DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág.

1 TEOR A Y ejercicios . P g. 1 DERIVADAS Definici n de derivada . La derivada de una funci n f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente l mite, si existe: hafhafl mafh)()()(0-+= A la derivada de una funci n en un punto se le llama tambi n tasa de variaci n instant -nea. Interpretaci n geom trica de la derivada . La recta secante s, corta a la curva y = f(x), en los puntos A y P. Su pendiente es: hafhafABPBtg)()(-+==a Si el punto P se va acercando al punto A, hasta confundirse con l, la recta secante s, se transforma en la recta tangente t y el ngulo a se transforma en el ngulo b, es decir, Cuando P A, que es equivalente a decir que h 0, el l mite de la recta secante s, es la recta tangente t Pero cuando a b, batgtg que es equivalente a batgtgl mh= 0 Por tanto, )()()(lim tde pendiente 00afhafhafl mtgtghh =-+=== ab Queda probado que la derivada de una funci n en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto.

2 (xfy= s t A P b a a a + h f(a) f(a+h) B h )()(afhaf-+ TEOR A Y ejercicios . P g. 2 Derivadas laterales. Las definimos por las siguientes f rmulas: derivada por la derecha: hafhafl mafh)()()(0-+= + + derivada por la izquierda: hafhafl mafh)()()(0-+= - - Para que una funci n sea derivable en un punto tienen que existir las derivadas laterales y estas ser iguales. Ejemplo 1: Halla la derivada de la funci n 12)(+=xxf en el punto 3=x Podemos seguir los siguientes pasos: 1 . 2142132)3(==+=f; 2 . hhhf+=++=+42132)3( 3 . )4(2)4(2)4.(142142)3()3(hhhhhfhf+-=++-=- +=-+ 4 . 81)4(21)4(2)4(2000-=+-=+-=+- hl mhhhl mhhhl mhhh Ejemplo 2: Dada la funci n 2)(xxf=, halla la ecuaci n de la recta tangente en el punto de abscisa x = 2.)

3 La pendiente de la recta tangente es el valor de la derivada : 4)4(42)2()2()2()2(0202200=+=+=-+=-+= = hl mhhhl mhhl mhfhfl mfmhhhh Las coordenadas del punto son: Para x = 2, f(2) = 4 luego P(2, 4) Aplicando la f rmula de la ecuaci n punto-pendiente: )(00xxmyy-=- )2(44-=-xy Funci n derivada . La derivada de una funci n en un punto de abscisa x = a, asigna a dicho punto un n me-ro real, que es el valor de la derivada en dicho punto. Tambi n podemos considerar una funci n que asocie a cada punto x, el valor de la deri-vada en ese punto. Recibe el nombre de funci n derivada o simplemente derivada . hxfhxfl mxfh)()()(0-+= TEOR A Y ejercicios .

4 P g. 3 Derivaci n y continuidad. Si una funci n es derivable en un punto, es continua en dicho punto. Si la funci n es continua no tiene por qu ser derivable. Ejemplo 3 Veamos que esta funci n es continua en x = 2: <<-+- --=-= 2 si decir, es ,02 si 22 si decir, es ,02 si 22)(xxxxxxxxf 0)2(lim)(lim22=+-=-- xxfxx 0)2(lim)(lim22=-=++ xxfxx Los l mites laterales son iguales. Y como 022)2(=-=f, la funci n es continua en 2=x Sin embargo no es derivable en dicho punto como vamos a ver: 102)2(lim)2()2(lim)2(00-=-++-=-+= -- -hhhfhffhh 102)2(lim)2()2(lim)2(00=--+=-+= ++ +hhhfhffhh Existen las derivadas laterales pero como no son iguales, la funci n no es derivable en el punto x = 2.

5 Derivadas de operaciones con funciones. Aplicando la definici n de derivada se obtienen las siguientes f rmulas: derivada de una suma o diferencia: gfgf = )( derivada de un producto: ).( + = derivada de un cociente: - = 2 2)(-=xxf TEOR A Y ejercicios . P g. 4 Ejemplo 4: Sean las funciones 2)(xxf=; xxg4)(= hxhxhxhxhxhxfhxfxfhhh222022002lim)(lim)( )(lim)(-++=-+=-+= es decir, xhxhhxhxfhh2)2(lim2lim)(020=+=+= 44lim4)(4lim)()(lim)(000==-+=-+= hhhxhxhxghxgxghhh Si sumamos las funciones y hallamos la derivada de la suma, resulta: xxxgxfxgf4)()())((2+=+=+ hxgxfhxghxfhxgfhxgfxgfhh)()()()(lim))(() )((lim)()(00--+++=+-++= + es decir, 42)42(lim42lim4)(4)(lim)()(020220+=++=++ =--+++= + xhxhhhxhhxxhxhxxgfhhhresultado que es la suma de las derivadas de las funciones por separado.

6 derivada de una funci n compuesta: Regla de la cadena. Sea la funci n compuesta )([))((xfgxfg= ] Teniendo en cuenta que hxfhxfxfhxfxfghxfghxfghxfghxfghxfg)()(.) ()(])([-])([])([-])([))(())((-+-++=+=-+ )(].)([)()(lim)()(])([-])([lim)()(00)()( xfxfghxfhxfxfhxfxfghxfgxfghxfhxf =-+-++= -+ es decir, la derivada de la composici n de f y g es el producto de la derivada de g en el punto )(xf multiplicada por la derivada de fen el punto x. )(].)([)()(xfxfgxfg = C lculo de derivadas. Aplicando la definici n, a trav s del l mite, y teniendo en cuenta la regla de la cadena, se obtienen las derivadas de las siguientes funciones: TEOR A Y ejercicios .

7 P g. 5 TIPO FUNCI N derivada axy= 1-= aaxy Tipo potencial afy= fafya = Ejemplos: 4xy=; 34xy= 2xxy=; ; --- 52)23(-=xy; )23(30)23.()23(52242-= --= xxxxy 323-=xy; 312)3(-=xy; 3221312)3(31)3(31---=-= xxy 2)52(1+=xy; 2)52(-+=xy; 333)52(42.)52(2)52.()52(2+-=+-= ++-= --xxxxy TIPO FUNCI N derivada xy= xy21= Tipo ra z cuadrada fy= ffy2 = Ejemplo: xxy32-=; xxxy32322--= TIPO FUNCI N derivada xey= xey= fey= feyf =. xay= Tipo exponencial fay= = TEOR A Y ejercicios . P g. 6 Ejemplos: xey-=; xxeey---=-= )1.( 23+=xey; 23232333.)23.(+++== += xxxeexey xy2=; 125+=xy; )1.

8 (512122 LxLxyxx++= += TIPO FUNCI N derivada Lxy= xy1= Lfy= ffy = xyalog= Tipo logar tmico fyalog= Laffy1. = Ejemplos: )52(3xxLy+=; xxxxxxxy525652)52(3233++=+ += xy2log=; )14(log3+=xy; 3).14( )14(LxLxLxxy+=+=+ += TIPO FUNCI N derivada senxy= xycos= Tipo seno senfy= ffy = .cos Ejemplos: )14(-=xseny; )14cos(4)14).(14cos(-= --= xxxy xseny3=; 3) (xseny=; ) .() (322= = 2 xseny=; 222cos2).(cosxxxxy= = )22(32xxseny+=; 23])22([xxseny+=; )26).(22cos().22sen(2x])22().[22(223333+ ++= ++= xxxxxxsenxxseny TEOR A Y ejercicios . P g. 7 TIPO FUNCI N derivada xycos= senxy-= Tipo coseno fycos= fsenfy -=.)

9 Ejemplos: xy5cos=; xsenxxseny55)5.(5-= = xycos=; xxsenxsenxxxseny221).(-=-= -= TIPO FUNCI N derivada tgxy= xtgxy221cos1+== Tipo tangente tgfy= ffy = .cos12 Ejemplos: xtgy5=; xxxy5cos5)5.(5cos122= = xtgy2=; 2) (xtgy=; xxtgxxtgxtgxtgy22cos 2cos1. 2) .( 2== = TIPO FUNCI N derivada ctgxy= xseny21-= Tipo cotangente ctgfy= ffseny -= .12 Ejemplos: 2 xctgy=; 222222).(1xsenxxxseny-= -= xectgy =; xxxxeseneeeseny22).(1-= -= TEOR A Y ejercicios . P g. 8 TIPO FUNCI N derivada arcsenxy= 211xy-= arcsenfy= ffy -= .112 xyarccos= 211xy--= fyarccos= ffy --= .112 arctgxy= 211xy+= Funciones arco arctgfy= ffy +=.

10 112 Ejemplos: 2 xarcseny=; 422212).()(11xxxxy-= -= )(xearctgy=; xxxxeeeey221).()(11+= += xarcy5cos =; 222515)5.()5(11xxxy+-= +-= Ecuaci n de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos. Para halla la ecuaci n de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x = a, pro-cedemos de la forma siguiente: a )(af )(xfy= TEOR A Y ejercicios . P g. 9 Hallamos el valor de la funci n en dicho punto, f(a) con lo que obtenemos el punto por donde pasa la recta tangente: ))(,(afa Calculamos la pendiente de la recta que es el valor de la derivada en el punto considerado: )(afm = Aplicamos la f rmula de la ecuaci n punto pendiente )(00xxmyy-=-, es decir, ))(()(axafafy- =- Ejemplo 4: Ecuaci n de recta tangente a la curva 13)(2+-=xxxf, en el punto de abscisa x = 4 Para x = 4, )4(2=+-=f.