Le equazioni di grado superiore al secondo - …

1 1R. Folgieri 2007-20081Le equazioni di grado superiore al secondoITIS Feltrinelli anno scolastico 2007-2008R. Folgieri 2007-20082 Teorema fondamentale dell algebraOgni equazione algebrica di grado n ha sempre n soluzioni, che possono essere reali o non realiAd esempio, l equazione x3 1 = 0 ha solo una soluzione reale, cio x = 1, ed ha altre due soluzioni date da numeri non le soluzioni di un equazione di grado superiore al secondo non sempre esempio le equazioni complete di terzo e di quarto grado hanno formule risolutive non facili da applicare. Per le equazioni di grado superiore al quarto non ci sono formule occuperemo solo di alcune equazioni particolari di gradi superiore al secondo , cio di quelle che si possono risolvere riconducendole a equazioni di primo e di secondo Folgieri 2007-20083 Risoluzione per scomposizioneA volte un equazione si pu scomporre in un prodotto di equazioni , di primo e di secondo grado .

2 Per effettuare questa operazione occorre avere dimestichezza con i prodotti notevolie con le regole di scomposizione(ad esempio Ruffini) e di raccoglimento a fattor alcuni esempi di equazioni di questo tipo:X3 5x2+ 6x = 0, che si pu scomporre raccogliendo la x, e ottenendo cos x(x2 5x + 6)=0 risolvibili entrambeX4 16 = 0 la differenza di due quadrati: (x2+4)(x2 4)=0 e il secondofattore pu ancora essere scomposto: (x2+4)(x+2)(x-2)=0 tutte + x2-19x + 15 si scompone utilizzando il metodo di Ruffini, ottenendo(x-1)(3x2+ 4x -15)=0 risolvibili entrambeR. Folgieri 2007-20084 equazioni binomieSono quelle la cui forma canonica axn+ b = 0 con a, b R, n NLe soluzioni si ottengono isolando l incognita:Si estrae, poi, la radice n-esima:Possiamo avere tre casi:n pari ed ae bhanno segni concordi -b/a un numero negativo.

3 La radice di indice pari di un numero negativo non compresa nell insieme R, cos l equazione non ha soluzioni pari ed ae bhanno segni discordi -b/a un numero positivo. L equazione ha due soluzioni reali opposte tra loro, e cio :n dispari -b/a un numero positivo. Qualunque siano i valori di a e di b, l equazione ha una sola soluzione reale, data da Vediamo alcuni esempi (a voi dire a quale dei tre tipi appartengono):X4 16 = 0 ha radici x = 2X3+ 8 = 0 ha la sola radice reale x= - 2X6+ 64 = 0 non ha radici reali(x 2)3 27 =0 si pu pensare come se l incognita fosse x-2. Poi si ricava il valore di x, cio 5(x+1)4= 16 si pu pensare come se l incognita fosse x+1, trovando le soluzioni x + 1 = 2abxn =nabx =nabx =nabx =nabx =3R. Folgieri 2007-20085 equazioni trinomieSono quelle la cui forma canonica ax2n+ bxn+ c = 0 con a, b, c R, n NLe soluzioni si ottengono per sostituzione, ponendo xn= tL equazione diventa, quindi: t2+ bt + c = 0 Se il discriminante maggiore o uguale a 0, l equazione a due soluzioni reali, che sostituite di nuovo nella xn= t, forniscono le soluzioni dell equazione n = 2, si ha un equazione nella forma ax4+ bx2+ c = 0 che si dice alcuni esempi (a voi dire a quale dei tre tipi appartengono):X6+ 7x3- 8 = 0 si pone x3=t sostituendo si risolve.

4 Poi si sostituiscono ancora i valori (a voi provare) e si ottengono le soluzioni reali x=1 e x = -23X4-7x2+ 2 = 0 si pone x2=t sostituendo si risolve. Poi si sostituiscono ancora i valori (a voi provare) e si ottengono le soluzioni reali x= 1/3 e x = 2X4+ 6x2+ 9 = 0 un equazione biquadratica. Si pone x2=t sostituendo si ottiene x2=3 che impossibile in R e quindi l equazione non ha soluzioni Folgieri 2007-20086 equazioni reciprocheReciproche di prima specie:sono quelle in cui i coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi sono numeri 5x3-6x2- 6x + 5 = 0 Reciproche di seconda specie:sono quelle in cui i coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi sono numeri 2x4+ 7x3+ 5x2-7x -2 = 0Se un equazione reciproca ha come soluzione il numero reale k, allora ha anche come soluzione il numero reale reciproco, cio 1 solo le equazioni reciproche di terzo, quarto e quinto grado , che si risolvono tutte per scomposizione, eccetto quelle reciproche di quarto grado e di prima di terzo grado di prima specieForma normale ax3+ bx2+ bx + a = 0, con a,b RIl polinomio sempre divisibile per x+1.

5 SI risolve perci usando Ruffini. Hanno sempre, comunque, la soluzione x= -1Es. 2x3 3x2 3x + 2 = 0 divisibile per x+1, scomponendo, oltre a x= -1, si ha x=1/2 e x=2 Reciproche di terzo grado di seconda specieForma normale ax3+ bx2- bx - a = 0, con a,b RIl polinomio sempre divisibile per x-1. SI risolve perci usando Ruffini. Hanno sempre, comunque, la soluzione x= 1Es. 3x3 2x2+ 2x - 3 = 0 divisibile per x+1, scomponendo, oltre a x= 1, e nessun altra soluzione Folgieri 2007-20087 equazioni reciproche di quarto e di quinto gradoReciproche di quarto grado di prima specieForma normale ax4+ bx3+ cx2+ bx + a = 0, con a,b,c RDividiamo tutti i termini per x2, ottenendo ax2+ bx + c + b/x + a/x2= 0 Mettiamo evidenza i termini equidistanti dagli estremi, ottenendo:Ora poniamo:Elevando al quadrato, otterremo:Sostituendo nell equazione, otteniamo a(t2 2) + bt + c = 0.

6 Si trovano (se esistono, le soluzioni t1e t2e, tornando alla si ottengono e che risolte danno le 2x4 5x3+ 4x2 5x + 2 = 0 risolta con il metodo visto, ha soluzioni x = e x= 2 Reciproche di quarto grado di seconda specieForma normale ax4+ bx2- bx - a = 0, con a,b RManca il termine centrale perch dovrebbe essere uguale a se stesso e al suo opposto e quindi uguale a 0. E sempre divisibile sia per x+1 sia per x-1. Cos tutte hanno soluzioni x= -1 e x=1. Per il resto si risolvono con 6x4 37x3+ 37x - 6 = 0 dividiamo con Ruffini prima per -1 e poi per 1. Si ottengonoin tutto le soluzioni x = -1, x = 1, x = 1/6, x = di quinto gradoDi prima speciehanno soluione x= -1,come quelle di terzo grado di prima seconda speciehanno soluione x= 1, come quelle di terzo grado di seconda abbassano di grado con Ruffini e ci si riconduce ad equazioni di quarto 2x5+ 7x4+ 5x3-5x2- 7x - 2 = 0 dividiamo con Ruffini per 1.)

7 Si ottengonoin tutto le soluzioni x= -1, x = 1 (doppia), x = -1/2, x = + ++ +cxxbxxatxx=+12121222222 =+ =++txxtxxtxx=+111txx=+21txx=+R. Folgieri 2007-20088 equazioni irrazionaliSono quelle in cui l incognita compare sotto irrazionali con radici quadrateSi eleva al quadrato per eliminare la radice. Accorgimenti:1) Se l equazione contiene solo una radice, conviene isolarla in uno dei due membri2) Se contiene due radici e nessun alro termine, conviene mettere una radice in un membro e una in un altro3) Se contiene due radici e anche altri termini, conviene che entrambe le radici siano da sole in uno dei due termini. Eliminando al quadrato resta una radice, che si deve poi isolare per poter elevare di nuovo al equazione ottenuta, per , non equivalente, per cui, trovate le radici, occorre verificare che effettivamente siano radici dell equazione irrazionale di partenza.

8 , sostituendo ogni soluzione all incognita per stabilire se alcuni esempi (a voi applicare il procedimento):352=+x043= +xx062452= + xxx253= +xx5R. Folgieri 2007-20089 equazioni irrazionali con radici cubicheEquazioni irrazionali con radici cubicheSi elevano al cubo, una o pi volte, entrambi i membri dell equazione. Accorgimenti:Non necessario verificare le soluzioni e nemmeno porre condizioni sull espressione sotto radice, perch il radicando pu essere positivo, negativo o alcuni esempi (a voi applicare il procedimento):Altri tipi di equazioni irrazionaliSi possono risolvere con un po di intuito, per tentativi e qualche accorgimento (e facendo molti, molti esercizi, che ci permetteranno di riconoscere come procedere)Es. La seguente equazione si risolve riducendo entrambe le radici allo stesso indice 6:Es.

9 L equazione seguente si risolve elevando al quadrato due volte ambo i membri2313 =+x63623)1()1(11+=+ +=+xxxx33243 = xx11 =+xx113+=+xx