Algebra 2 de Bachillerato(Ciencias de la Naturaleza)

1 Algebra 2ode Bachillerato(Ciencias de la Naturaleza) MatricesmatrizAdimensi onTranspuestaATdimensi on a11 amn m n a11 anm n mmatriz cuadradaordenidentidadmatriz triangular a11 ann n 1 1 a11 ann Suma:Tienen que tener la misma dimensi on y se suman t ermino at de una matriz por un n umero real:Se multiplicantodos los t erminos de la matriz por ese n de dos matrices:Se desarrolla multiplicando matriz filapor matriz columna de la siguiente manera:(a11a12 a1n) =a11b11+a12b21+ +a1nbn1El n umero de columnas de la primera matriz tiene que ser igual aln umero de filas de la de una matrizLa matriz tiene que ser cuadrada1.

2 De orden dos: a11a12a21a22 =a11a22 a12a212. De orden tres: (Regla de Sarrus) a11a12a13a21a22a23a31a32a33 =a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23 (a13a22a31+a23a32a11+a33a12a21) a+m b+n c+pdefghi = a b cd e fg h i + m n pd e fg h i 2.|AT|=|A|3.|A B|=|A| |B|4. Si cambiamos dos filas o dos columnas el determinante cambia Si una fila o una columna tiene todos sus elementos igual a ceroel determinante vale Si dos filas o dos columnas son iguales el determinante vale Si dos filas o dos columnas son proporcionales el determinantevale Si una fila o columna es combinaci on lineal de las otras el deter-minante vale a b cd e fg h i = a b cd e fg h i + a b cd e fa b c = abcdefg+a h+b i+c ,es decir, si a una fila (o a una columna) le sumamos otra fila (uotra columna)

3 El determinante no var a b cd e fg h i = a b cd e fg h i + abcde fxa xb xc = abcdefg+xa h+xb i+xc ,es decir, si a una fila multiplicada por un n umero (o a una co-lumna) le sumamos otra fila (u otra columna) el determinante novar Adjunta:Adjunto del elementoaijde una matriz es el valor del determinanteresultante de eliminar la filaiy la columnajmultiplicado por ( 1)i+jy se le (A) = (Aij)C alculo del determinate de una matriz por adjuntos:Se elige una fila o una columna (cualquiera es v alida, siempre ser a mejoraquella que tenga m as ceros), escojo la primera fila para el ejemplo:|A|=a11A11+a12A12+ +a1nA1nInversa de una matriz:A 1=(Adj(A))T|A| matriz tiene inversa si, y s olo si,|A|6= las matrices que tienen inversa se la llamaRegularesy a las que no latienen se las de una matrizEs el n umero de filas linealmente forma pr actica se calcula por determinantes.

4 Si tenemos una matriz dedimensi on 3 4 cogemos matrices cuadradas que tengan el mayor ordenposible, tendremos cuatro de orden 3, si el determinante de alguna de ellases distinto de cero el rango es 3 y habremos terminado, si por el contrariotodas son cero el rango ya no puede ser 3 y buscaremos menores de orden2. Si alguno de estos menores es distinto de cero ya habremos terminado,y el rango ser a 2, si por el contrario todos son cero tendremos que buscarmenores de orden 1, y en el momento que encontremos alguno distinto decero el rango ser a de Ecuaciones lineales a11x1+ +a1nxn= + +amnxn=bmMatriz del sistema:A= a11.

5 Amn Matriz ampliada:A= a11.. amnbm Matriz de variables:X= ,Matriz de t erminos independientes:B= Se trata de una ecuaci on matricial:AX= |A| 6= 0 = A 1y en este caso el sistema se podr a resolver de la si-guiente maneraX=A 1 BAntes de resolver un sistema estudiar si hay ecuaciones nulas, iguales oproporcionales, para el estudio del de Rouch eSi Rango(A) =Rango(A) = node inc ognitas se trata de un SistemaCompatible Determinado (SCD). Y tiene soluci on Rango(A) =Rango(A)<node inc ognitas se trata de un SistemaCompatible Indeterminado (SCI). Y tiene infinitas Rango(A)6=Rango(A) se trata de un Sistema Incompatible.

6 Y notiene soluci homog eneosSon aquellos en los quebi= 0, estos siempre tienensoluci onx1=x2= =xm= 0 soluci on trivial, pero en el caso de que deque Rango(A)< m(node inc ognitas) estar amos ante infinitas soluciones,es decir:Si Rango(A) =m(node inc ognitas) = SCD = x1=x2= =xm= 0 soluci on Rango(A)< m(node inc ognitas) = SCI = infinitas de CramerSeaA= (C1, C2, C3, , Cn, B), entonces sustituimos la columnaBen lamatrizApor cada una de las columnas y tendremos:x1=|B, C2, C3, , Cn||A|, x2=|C1, B, C3, , Cn||A|, , xn=|C1, C2, , B||A|