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1 L mitesProblemas b sicos de l mitesJos de Jes s Angel 2007-2008 Contenido1. L mites22. L mites con 43. L mites con simple evaluaci n124. L mites con una diferencia de cuadrados o factorizaci n135. L mites obtenidos multiplicando por el conjugado171L mitesLos l mites de funciones son una de las partes m s complicadas del an lisis de funciones. En este re-porte presentamos de manera simple algunos de los ejemplos m s sencillos para el c lculo de l l mite de una funci n se denota comol mx cf(x) =b. La idea general de l mite es saber ad nde seaproxima la funci nf(x)cuandoxse aproxima ac.

2 Si la funci n se aproxima a un n mero realb nico,entonces decimos que el l mite existe, en otro caso decimos que no el siguiente ejemplo observamos algunos de los casos m s sencillos sobre l la funci nf(x)definida de la siguiente manera:f(x) = x2 2,six 23x 5,si2< x <43x 5,si4< x < 5,six= 6Es decir, la funci n no esta definida enx= 4, la gr fica de esta funci n se muestra a continuaci L mites3-4-3-2-112345678-5-4-3-2-112345612 345 Punto 1En el puntox= 2de la gr fica de la funci n, observamos que si nos aproximamos al 2porabajo (por la izquierda), la funci n se acerca a 2.

3 Pero si nos aproximamos a 2por arriba (por laderecha) la funci n se aproxima a 0,4. Por lo tantol mx 2f(x)no 2En el puntox= 0de la gr fica de la funci n, observamos que si nos aproximamos al0por abajo(por la izquierda), la funci n se acerca a 0,6. Si nos aproximamos a0por arriba (por la derecha)la funci n se aproxima tambi n a 0,6. Por lo tantol mx 2f(x) = 0, 3En el punto 3,x= 4aunque la funci n no esta definida, si nos acercamos a4por abajo (por laizquierda), la funci n se acerca a -3, si nos acercamos ax= 4por arriba (por la derecha), la funci ntambi n se acerca ay= 3.

4 Entonces el l mite existe yl mx 4f(x) = 4En el punto 4,x= 5si nos acercamos a4por abajo (por la izquierda), la funci n se va a , sinos acercamos ax= 5por arriba (por la derecha), la funci n va a . Entonces el l mite no 5En el punto 5,x= 6aunque la funci n esta definida y vale5. Si nos acercamos a6por abajo (porla izquierda), la funci n se va a3, si nos acercamos ax= 6por arriba (por la derecha), la funci nse acerca a3. Entoncesl mx 6f(x) = mites con Ejercicio 1 Demostrar por quel mx 5x= 1 Truco para encontrar :Paso 1 Queremos que|f(x) L|< , cuando|x c|=|x 5|<.

5 En este caso|f(x) L|=|x 5|< , entonces si = , obtenemos que|f(x) L|< .Paso 2 Esto puede apreciarse mejor en la figura 2 Demostraci n:Paso 1 Dado >0, debemos encontrar , tal que si0<|x c|< , entonces|f(x) L|< .Paso 2De la parte 1, dado >0y = , como|x c|=|x 5|< es cierto, entonces si = ,tambi n es cierto que|x 5|=|f(x) L|< . 2. L mites con 5123456123456L+ L- c- c- Lc = Figura :f(x) =x, c= 5, L= L mites con 6 Ejercicio 2 Demostrar por quel mx 15x= 1 Truco para encontrar :Paso 1 Queremos que|f(x) L|< . Sustituyendo y desarrollando|f(x) L|=|5x 5|=5|x 1|< , por otra parte tenemos que|x 1|< , por lo tanto lo primero ser cierto si = 2 Esto puede apreciarse en la figura 2 Demostraci n:Paso 1 Dado >0, debemos encontrar , tal que si0<|x c|< , entonces|f(x) L|<.

6 Paso 2De la parte 1, dado >0y = 5, tenemos|x c|=|x 1|< = 5, entonces5|x 1|=|5x 5|< , es decir|f(x) L|=|5x 5|< . 2. L mites con 71234123456L+ L- c- c- Lc = 5 Figura :f(x) = 5x, c= 1, L= L mites con 8 Ejercicio 3 Demostrar por quel mx 4x2= 1 Truco para encontrar :Paso 1 Queremos que|f(x) L|< , entonces:|f(x) L|=|x2 2|=12|x 4|< , por otraparte tenemos que|x 4|< , por lo tanto lo primero ser cierto si tomamos = 2 Paso 2 Esto puede apreciarse mejor en la figura 2 Demostraci n:Paso 1 Dado >0, debemos encontrar , tal que si0<|x c|< , entonces|f(x) L|<.

7 Paso 2De la parte 1, dado >0y = 2 , como|x c|=|x 4|< = 2 , entonces12|x 4|< ,es decir|f(x) L|=|x2 2|< . 2. L mites con 91234561234L+ L- c- c- Lc =2 Figura :f(x) =x/2, c= 4, L= L mites con 10 Ejercicio 4 Demostrar por quel mx cax+b=ac+ 1 Truco para encontrar :Paso 1 Queremos que|f(x) L|< , entonces. De los problemas anteriores podemos inferir quesi tomamos a = a, podemos mostrar lo 2 Demostraci n:Paso 1 Dado >0, debemos encontrar , tal que si0<|x c|< , entonces|f(x) L|< .Paso 2De la parte 1, dado >0y = a, como|x c|< = a, entonces|ax ac|< , es decir|ax ac+b b|=|ax+b (ac+b)|=|f(x) L|<.

8 2. L mites con 11 Ejercicio 5 Demostrar por quel mx 0xsen(1/x) = 1 Truco para encontrar :Paso 1 Queremos que|f(x) L|< , sabemos que|sen(1/x)| 1se cumple siempre, por lotanto|xsen(1/x)| |x|.Paso 1 Ver figura 2 Demostraci n:Paso 1 Dado >0, debemos encontrar , tal que si0<|x c|< , entonces|f(x) L|< .Paso 2De la parte 1, dado >0y = , como|x c|=|x|< = , entonces de parte 1,|xsen(1/x) 0| |x|< = , es decir|f(x) L|< . 4:f(x) =xsen(1/x)3L mites con simple evaluaci nEn muchos casos, calcular un l mite es muy simple, por ejemplo si la funci n es continua.

9 Entonces ell mite llega a ser una simple evaluaci 6 Encontrarl mx 1x3 2x2+ 3x+ 1 Para funciones (continuas), donde el puntocesta definida, el l mite se encuentra con simplesustituci 2En nuestro caso,f(1) = 3, por lo tantol mx 1x3 2x2+ 3x+ 1 = 7 Encontrarl mx 32x+ 1 Para funciones (continuas), donde el puntoc= 3esta definida, el l mite se encuentra consimple sustituci 2En nuestro caso,f( 3) = 2, por lo tantol mx 32x+ 2= mites con una diferencia de cuadrados ofactorizaci nEjercicio 8 Encontrarl mx 2x2 4x 1La funci n no est definida enx= 2, pero podemos reducir la funci n de la siguiente manera:x2 4x 2=(x 2)(x+ 2)x 2= (x+ 2)Parte 2De la primera parte, ahora podemos ver que el l mite 9 Encontrarl mx 1x2 1x+ 14.

10 L mites con una diferencia de cuadrados o factorizaci n14 Parte 1La funci n no est definida enx= 1, pero podemos reducir la funci n de la siguiente manera:x2 1x+ 1=(x 1)(x+ 1)x+ 1= (x 1)Parte 2De la primera parte, ahora podemos ver que el l mite es 10 Encontrarl mx ax2 a2x aParte 1La funci n no est definida enx=a, pero podemos reducir la funci n de la siguiente manera:x2 a2x a=(x a)(x+a)x a= (x+a)Parte 2De la primera parte, ahora podemos ver que el l mite 11 Encontrarl mx 1x3+ 1x+ 1 Parte 1La funci n no est definida enx= 1, pero podemos reducir la funci n de la siguiente manera:x3+ 1x+ 1=(x2 x+ 1)(x+ 1)x+ 1=x2 x+ 1 Parte 2De la primera parte, ahora podemos ver que el l mite L mites con una diferencia de cuadrados o factorizaci n15 Ejercicio 12 Encontrarl mx 12x2 x 3x+ 1 Parte 1La funci n no est definida enx= 1, pero podemos reducir la funci n de la siguiente manera.