = rcosϑsenϕ y = rsenϑsenϕ z = rcosϕ donde a ≤ r ≤ b 0 ≤ ϕ ≤ π/4 0 ≤ ϑ ≤ 2π.
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