uia algebra lineal - math.com.mx

1 algebra lineal *Jos e de Jes us Angel draft: M exico, , a 17 de noviembre de resumen de los principales temas tratados en un curso de Sistemas de Ecuaciones Conceptos b asicos.. M etodo de eliminaci on de Gauss.. M etodo de eliminaci on de Gauss-Jordan.. Sistemas Homog eneos.. Soluciones de SEL..52. Teor a matricial y Matrices, sus operaciones y propiedades.. Suma de Matrices .. Multiplicaci on por un escalar .. Multiplicaci on de Matrices .. Matrices especiales.. Matriz Cuadrada.

2 Matriz Transpuesta .. Matriz Identidad .. Matriz inversa y su determinaci on mediante operaciones Elementales.. Soluci on de sistemas de ecuaciones lineales por matriz inversa.. Determinantes y sus propiedades.. 10*Notas de C alculo de la matriz inversa por medio de determinantes.. Regla de Cramer.. 123. Espacios Definici on de espacio vectorial y ejemplos.. EspacioRny representaci on gr afica paran= 2 y 3.. Subespacios vectoriales.. Combinaci on lineal y espacio generado.. Independencia lineal .. Bases y dimensi on.

3 144. Producto Definici on, propiedades.. Ortogonalidad.. Norma y sus propiedades.. Bases ortogonales y ortonormales.. Proyecciones..165. Transformaciones Definici on, propiedades.. Recorrido y n ucleo.. Representaci on matricial de una transformaci on lineal .. Vector de coordenadas y cambio de base.. Transformaciones lineales inversas.. Vectores y valores propios.. Diagonalizaci on de una matriz.. 201. Sistemas de Ecuaciones Sistemas de Ecuaciones Conceptos b sistema demecuaciones conninc ognitas es el siguiente arreglo:a11x1+a12x2+a13x3+ +a1nxn=b1a21x1+a22x2+a23x3+ +a2nxn=b2a31x1+a32x2+a33x3+ +a3nxn= +am2x2+am3x3+ +amnxn=bmDonde las constantesa11.

4 , a1n, a12, ..a2n, .., am1, .., amn, b1, .., bm R, y las inc ognitasx1, .., xnrepresentan tambi en n umeros reales on 1 Una soluci on de un sistema de ecuaciones, es un conjunto de valores quetoman las inc ognitasx1, .., xny dan como resultado todas las igualdades del sistema deecuaciones elementales sobre los sistemas de ecuaciones:1. Intercambio de dos Multiplicar una ecuaci on por una constante diferente Sumar un m ultiplo de una ecuaci on a otra ecuaci on 1Un sistema de ecuaciones B, que se obtiene de otro A, por medio deoperaciones elementales tienen el mismo conjunto de Sistemas de Ecuaciones M etodo de eliminaci on de etodo 1El m etodo de Gauss consiste en transformar un sistema de ecua-ciones A, a otro B, por medio de operaciones elementales.

5 De tal forma que Bqueda en una forma triangular y por lo tanto puede ser resuelto con despejessucesivos 11x1+a 12x2+a 13x3+ +a 1nxn=b 1a 22x2+a 23x3+ +a 2nxn=b 2a 33x3+ +a 3nxn=b mnxm=b M etodo de eliminaci on de etodo 2El m etodo de Gauss-Jordan consiste en transformar un sistema deecuaciones A, a otro B, por medio de operaciones elementales,de tal formaque B queda en la siguiente forma diagonal y por lo tanto la soluci on queda demanera 11x1=b 1a 22x2=b 2a 33x3=b mnxm=b Sistemas Homog de especial inter es los sistemas de ecuaciones dondeb1= =bn= 0.

6 A estossistemas les llamaremos sistemas homog Teor a matricial y +a12x2+a13x3+ +a1nxn= 0a21x1+a22x2+a23x3+ +a2nxn= 0a31x1+a32x2+a33x3+ +a3nxn= +am2x2+am3x3+ +amnxn= 0 Los sistemas homog eneos siempre tienen al menos una soluci on, la soluci on Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, siempre o tienen una unica soluci on, o tienen unainfinidad de soluciones (caso de consistencia), o no tienen soluci on (caso de inconsisten-cia).Despu es de aplicar la reducci on de hay el mismo n umero de ecuaciones que de variables, entonces el sistema tieneuna unica soluci hay m as variables que ecuaciones, entonces hay una infinidad de obtenemos una contradicci on, entonces no hay soluci Teor a matricial y on 2 Una matriz es una funci on A de[1.]

7 , n] [1, .., m], al conjunto de losn umeros matrizAse representa con todos sus valores de manera usual como:A= a11a12 a1na21a22 amn 2. Teor a matricial y Matrices, sus operaciones y Suma de MatricesLa suma de matricesA= (aij) yB= (bij) con 1 i m,1 j n,esta definidacomo:A+B= (cij), cij=aij+bij,1 i m,1 j suma de matrices esta definida para dos matrices del mismo orden, es decir podemossumar una matrizn mpor otran Multiplicaci on por un escalarLa multiplicaci on de una matrizA= (aij) por un escalarrcon 1 i m,1 j definida como.

8 RA= (cij), cij=raij,1 i m,1 j Multiplicaci on de MatricesLa multiplicaci on de matricesA= (aij)m pporB= (bij)p a11a12 a1pa21a22 amp B= a11a12 a1na21a22 apn Tiene como resultado una matrizC= (cij)m n,yesta definida como:AB= (cij), cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j+ +aip+bpj,1 i m,1 j (aikbkj),1 i m,1 j Teor a matricial y 1El producto de matrices no es conmutativo, y solo esta definido para matricesn mpor otra matrizm ky da como resultado una matrizn Matrices Matriz CuadradaUna matriz es cuadrada si tiene el mismo n umero de filas que decolumnas,A= (aij)con 1 i n,1 j n,definida como.

9 A= a11a12 a1na21a22 ann Matriz TranspuestaLa matriz transpuesta deA= (aij) 1 i n,1 j n,es la matrizAT= (aji),cambia solo las filas por columnas y las columnas por ,A= a11a12 a1na21a22 amn Entonces:AT= a11a21 an1a12a22 anm Matriz IdentidadUna matriz cuadradaI= (aij),se llama identidad siaij= 1 parai=j, yaij= 0parai6= Teor a matricial y 1 0 0 00 1 0 00 0 1 0 0 1 Matriz inversa y su determinaci on mediante operaciones matriz cuadradaA= (aij),se llama invertible (no singular), si existe otra matriz(llamada inversaA 1) tal queA A 1= propiedades:1.

10 (A 1) 1= (AB) 1=B 1A (AT) 1= (A 1) etodo para obtener la matriz inversa deA:1. Formar la matriz (A|I) que significa adjuntar la matriz identidad Aplicar operaciones elementales a las filas deA, hasta obtener la matriz identidad,(las mismas operaciones elementales hay que realizarlas a las filas deIadjunta.)3. Entonces la matriz resultante en lugar deIadjunta es la 2Es muy importante saber antes si la matriz inversa Teor a matricial y Soluci on de sistemas de ecuaciones lineales por matriz ervese que un sistema de ecuaciones homog eneo puede ser puesto en t erminos tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:a11x1+a12x2+a13x3+ +a1nxn=b1a21x1+a22x2+a23x3+ +a2nxn=b2a31x1+a32x2+a33x3+ +a3nxn= +am2x2+am3x3+ +amnxn=bmEntonces puede ser escrito de manera matricial como.