2. DIE EXPONENTIALFUNKTION - uni-frankfurt.de

1 2. DIE EXPONENTIALFUNKTIONexpWir kommen sp ater auf den Eiffelturm zur zugeh origes Steigungsfeld:Wir erinnern:Istf:R Reine glatte Funktion,dann bezeichnetf (x) (x)xf(x)x xf (x) xxWie sehen Funk-tionen aus mitf (x) =f(x)f ur allex R? SteigunggleichFunktionswert Wie sehen Funk-tionen aus mitf (x) =f(x)f ur allex R? SteigunggleichFunktionswert Funktionenfmitf =fgibt esviele,aberdurchje-den Punkt (x0, y0)Funktionenfmitf =fgibt esviele,aberdurchje-den Punkt (x0, y0)Funktionenfmitf =fgibt esviele,aberdurchje-den Punkt (x0, y0)gibtesgenaueine!Funktionenfmitf =fgibt esviele,aberdurchje-den Punkt (x0, y0)gibtesgenaueine!

2 Speziell:(x0, y0) = (0,1)f(0) = gibt genau eine Funktionfmitf (x) =f(x)f ur allex Rundf(0) = ist einleuchtend, sp ater kommen wir auf den Beweis nocheinmal zur uck. Man schreibt diese Funktionexp(x)und nennt sie : exp (x) = exp(x),exp(0) = 1 Bemerkung: Es folgt, dassg(x) =aexp(bx) die Gleichungeng (x) =bg(x)undg(0) =aDie EXPONENTIALFUNKTION benutzt man deswegen, um Prozessemit der EigenschaftWachstumsgeschwindigkeit proportional zur erreichten Gr o ezu :unbegrenztes Wachstum einer Population (Bakterienkolonie)Moore sches Gesetz ( )Wie kann man exp(x) berechnen?

3 Eine M oglichkeit:f(x) := 1 +x+x22+x32 3+x42 3 4+x52 3 4 5+ Denn:f(0) = 1,und man darf summandenweise ableitenf (x) = 0 + 1 +2x2+3x22 3+4x32 3 4+5x42 3 4 5+ = 1 +x+x22+x32 3+x42 3 4+ =f(x)Wir haben gefundenexp(x) = 1 +x+x22+x32 3+x42 3 4+x52 3 4 5+ Mit der Bezeichnungn! := 1 2 n(lies nFakult at ) und derKonvention 0! := 1 schreibt sich exp(x) als unendliche Summeexp(x) = n=0xnn!exp(x) = n=0xnn!ist die Darstellung von exp als Exponentialreihe .DieEulersche Zahleist der Wert von exp beix= 1exp(1) = n=01n!e= 1 + 1 +12+16+124+1120+1720+ 2,718 Die fundamentale Eigenschaft dere-Funktion ist ihreMultiplika-tivit at: exp(x+y) = exp(x) exp(y)Wie sieht man das ein?

4 Zum Beweis betrachten wir die Funktiong(x) := exp(a+x)/exp(a)Dann giltg(0) = 1 undg (x) = exp(a+x) 1/exp(a) =g(x)g(x) erf ullt also genau die charakteristische Eigenschaft dere-Funktion. Es folgtexp(a+x)/exp(a) =g(x) = exp(x)und durch Multiplikation mit exp(a) die behauptete Multiplikati-vit EXPONENTIALFUNKTION ?exp(0) = 1 =e0exp(1) =e=e1exp(2) = exp(1 + 1) =e e=e2exp(3) = exp(1 + 1 + 1) =e e e=e3allgemeinexp(m) = exp(1 + + 1 m mal)=e e m mal=emUmgekehrt:e= exp(1) = exp(12+12) = exp(12) exp(12)e= exp(1) = exp(13+13+13) = exp(13) exp(13) exp(13)alsoexp(12) = e=e1/2,exp(13) =3 e=e1/3allgemeinerexp(1n) =n e=e1/nWir haben gesehenexp(m) =em,exp(1n) =e1/nund damitexp(mn) = exp(1n+ +1n) = exp(1n) exp(1n) (mn) =em/nAu erdem.

5 Exp( x) exp(x) = exp( x+x) = exp(0) = 1alsoexp( x) =1exp(x)= exp(x) 1und schlie lich f ur alle rationalen Zahlenr= mnexp(r) =erDamit haben wir diee-Funktion identifiziert als Exponentialfunk-tion zur (x) =exf ur alle reellen Zahlenx .(Wenn man will, kann man diese Gleichung als Definition vonexlesen, denn exp(x) ist f ur allexerkl art,exzun achst einmal abernur f ur rationalex.)Zum Merken:Die EXPONENTIALFUNKTION exp :R Rist charakterisiert durch dieGleichungenexp(0) = 1,exp = expSie ist multiplikativexp(x+y) = exp(x) exp(y)Sie l asst sich als unendliche Reiheexp(x) = n=0xnn!

6 Darstellen bzw. berechnen. Sie ist die Exponentialfunktionexp(x) =exdie Basis ist die Euler sche Zahle= exp(1) 2,718