CALCUL VECTORIEL 3. Calcul vectoriel

1 CALCUL VECTORIEL 21. 3. CALCUL VECTORIEL Les vecteurs L'Irlandais Sir William Hamilton (1805-1865) fut l'un des premiers utiliser les vecteurs et il est probablement l'inventeur du mot (mot venant du latin vehere, qui signifie porter ). L'Allemand Hermann Grassman (1809-1877) introduisit la notation vectorielle pour des probl mes de physique. L'Am ricain Gibbs (1839-1903). et l'Anglais Heaviside (1850-1925), disciples de Hamilton, donnent au CALCUL VECTORIEL sa forme quasi d finitive, mais ce type de CALCUL met assez de temps s'introduire en France.

2 Michel Chasles (1793-1880), avait d j pressenti l'importance du sens sur un axe sans aller jusqu' la notion de vecteur. l'origine, un vecteur est un objet de la g om trie euclidienne. deux points, Euclide William Rowan Hamilton associe leur distance. Or, un couple de points porte une charge d'information plus (1805 - 1865). grande : ils d finissent aussi une direction et un sens. Le vecteur synth tise ces informations. La notion de vecteur peut tre d finie en dimension deux (le plan) ou trois (l'espace euclidien usuel).

3 Elle se g n ralise des espaces de dimension quelconque. Cette notion, devenue abstraite et introduite par un syst me d'axiomes, est le fondement de la branche des math matiques appel e alg bre lin aire. Le vecteur permet, en physique, de mod liser des grandeurs qui ne peuvent tre compl tement d finies par un nombre ou une fonction num rique seuls. Par exemple, pour pr ciser un d placement, une vitesse, une force ou un champ lectrique, la direction et le sens sont indispensables. Les vecteurs s'opposent aux grandeurs scalaires d crites par un simple nombre, comme la masse, la temp rature, etc.

4 Oliver Heaviside En termes simples, un vecteur est une grandeur qui a une intensit , une direction et un (1850 - 1925). sens. Il est commode de le repr senter par une fl che. Deux vecteurs v et w sont gaux s'ils ont la m me intensit (longueur), la m me direction et le m me sens. Par exemple, les trois vecteurs de la figure ci-dessous sont gaux, m me s'ils ont des points initiaux et terminaux diff rents. Ces trois fl ches repr sentent donc le m me vecteur. Un vecteur n'a pas de point d'attache . Les trois vecteurs ci- contre sont les repr sentants d'un m me vecteur car ils ont m me sens, m me direction et m me norme.

5 On peut donc d signer ce vecteur par un nom unique, par exemple : v = . PQ= . RS = . TU. Le vecteur qui a une longueur de 0 est appel vecteur nul et est not 0 . Le vecteur nul n'a videmment pas de direction, donc pas de sens. Didier M ller, 2021 G om trie 22 CHAPITRE 3. La somme v w de deux vecteurs est d finie comme suit : on met les deux vecteurs Addition de bout bout de sorte que le point terminal de v co ncide avec le point initial de . w . Le vecteurs vecteur . u= v w relie le point initial de v au point terminal de.

6 W. i. L'addition de vecteurs est commutative. Cela signifie que, si v et . w sont des Les quatre vecteurs, alors propri t s de v + . w = . w + v d'addition ii. L'addition de vecteurs est aussi associative. Cela veut dire que, si . u , v et . w sont des vecteurs, alors ( u + v )+ . w = u +( v + . w). iii. L'addition a un l ment neutre : le vecteur nul. En effet : v + 0= v iv. Enfin, si v est un vecteur, alors v est le vecteur ayant la m me direction et la m me intensit que v , mais de sens oppos . Donc v +( v )= 0.

7 Josiah Willard Gibbs (1839 - 1903) La diff rence v . w de deux vecteurs est d finie comme v . w = v +( . w). Hermann G nter Grassmann (1809 - 1877). G om trie Didier M ller, 2021. CALCUL VECTORIEL 23. Quand on manipule des vecteurs, on utilise le mot scalaire la place de nombre Multiplication d'un r el . Les scalaires sont souvent d sign s par une lettre grecque. vecteur par un scalaire Si est un scalaire et v un vecteur, alors le produit v est d fini comme suit : 1. Si > 0, alors le produit v est le vecteur dont l'intensit a fois l'intensit de v et dont le sens est le m me que v.

8 2. Si < 0, alors le produit v est le vecteur dont l'intensit a fois l'intensit de v et dont le sens est l'oppos de celui de v . 3. Si = 0 ou si v = 0 , alors le produit v est le vecteur nul. v. ( v + . w )= v + . w Propri t s du produit vi. ( + ) v = v + v vii. ( v )=( ) v Ces propri t s se v rifient ais ment viii. 1 v = v sur un petit dessin. Essayez ! ix. 0 v = 0 . Exercice Utilisez les vecteurs de la figure ci-dessous pour dessiner, sur une feuille quadrill e, les vecteurs suivants : a. v + w b. u + v c.

9 3 v d. 4 w e. v w f. u v g. 3( v + u ) 2 . w h. 2 u 3 v + . w Exercice a. Que vaut x , sachant que x + b= f ? b. Que vaut x , sachant que x + d= e ? Donnez trois possibilit s c. Exprimez c par rapport . d , e et f . pour b. (il y en a une d. Exprimez g par rapport c , . d , e et . k . infinit ).. e. Exprimez e par rapport d , . g et h . f. Exprimez e par rapport a , b , c et . d . g. Que vaut x , sachant que x = . a +b + k + . g ? a + b + c + h ? h. Que vaut x , sachant que x = . Didier M ller, 2021 G om trie 24 CHAPITRE 3.

10 La relation de Chasles porte le nom de Michel Chasles, math maticien fran ais du 19 e si cle. Elle tait connue depuis d j quelque temps mais les travaux de Michel Chasles en g om trie justifient qu'on lui en attribue en quelque sorte la paternit . Initialement associ e la g om trie, pour d crire une relation entre vecteurs dans un espace affine, la relation de Chasles s' crit de la mani re suivante : Pour des points A, B et C d'un espace affine : . AB+ . BC= . AC . Les deux relations suivantes se d duisent de la relation de Chasles.