Serie numeriche - esercizi svolti

1 Serie numeriche - esercizi svolti Andrea Braides 1 Testi 1) Si discuta il carattere della Serie : . X (n + 1)(2 + sin n). 3. n=1 n5. 2) Si discuta il carattere della Serie : . X (n + 1) cos n . 3. n=1 n7. 3) Si discuta il carattere della Serie : . X 2n (n2 + sin(en )). 3n n=1. 4) Si discuta il carattere della Serie : . X 1 . n n cos n n=1. 5) Si discuta il carattere della Serie : . X 1 . 2 2. n n cos 2. n n=1. 1. 6) Si discuta il carattere della Serie : r 6 3. 7 n + n X. n15 + 1. n=1. 7) Si discuta il carattere della Serie : r 4 3. 5 n + n X. n9 + 1. n=1. 8) Si discuta il carattere della Serie : . X 1. n3 (cos( ) 1)2. n n=1. 9) Si discuta il carattere della Serie : . X sin(n3 ) n3/5. n=1. n1/4 log(nn + n!). 10) Si discuta il carattere della Serie : . X sin(n4 ) + n5/3. n=1. n5/3 log(nn + n!). 11) Si calcoli la somma della Serie .

2 X 2n 1 3n+2. n! n=1. 12) Si calcoli la somma della Serie . X 2n 2. n! 3n+2. n=2. 2. 13) Si discuta il carattere della Serie : . ! n sin( 2 ). X 1 7 n n3 log n n=2. 14) Si discuta il carattere della Serie : . ! n sin( 2 ). X 1 9 n n4 log n n=2. 15) Si calcoli la somma della Serie . X (log 10)n ( 1)n+1. n! n=0. 16) Si calcoli la somma della Serie . X (log 2)n ( 1)n+1. n! n=0. 17) Si calcoli la somma della Serie . X 2(n+1)/2. ( 1)n+1. (n 1)! n=2. 18) Si calcoli la somma della Serie . X 11(n+1)/2. ( 1)n+1. (n 1)! n=2. 3. 19) Si discuta il carattere della Serie : . log(1 + 3n ) n sin(3/n). X . n2 log(3n). n=1. 20) Si discuta il carattere della Serie : . log(1 + 3n ) n sin(1/(3n)). X . n2 log(3n). n=1. 21) Sia E l'insieme dei numeri reali > 0 tali che + 1/2. X n2 + log n n log(n + 1). n=1. sia divergente.

3 Calcolare l'estremo superiore di E. 22) Sia E l'insieme dei numeri reali > 0 tali che + 1/2. X n5 + log n n log(n + 1). n=1. sia convergente. Calcolare l'estremo inferiore di E. 23) Trovare il numero reale x tale che . X 2n+1 xn 1. = 3. (n 1)! n=2. 24) Trovare il numero reale x tale che . X 2n+1 xn 1. = 1. (n 1)! n=2. 4. 2 Svolgimenti 1) Osserviamo che vale la doppia diseguaglianza 1 2 + sin n 3, e quindi la Serie e a termini positivi. Dunque la somma della Serie esiste finita o uguale a + . Inoltre valgono le diseguaglianze . X (n + 1) X (n + 1)(2 + sin n) X (n + 1). 3. 3. 3 3.. n=1 n5 n=1 n5 n=1 n5. Applicando due volte il criterio del confronto si ottiene che il carattere della Serie in questione e lo stesso della Serie . X (n + 1). 3.. n 5. n=1. A sua volta, applicando il criterio del confronto asintotico, possiamo sostituire n+1.

4 A (n + 1) semplicemente n (ovviamente lim = 1), ottenendo cos la Serie n n . X n X 1.. 3. = 2/3.. n=1 n 5. n=1. n 2. Questa Serie e una Serie armonica generalizzata di parametro , e diverge 3. 2. perche < 1. 3. 2) La Serie non e a termini di segno definito, quindi non si possono applicare i relativi criteri. Possiamo cercare di applicare il teorema della convergenza assoluta. Si ha (n + 1) cos n (n + 1)| cos n|.. 3. = . 3.. n 7 n7. Alla Serie . X (n + 1)| cos n|. 3. , n 7. n=1. ora a termini positivi, possiamo applicare il criterio del confronto, ricordando che | cos n| 1 e quindi . X (n + 1)| cos n| X (n + 1). 3.. 3.. n=1 n7 n=1 n7. 5. Per il criterio del confronto asintotico quest'ultima Serie ha lo stesso carattere della Serie . X n X 1.. 3. = 4/3. , n=1 n 7. n=1. n 2. che e una Serie armonica generalizzata di parametro , ed e convergente poiche.

5 3. 4. 3 > 1. Dunque la Serie di partenza e assolutamente convergente, e quindi converge. 3) Osserviamo che vale la diseguaglianza 0 n2 1 n2 + sin(en ), per ogni n 1. e quindi la Serie e a termini positivi. Dunque la somma della Serie esiste finita o uguale a + . Notando che si ha n2 + sin(en ). lim = 1, n n2. si ha, per il criterio del confronto asintotico, che la nostra Serie ha lo stesso carattere della Serie . X 2 n n 2 X 2 n 2. = n . 3n 3. n=1 n=1. Applichiamo il criterio della radice n-ima asintotico. Ricordando che . n 2 2. lim n2 = lim e n log n = lim e x log x = e0 = 1, n n x + . otteniamo . r . n 2 n 2 n 2. L = lim n2 =. lim n2 = < 1;. n 3 3 n 3. quindi la Serie e convergente. Proponiamo uno svolgimento alternativo. Pos- siamo confrontare questa Serie con una Serie geometrica di ragione con 1 > > 23 , per esempio = 34.

6 Si ha (3/4)n 9 n 1. lim = lim = + , n (2/3)n n2 n 8 n2. quindi per il criterio del confronto asintotico, la nostra Serie converge, conver- gendo la Serie geometrica di ragione 34 . 6. 4) Ricordiamo che vale il limite 1 cos x 1. lim = , x 0+ x2 2. quindi 1 1. 2. lim n 1 cos = . n + n 2. Si puo quindi applicare il criterio del confronto asintotico tra le due successioni 1 1. n 1 cos e , n n ottenendo che la Serie in esame ha lo stesso carattere della Serie armonica . X 1. , n n=1. ovvero e divergente. 5) Come nell'esercizio 4, otteniamo 1 1. lim n4 1 cos 2 = . n + n 2. Ora si puo applicare il criterio del confronto asintotico tra le due successioni 1 1. n2 1 cos 2 e , n n2. ottenendo che la Serie in esame ha lo stesso carattere della Serie armonica generalizzata di parametro 2.. X 1. , n2.

7 N=1. ovvero e convergente. 7. 6) La Serie e evidentemente a termini positivi, per cui o converge o diverge positivamente. Applichiamo il criterio del confronto asintotico con la Serie relativa alla successione 15 6. 1. n 7 = 9/7 . n Si ha infatti r r r r 9 7 n6 + n3 9 6 3 15 + n12 3. 7 n (n + n ) 7 n 7 1 + n lim n 7 15. = lim 15. = lim 15. = lim 15. =1. n n +1 n n +1 n n +1 n 1+n Quindi il carattere della Serie in questione e lo stesso della Serie . X 1. 9/7. , n=1. n 9. che e convergente poiche 7 > 1. 7) Analogamente all'esercizio precedente, applicando il criterio del confronto asintotico, si vede che la Serie ha lo stesso carattere della Serie . X 1. , n n=1. che diverge (positivamente). 8) La Serie e a termini positivi. Possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, notando che 1 cos x 1 1.

8 Lim n2 cos( ) 1 = lim = . n n x 0+ x2 2. Dunque 1 2 1. cos( ) 1 , n 4 n4. X1. e il carattere della nostra Serie e uguale a quello della Serie , e quindi n n positivamente divergente. 8. 9) Esaminiamo il segno del termine n-imo della Serie . Si ha 3 3. sin(n3 ) n 5 1 n 5 0 per ogni n 1, mentre, dato che nn + n! > 1 , log(nn + n!) > 0 per ogni n 1, quindi la Serie e a termini negativi e dunque o converge o diverge negativa- mente. Applichiamo il criterio del confronto. Dato che si ha 3. sin(n3 ) n 5. lim 3 =1. n n 5. e log(nn + n!) log(nn (1 + (n!/nn )) log(nn ) + log(1 + (n!/nn )). lim = lim = lim n n log n n n log n n n log n n n log n + log(1 + (n!/n )). = lim = 1, n n log n il carattere della Serie in questione e uguale a quello della Serie 3 . X n 5 X 1. 1 = 13 . n=2 n n log n 4. n=2 n 20 log n 13.

9 Possiamo applicare il teorema del confronto . Dato che 20 < 1 possiamoPfare il confronto con una Serie armonica generalizzata divergente del tipo n , 13. con 20 < < 1, per esempio = 34 . Si ha 3 1. n4 n 10. lim 13 = lim = + , n n 20 log n n log n e quindi la nostra Serie diverge (negativamente). 10) Procedendo come nell'esercizio precedente si vede che la Serie e a termini positivi, e che, per il criterio del confronto asintotico, ha lo stesso carattere della Serie . X 1. , n log n n=2. e quindi diverge positivamente. 9. 11) Dobbiamo calcolare la somma della Serie . X 2n 1 3n+2.. n! n=1. Tenendo presente che si ha . X an ( ) = ea per ogni a R. n! n=0. cerchiamo di trasformare la nostra Serie in questa forma. Per prima cosa scriviamo 9. 2n 1 3n+2 = 2n 2 1 3n 32 = 6n , 2. per cui . X 2n 1 3n+2 9 X 6n =.

10 N! 2 n! n=1 n=1. Sommando e sottraendo la quantita . 9 9 60. = , 2 2 0! si ottiene . 9 X 6n 9 X 6n 9 9 X 6n 9. = = ( 1) = (e6 1). 2 n! 2 n! 2 2 n! 2. n=1 n=0 n=0. 12) Dobbiamo calcolare la somma della Serie . X 2n 2. n!3n+2. n=2. Come nell'esercizio precedente cerchiamo di modificare la Serie in modo da ritrovare una somma del tipo . X an = ea . n! n=0. Riscriviamo 2n 2 1 2 n = , 3n+2 36 3. 10. per cui . X 2n 2 1 X 2 n 1. =. n!3n+2 36 3 n! n=2 n=2. Sommando e sottraendo la quantita . 2 0 2 1 2 5. + =1+ =. 3 3 3 3. si ottiene . X 2 n1 X 2 n1 5 2 5. = = e3 , 3 n! 3 n! 3 3. n=2 n=0. e dunque . X 2n 2 1 X 2 n 1 1 2 5 . = = e3 . n! 3n+2 36 3 n! 36 3. n=2 n=2. 13) La Serie e evidentemente a termini positivi. Dal limite notevole sin x lim =1. x 0 x abbiamo il limite n 2 2. lim sin( ) = . n + 7 n 7.