Distribuzione binomiale - pugliasalute

1 Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 6 - Pag. 1 Capitolo 6. Distribuzione binomiale . Deviazione standard di una proporzione. Distribuzione diPoisson. binomialeLa Distribuzione binomiale consente di valutare la probabilit che una modalit diun evento con probabilit individuale a priori (p) si verifichi un determinatonumero di volte (i) entro un numero totale (n) di eventi. Con esempi la faccendapu essere pi chiara. Ad esempio, la Distribuzione binomiale valuta la probabilit che: su 10 figli 7 siano maschi (n=10, i=7, modalit ='maschio' con p= ) su 8 lanci di dado il due esca tre volte (n=8, i=3, modalit 'due' con p=1/6) sui 13 risultati della schedina compaiano 10 x (n=13, i=10, modalit 'x' conp=1/3)La formula la seguente:Pninipqnipini,,!

2 !()!= Chiamiamo p (minuscolo) la probabilit a priori della modalit in questione e q laprobabilit - complementare a p - di tutte le altre modalit :modalit modalit complementaremaschio, p= (femmina), q= ai dadi, p=1/6non-due ai dadi,q=5/6x della schedina,p=1/3non-x della schedinaq=2/3 Ovviamente, p + q = : le modalit a cui si riferiscono p e q devono essere mutualmenteesclusive, esaustive e sequenzialmente indipendenti!La formula della Distribuzione binomiale altro non che il termine (n+1-i)mo dellosviluppo di (p+q)n di cuinini!!()! rappresenta il cosiddetto coefficiente, mentrepqini rappresenta la cosiddetta parte letterale del esempio, la probabilit che su tre lanci di dado (n=3) il due (p=1/6) esca 1 volta(i=1) viene calcolata come:Pnip,,!

3 !()!()()= 31311656131 Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 6 - Pag. 2che corrisponde esattamente all' (n+1-i)mo = (3+1-1)mo = terzo termine dellosviluppo di(1/6 + 5/6)3:()()()()163165656323 3(16)(56) 2+ + +Tutti conosciamo dalle scuole medie lo sviluppo del quadrato e del cubo di unbinomio (a proposito, la Distribuzione binomiale si chiama cos appunto per talecorrispondenza). Ma nessuno potrebbe conoscere a mente lo sviluppo dellepotenze di un binomio oltre un certo grado. In realt , il famoso triangolo diTartaglia consente di andare un p pi in l , in quanto ci d la serie di coefficienti acui applicare la parte letterale con esponenti decrescenti (da n a 0) di p e crescenti(da 0 a n) di di Tartaglia (fino al grado 7)1(p+q)011(p+q)1121(p+q)21331(p+q)31464 1(p+q)415101051(p+q)51615201561(p+q)6172 135352171(p+q)7 Es.

4 (p+q)7= 1p7 + 7p6q + 21p5q2 + 35p4q3 + 35p3q4 + 21p2q5 + 7pq6 + 1q7 Comunque, anche con il triangolo di Tartaglia molto scomodo calcolare potenzedi grado superiore come (p+q)500: occorrerebbe sviluppare centinaia di righe concentinaia di coefficienti! Pertanto bene usare la formula della Distribuzione con ifattoriali. Attenzione: i fattoriali sono capaci di produrre numeri enormi, nonrappresentabili in molti calcolatori a 8-10 cifre o rappresentabili in formaesponenziale con solo 8-10 cifre significative e conseguente perdita diinformazione. Per questo spesso si ricorre alla trasformazione logaritmica, sapendoche il logaritmo di un prodotto corrisponde alla somma dei logaritmi dei fattori, equindi il logaritmo di k!

5 Corrisponde alla sommatoria dei logaritmi primi k interi:log(1 2 3 4 5 .. k) = log 1 + log 2 + log 3 + log 4 + log 5 +..+log k, e rimettendopoi le cose a posto elevando la base del logaritmo adottato (decimale o naturale, indifferente) per il si chieder a che serve tutta questa dissertazione sulla Distribuzione binomiale . Anoi serve per conoscere e rappresentare il modello di variabilit con cui valutare,ad esempio, le frequenze attese da confrontare con quelle osservate nel nostrocampione. Se qualcuno ci chiedesse quale la probabilit di estrarre dal sacchettodella tombola (con dentro tutti i numeri da 1 a 90) un numero compreso tra 21 eDiaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap.

6 6 - Pag. 330, potremmo rispondere facilmente: 10/90 = Infatti l'intervallo tra 21 e 30(inclusi) comprende dieci numeri, su un totale di 90. Questo lo possiamo dire soloperch conosciamo esattamente quali sono i numeri della tombola. Qualsiasidistribuzione, conosciuta in dettaglio, ci consente di rispondere ad ogni quesitoconcernente la probabilit dei suoi seguente uno schema che riassume tutti gli aspetti del calcolo delladistribuzione che il numero due del dado con probabilit di evento a priori pari a 1/6 (p=1/6, q=5/6) esca 0, 1, 2, 3 volte (i=0, 1, 2, 3) su 3 lanci (n=3)espressionegeneralizzataespressione semplificatavaloripossibilit coefficientedato daltriangolodi Tartaglia odalla formulanini!

7 !()! parte letteralep con esponentidecrescentiq con esponenticrescentipqini i = 00 volte su 3no no no3030!!()! ()()1656030 ( )i = 11 volta su 3s no nono no s no s no3131!!()! ()()1656131 ( )i= 22 volte su 3s s nos no s no s s 3232!!()! ()()1656232 ( )i = 33 volte su 3s s s 3333!!()! ()()1656333 ( )totale (p+q)3totale1(100%)Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 6 - Pag. 4L'istogramma della Distribuzione cos calcolata , una precisazione importante: la probabilit sempre espressa in ragione di 1(un valore compreso tra 0 ed 1). Ma se consideriamo una certa frequenza osservata(es.)

8 , in 7 lanci, il due uscito 6 volte; frequenza osservata = 6) e vogliamoconfrontare questa con la frequenza attesa dalla Distribuzione binomiale , questanon la semplice probabilit 7 (1/6)6 (5/6)1 = , bens la probabilit moltiplicata per il numero di lanci, cio , nel nostro caso 7 = standard di una proporzioneLa proporzione rappresenta nel campo delle frequenze ci che la media nelcampo delle variabili ponderali. Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, ladistribuzione binomiale non necessariamente simmetrica, anzi, quando p piccolo si presenta fortemente asimmetrica.

9 Al crescere di n ed al tendere di p la Distribuzione binomiale tende a diventare simmetrica. In pratica, quandon p>5 la Distribuzione pu essere considerata sufficientemente simmetrica dapoter valutare una deviazione standard da associare alla proporzione. Ricordiamoche la deviazione standard di un parametro statistico, sinonimo di errore standard, l'espressione della variabilita o affidabilit della stima del parametro. Ladeviazione standard di una proporzione data dalla formula:spqnp=/Se, ad esempio, la proporzione riguarda 15 osservazioni su un totale di 70, diremochenrrppsp== ==== == =70155515700211079021079700049 n q/.

10 /. la deviazione standard associata alle frequenze relative, sia p ( ) che q( ).Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 6 - Pag. 5 Attenzione: al posto delle frequenze relative di p e q possiamo anche impiegarenella formula le loro frequenze percentuali, lasciando tuttavia n in frequenzaassolutasp= =21797049/.Allo stesso modo possiamo calcolare la deviazione standard da associare allefrequenze assolute r (15) e n-r (55) calcoleremosr= =15557034/.Ovviamente sta a 15 come sta a (a parte differenze dovuteall'arrotondamento).Quindi, esprimendo una proporzione, ed assumendo che la Distribuzione binomialedefinita dai valori p e n sia simmetrica, noi possiamo calcolare la deviazionestandard da associare alla frequenza relativa frequenza percentuale frequenza assolutaIn analogia con quanto fatto per i limiti fiduciali della media, la deviazione standarddella proporzione consente la stima dei limiti fiduciali della = p t spConsiderando un livello di probabilit = per cui t= , i limiti fiduciali sono.