INTEGRALES TRIPLES.

1 INTEGRALES la integral 10 x0 y0f(x, y, z)dzdydx, dibujar la regi on de integraci on y escribirla integral de todas las formas onxyzTeniendo en cuenta la gr afica adjunta, siD1,D2yD3son las proyecciones sobre los tresplanos coordenados, las diferentes formas de escribir la integral son las siguientes: D1dxdy y0f dz= 10dx x0dy y0f dz= 10dy 1ydx y0f dz, D2dxdz xzf dy= 10dz 1zdx xzf dy= 10dx x0dz xzf dy, D3dydz 1yf dx= 10dy y0dz 1yf dx= 10dz 1zdy 1yf las siguientes INTEGRALES triples:i) V(x2+y2)dxdydz,dondeVest a limitado por las superficiesx2+y2= 2z,z= ) W(1+z2)dxdydz, siendoWla regi on limitada por2az=x2+y2,x2+y2 z2=a2,z= on1i) La regi on de integraci on es el interior del paraboloide limitado por el planoz= la proyecci on de dicha regi on sobre el planoz= 0 es el c rculoC:x2+y2 4, laintegral triple se puede descomponer entonces comoI= Cdxdy 2(x2+y2)/2(x2+y2) escribir la integral en coordenadas cil ndricas, se obtiene:I= 2 0dv 20u du 2u2/2u2dz= 2 20u3 (2 u2/2)du=16 ) La intersecci on del paraboloide 2az=x2+y2con el hiperboloidex2+y2 z2=a2da la circunferenciax2+y2= 2a2situada en el planoz=a.

2 Esto indica que ambassuperficies son tangentes a lo largo de dicha circunferencia; por ello deducimos que la regi onde integraci on est a limitada superiormente por el paraboloide, inferiormente por el planoz= 0 y lateralmente por el hiperboloide (en la figura se muestran dos vistas de la regi onde integraci on).xyzxyzDebemos descomponer la integral en dos sumandos pues, si (x, y) est a en el c rculo de centroel origen y radioa, entonceszest a comprendido entre el planoz= 0 y el paraboloide2az=x2+y2y, si (x, y) est a entre el c rculo anterior y el c rculo de radioa 2, entonceszest a comprendido entre el hiperboloidex2+y2 z2=a2y el paraboloide f ormula que se obtiene es puesI= x2+y2 a2dxdy x2+y22a0(1 +z2)dz+ a2 x2+y2 2a2dxdy x2+y22a x2+y2 a2(1 +z2) resolver las INTEGRALES , las escribimos en coordenadas cil ndricas. As ,I= 2 0dv a0u du u2/2a0(1 +z2)dz+ 2 0dv a 2au du u2/2a u2 a2(1 +z2)dz= = (10 +a2) a3/30.[Todas las INTEGRALES a resolver son casi inmediatas.]

3 ] S(1 +x+y+z) 3dxdydz, dondeSes el tetraedro limitado por los tresplanos coordenados y el plano de ecuaci onx+y+z= onSi llamamosDa la proyecci on de la regi on de integraci on sobre el planoXY, podemosescribir la integral comoI= D( 1 x y0(1 +x+y+z) 3dz) , a su vez,Des el tri angulo de v ertices (0,0), (1,0) y (0,1), la integral se descomponeen las siguientes INTEGRALES iteradas:I= 10dx 1 x0dy 1 x y0(1 +x+y+z) 3dz= 10dx 1 x0[ y8+(1 +x+y) 22]dy= 10[x 18 14+12(1 +x)]dx=12ln 2 los vol umenes de los cuerpos limitados por las siguientes superficies:i)a2=x2+z2, x+y= a, x y= )z=x2+y2,xy=a2,xy= 2a2,y=x/2,y= 2x,z= ) xa+ yb+ zc= 1, x, y, z )x2a2+y2b2+z2c2= 1,x2a2+y2b2=z2c2, (z >0).Soluci oni) La regi on a considerar es el interior del cilindroa2=x2+z2cortado por los cuatro planosx+y=a,x+y= a,x y=a,x y= la proyecci on del s olido sobre el planoXYes el cuadradoRlimitado por las rectasx+y=a,x+y= a,x y=a,x y= a, el volumen se calcula por la f ormulaV= Rdxdy a2 x2 a2 x2dz= 2 R a2 x2dxdy= 2 0 adx x+a x a a2 x2dy+ 2 a0dx x+ax a a2 x2dy= 2a3 8a3/3.

4 [Para calcular las INTEGRALES se puede hacer alguna sustituci on trigonom etrica.]ii) El s olido consiste en la regi on limitada entre el planoXYy el paraboloidez=x2+y2ycuya proyecci on sobre el planoXYes la regi onRlimitada por las curvasxy=a2,xy= 2a2,y=x/2,y= 2x(en realidad la regi on es uni on de dos regiones, una de ellas en el primercuadrante y otra en el tercer cuadrante; como las regiones tienen la misma area y la funci onz=x2+y2es sim etrica, bastar a multiplicar por dos el resultado obtenido al considerar unicamente la parte del primer cuadrante).z4 Podemos pues escribir el volumen como:V= 2 Rdxdy x2+y20dz= R(x2+y2) calcular la integral doble sobre la regi onR, realizamos el cambio de variables dadopor las ecuacionesxy=u,x/y= cambio hace que J(x, yu, v) =12vy que la nueva regi on de integraci on seaR ={(u, v) :a2 u 2a2,1/2 v 2}. El volumen se calcula entonces comoV= 2 2a2a2du 21/2(uv+uv) 12vdv= ) El s olido est a ahora comprendido entre la funci on dada y los planos proyecci on sobre el planoXYes la regi onRdel primer cuadrante limitada por losejes coordenados y la astroide de ecuaci on xa+ yb= 1, de modo que el volumen essencillamenteV= R c(1 x/a y/b)20dz= a0dx b((1 x/a)20c(1 x/a y/b)2dy=abc90.

5 [Todas las INTEGRALES son inmediatas.]iv) Ahora el s olido es la regi on limitada superiormente por el elipsoidex2a2+y2b2+z2c2= 1 einferiormente por el conox2a2+y2b2=z2c2, por encima del planoXY. Como la intersecci onde ambas superficies es la elipsex2a2+y2b2= 1/2, situada en el planoz=c/ 2, el volumense expresa mediante la integralV= Rdxdy c 1 x2/a2 y2/b2c x2/a2+y2/b2dz,dondeRes la regi on limitada por la citada elipsex2a2+y2b2= 1 calcular dicha integral hacemos el cambio de variablesx= (a/ 2)ucosv,y=(a/ 2)usenv, cuyo jacobiano valeJ=abu/2. Con estos datos,V= 2 0dv 10(c 1 u2/2 c/2) abu2du=(512 13 2) el volumen de la regi on acotada por las superficiesz=x2+y2,z=10 x2 onEn la figura del lado izquierdo se muestran los dos paraboloides que limitan la regi on, y enel lado derecho se ilustra la curva intersecci on y su proyecci on sobre el la proyecci on de dicha curva intersecci on es la elipse de ecuaci onx2+y2= 10 x2 2y2 2x2+ 3y2= 10,para calcular el volumen utilizamos coordenadas polares modificadas, es decir hacemos latransformaci onx 2/10 =ucosv,y 3/10 =usenv,cuyo jacobiano esJ= cosv 2/10 usenv 2/10senv 3/10ucosv 3/10 =10u volumen se calcula entonces por laf ormulaV= R[10 x2 2y2 (x2+y2)]dxdy= 10du 2 010u 6 (10 10u2)dv=200 6 10(u u3)du=50 el volumen del casquete esf erico limitado porx2+y2+z2=a2x2+y2+z2=b2x2+y2=z2,conz 0, siendo0< a < onxySi escribimos el volumen en coordenadas esf ericas, de acuerdo a la figura tenemos.

6 X=rcos sen y=rsen sen z=rcos dondea r b0 /40 2 .Recordando que el jacobiano de la transformaci on esJ=r2sen , el volumen se escribeahora de la siguiente forma:V= badr /40d 2 0r2sen d =(r33 ba) ( cos /40) 2 =b3 a33(1 22) 2 = 3(2 2)(b3 a3).52.(a) Describir las superficiesr=constante, =constante,z=constante, en elsistema de coordenadas cil ndricas.(b) Idem para las superficiesr=constante, =constante, =constante, en coor-denadas esf ona) De las ecuaciones que definen las coordenadas cil ndricas:x=rcos , y=rsen , z=z,al hacerr=k, obtenemosx2+y2=k2,7lo que corresponde a un cilindro con eje de simetr a el ejeZy hacemos =k, basta dividir las dos primeras coordenadas para obteneryx= tgk,lo que corresponde a un plano vertical que pasa por el origen (los distintos valores dekdanlos diferentes angulos con respecto al planoy= 0).Si hacemosz=k, esta misma ecuaci on representa un plano horizontal de ) Las coordenadas esf ericas de un punto se obtienen mediante las ecuacionesx= cos sen , y= sen sen , z= cos.

7 Si hacemos =k, obtenemosx2+y2+z2=k2,es decir la esfera centrada en el origen con hacemos =k, al igual que con las coordenadas cil ndricas,yx= tg ,que representa tambi en un plano , por ultimo, escribimos =k, resulta:x2+y2= 2sen2 z2= 2cos2 }= x2+y2z2= tg2 ,que representa un cono de v ertice el el momento de inercia de un s olido en forma de cono circular recto condensidad constante respecto a su onSupongamos que el cono de alturahy radio en la basertiene v ertice en el origen y ejevertical. Entonces su ecuaci on esz2=h2r2(x2+y2).Si la densidad en cada punto del s olido esk, el momento de inercia respecto al ejeZvienedada por la f ormula:Iz= Sk(x2+y2) resolver la integral, escribimos el s olido en coordenadas cil ndricas,x=ucosv,y=usenv. La ecuaci on del cono se escribe entonces comoz=hu/ry la integral pedidaIz= 2 0dv r0du hhu/rk u3dz= 2 k r0u3(h uhr)du= forma de resolver la integral consiste en realizar la transformaci on a coordenadasesf ericas,x= cos sen ,y= sen sen ,z= cos.

8 De este modo la ecuaci on delplanoz=hse escribe como =h/cos , y la integral es ahoraIz= 2 0d arc tg(r/h)0d h/cos 0k 2sen2 2sen d = 2 k arc tg(r/h)0sen3 h55 cos5 d =2 kh55 arc tg(r/h)0tg3 sec2 d =2 kh55 R31[1 + (x2+y2+z2)3/2]3 onSi realizamos la transformaci on a coordenadas esf ericas,x= cos sen ,y= sen sen ,z= cos , como el valor absoluto del jacobiano de la transformaci on esJ= 2sen , laintegral se escribe como:I= 0d 2 0d 0 2sen (1 + 3)3/2d .Para resolver la integral, como las variables est an separadas, basta multiplicar las tresintegrales simples. Tenemos as :I= 0 2(1 + 3)3/2d 2 0d 0sen d =4 3 03 2(1 + 3) 3/2d =4 3l mb 2(1 + 3) 1/2 b0=8 R(y2+z2)dxdydz, siendoRun cono recto de revoluci on de alturah,base situada en el planoXYy de radioay eje en el onaahxyz9La figura adjunta muestra el cono descrito, el cual tiene por ecuaci ona2(h z)2=h2(x2+y2). Pasando la integral a coordenadas cil ndricas,x=ucosv,y=usenv,z=z, tenemos:I= a0du 2 0dv h(a u)/a0u(u2sen2v+z2)dz= =a4h 20+h3a2