Tema I: Señales y sistemas - Universidade de Vigo

1 Tema I:Se ales y sistemasConsideraciones generales sobre se ales discretas y de de la variable ales peri ales pares e a y matem ticas de inter s para representar se n exponencial compleja (formulaci n general)..7 Funci n exponencial n cosenoidal (sinusoidal)..9 Funci n exponencial escal n e n escal n n impulso generales sobre invertibles e con y sin invariantes con el lineales invariantes con el tiempo (LTI: linear, time-invariant)..20La integral de convoluci n gr fica de la integral de convoluci n anal tica de la integral de convoluci y funci n de ponderaci n de un generales sobre se alesDefinici nEs todo aquello que contiene informaci n acerca de la naturaleza o el comportamientode alg n fen meno f sico (electromagn tico, ac stico, mec nico, biol gico, etc tera).

2 Una se al se representa matem ticamente por medio de una funci nque depende de una o m s variables ales discretas y continuasSe ales discretasSe ales continuasLas variables independientess lo pueden tomar conjuntos restringidosde funciones representativass lo est n definidaspara los valores posibles de las (n)2- 2- 11n123- 3 - 2- 1f(n) = Ksenn N, n = 0, 1, 2, ..K = 2, N = 4 Las variables independientes son continuas(pueden tomar cualquier valor real).Las funciones representativas est n definidaspara sucesiones continuasde las variables (x)2- 2- 11x123- 3 - 2 - 1f(x) = ax + ba = - 1, b = 12An lisis de circuitos como sistemas de claseDpto.

3 Teor a de la Se al y Comunicaciones. Escuela T cnica Superior de Ing. Telecomunicaci n. UNIVERSIDAD DE VIGOC ondiciones de estudioSe considerar n nicamente se ales (magnitudes) electromagn : corriente, tensi de las fundamentales: considerar una sola variable independiente (el tiempo, t).Las magnitudes electromagn ticas pueden variar s lo en funci n del considerar n nicamente se ales continuas (no se ales discretas).No deben confundirse las distintas interpretaciones de se ales ales continuas: las que se definieron en el apartado ales continuas en el tiempo: se ales continuas que tienen el mismo valoren cualquier de la variable independienteTipoFormulaci nmatem ticaRepresentaci n gr ficaSe al originalx(t)tx(t)t1t2t30An lisis de circuitos como sistemas de clase3 Dpto.

4 Teor a de la Se al y Comunicaciones. Escuela T cnica Superior de Ing. Telecomunicaci n. UNIVERSIDAD DE VIGOTipoFormulaci nmatem ticaRepresentaci n gr ficaDesplazamiento(traslaci n)EscaladoInversi n(reflexi n)Lineal generalDesplazamientoseg n t0 Escaladoy reflexi nseg n x(t - t0)t0: constante realt0< 0 s, adelantot0> 0 s, retrasox( t) : constante realx(-t)x( t - t0)tx(t-t0)t1+t0t2+t0t3+t00t0 > 0 st0tx( t)t3/ 0t2/ t1/ tx(-t)-t3-t2-t10tx( t-t0)0t0 > 0 s < 0t3+t0 t1+t0 t2+t0 t0 4An lisis de circuitos como sistemas de claseDpto. Teor a de la Se al y Comunicaciones.

5 Escuela T cnica Superior de Ing. Telecomunicaci n. UNIVERSIDAD DE VIGOSe ales peri dicasx(t) peri dica T(real) > 0 tal que x(t) = x(t+T) tA T se le denomina se al no peri dica se denomina aperi dese al peri dicatx(t)TSi x(t) es peri dica de periodo T, tambi n lo es de periodo mT,siendo m cualquier n mero denomina periodo fundamental al valor m s peque o (T0) para el que se cumple la condici n de el tiempo m nimo que tarda en repetirse la se denomina frecuencia fundamental af0 = 1T0 [Hz, s-1, ciclos/s]Representa el n mero de veces que se repite la se al en cada unidad de tiene sentido hablar de periodo cuando x(t) = constante lisis de circuitos como sistemas de clase5 Dpto.

6 Teor a de la Se al y Comunicaciones. Escuela T cnica Superior de Ing. Telecomunicaci n. UNIVERSIDAD DE VIGOSe ales pares e imparesx(t) par x(-t) = x(t) tEjemplotx(t)x(t) impar x(-t) = -x(t) tEjemplotx(t)Parte parParte imparxp(t) = Par{x(t)} = x(t) + x(-t)2xi(t) = Impar{x(t)} = x(t) - x(-t)2 x(t)x(t) = xp(t) + xi(t)Energ a y potenciaMagnitudIntervalo [t1, t2]Intervalo infinitoEnerg a de la se alPotencia mediade la se alE x(t)2dtt1t2P 1t2 - t1x(t)2dtt1t2E lim[T ]x(t)2dt-TT = x(t)2dt- P lim[T ]12Tx(t)2dt-TT6An lisis de circuitos como sistemas de claseDpto.

7 Teor a de la Se al y Comunicaciones. Escuela T cnica Superior de Ing. Telecomunicaci n. UNIVERSIDAD DE VIGOF unciones matem ticas de inter spara representar se alesFunci n exponencial compleja (formulaci n general)Est definida por la expresi nx(t) = Aest, siendo A y s dos n meros complejosj = -1A = Aej s = + j 0ej = cos( ) + jsen( )unidad de los n meros imaginariosrepresentaci n polarrepresentaci n cartesianarelaci n de Eulerx(t) = Aest = Aej e( + j 0t) = Ae tej( 0t + ) = Ae t[cos( 0t + ) + jsen( 0t + )]Re{x(t)} = Ae tcos( 0t + )Im{x(t)} = Ae tsen( 0t + )Exponenciales crecientestRe{x(t)}T0A-A > 0, = 0tIm{x(t)}

8 }T0A-A > 0, = 0 Exponenciales amortiguadastRe{x(t)}T0A-A < 0, = 0tIm{x(t)}T0A-A < 0, = 0An lisis de circuitos como sistemas de clase7 Dpto. Teor a de la Se al y Comunicaciones. Escuela T cnica Superior de Ing. Telecomunicaci n. UNIVERSIDAD DE VIGOF unci n exponencial complejaEst definida por la expresi n x(t) = Aest, siendoA = Aej , s = j 0tx(t) = Aest = A ej ej 0t = A [cos( 0t + ) + jsen( 0t + )]Re{x(t)} = Acos( 0t + )Im{x(t)} = Asen( 0t + )Se dice que un conjunto de funciones exponenciales complejas est n relacionadas arm nicamente cuando sus periodos son subm ltiplos de uno dado,que es el periodo fundamental (T0).

9 Xk(t)Arm nico de orden k (entero)Exponencial compleja de periodo Tk = T0k8An lisis de circuitos como sistemas de claseDpto. Teor a de la Se al y Comunicaciones. Escuela T cnica Superior de Ing. Telecomunicaci n. UNIVERSIDAD DE VIGOF unci n cosenoidal (sinusoidal)Funci n peri dica de la formax(t) = Acos( 0t + ) = Asen 0t + + 2, A(real) > 0, real, 0 = 2 f0, f0 = 1T0A < 0 x(t) = Acos( 0t + '), ' = tx(t) T02 T0 AAA (>0), A (A < 0): amplitudT0: periodo fundamental [s]f0: frecuencia fundamental [Hz, s-1] 0: frecuencia angular [rad/s] : fase [rad]Obs rvese queAcos( 0t) = x(t) = xp(t) + xi(t)Par{x(t)} = xp(t) = x(t) + x(-t)2 = Acos( 0t) + Acos(- 0t)2 Impar{x(t)} = xi(t) = x(t) - x(-t)2 = Acos( 0t) - Acos(- 0t)2 Traslaci nde la variable independiente( 0t) ( 0t + )Relaci n de Euler x(t) = Acos( 0t + ) = A(ej 0tej + e-j 0te-j )2 == ARe{e(j 0t + )}A = Aej x(t) = Re{Aej 0t}An lisis de circuitos como sistemas de clase9 Dpto.

10 Teor a de la Se al y Comunicaciones. Escuela T cnica Superior de Ing. Telecomunicaci n. UNIVERSIDAD DE VIGOF unci n exponencial realEst definida por la expresi n x(t) = Ae t, siendo A y n meros realestx(t)A > 0, > 0A0tx(t)A < 0, > 0A0tx(t)A > 0, < 0A0tx(t)A < 0, < 0A010An lisis de circuitos como sistemas de claseDpto. Teor a de la Se al y Comunicaciones. Escuela T cnica Superior de Ing. Telecomunicaci n. UNIVERSIDAD DE VIGOO tras funcionesNombreExpresi nRepresentaci n gr ficasignosincrampasgn(t) = - 1 t < 0sgn(t) = 1 t > 0sinc(t) = sen( t) tr(t) = 0 t < 0r(t) = at t > 0, a realsgn(t)t-110sinc(t)t10132-1-3-2r(t)t0 a1a > 0An lisis de circuitos como sistemas de clase11 Dpto.