Primitives EXOS CORRIGES - lycee.lagrave.free.fr

1 Cours et exercices de math matiques M. CUAZ, Page 1/12 Primitives EXERCICES CORRIGES Exercice n 1. D riv e et Primitives 1) Calculez la d riv e de la fonction f d finie par 3()391fxxx= +. 2) D duisez-en deux Primitives de la fonction g d finie par 2()99gxx= 3) D terminer le sens de variation de f sur \ Exercice n 2 11 Primitives sans fonction logarithme D terminer une primitive de f sur un intervalle contenu dans son ensemble de d finition Exercice n 2. Usage des tableaux de Primitives usuelles 1) ()21fxx=+ 2) fx 3) 43()1061xx=+ ()()()13xxfx= + 4) 221()fxxx= 5) 54()3fxx = 6) 1()fxxx=+ 7) ()sin2cosfxxx= Exercice n 3.

2 Primitive et constante Soit f la fonction d finie sur ][0;+ par 22()31fxxx= +. D terminer la primitive F de f sur ][0;+ qui s'annule pour x=1. Exercice n 4. Trouver la primitive F de f sur I v rifiant la condition donn e 1) 2()13fxxx= + x I= F(1)=0 \2) 211()fxxxx=+ I=][0;+ F(1)=1 Exercices n 5 n 8 : D terminer une primitive des fonctions donn es Exercice n 5. Forme nuu 1) ()4()331fxx=+2) ()3()1641fxx= 3) ()6()27fxx=+ 4) ()()52()62323fxxxx= +5) 4211()1fxxx =+ 6) ()sincosfxx=x Exercice n 6. Forme 2uu 1)()24()14fxx=+ 2)()26()21fxx=+ 3)()21()43fxx=+ 4)()21()2fxx = 5)()22()43fxx= 6)()2221()1xfxxx+=++ 7)()22410()56xfxxx = + 8)2cos()sinxfxx= 9)2sin()cosxfxx= Exercice n 7.

3 Soit la fonction f d finie par f(x) = 334(1)xx++. 1) D terminer les r els a et b tels que, pour tout 1x , f(x) = 23(1)(1)abxx+++. 2) En d duire une primitive F de f sur ][1; + . Cours et exercices de math matiques M. CUAZ, Page 2/12 Exercice n 8. Forme uu 1) 3()32fxx=+ 2) 1()25fxx= 3) 1()23x=fx 4) 221()1xfxxx+=++ 5) 2()1xfxx= 6) cos()2sinxfxx=+ Exercice n 9. Soit g la fonction d finie sur ][0;+ par ()gxxx=. 1) Calculez la d riv e de g sur ][0;+ 2) soit f la fonction d finie sur ][0;+ par ()fxx=. D duisez de la premi re question une primitive de f sur ][0;+ Exercice n 10. La courbe (C) donn e ci-dessous est la repr sentation graphique dans un rep re orthonormal d une fonction f d finie et d rivable sur.

4 \ 1) Pour chacune des affirmations ci-dessous indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier votre r ponse : a. Toute primitive de f s annule pour 0,5. b. Toute primitive de f est d croissante sur [0 ; 0,5]. 2. Parmi les courbes (C1) et (C2) donn es ci-dessous, l une est la repr sentation graphique d une primitive de f sur . Indiquer laquelle en pr cisant les raisons de votre choix. \Courbe 1 Courbe 2 Cours et exercices de math matiques M. CUAZ, Page 3/12 Exercice n 11 16 Primitives utilisant les fonctions logarithmes et exponentielles Exercice n 11.

5 D terminez une primitive de la fonction f propos e sur l'intervalle I donn : 1) 21()5fxxxx= + sur I=][0;+ 2) 21()xxxfx++= sur I=][0;+ 3) 2751()fxxxx=++ I=][0;+ 4) 3()34x=fx sur I=4;3 + 5) 1()1fxx=+ sur I=][1; + 6) 1()1fxx=+ sur I=][;1 7) 22()4xfxx= sur ][2;+ 8) 1()35x=fx sur [[2;+ 9) 21()22xfxxx+=++ sur 10) \2()1xfxx= sur ][1; 1 Exercice n 12. On consid re la fonction d finie sur I=[[ par 4;+ 223()2xxfxx4 = 1) Trouver trois r els a,b, et c tels que ()2cfxaxbx=++ 2) En d duire une primitive de f sur [[4;+ Exercice n 13. D terminez une primitive de la fonction f propos e sur l'intervalle I donn : 1) cos()sinxfxx= sur I=0;2 2) ln()xfxx= sur I=[[1;+ 3) 1()lnfxxx= sur ][1;+ 4) ()tanfxx= sur ;2 Exercice n 14.]]]]]]]]

6 D terminez une primitive sur de la fonction f donn e : \1) 1()4xfxe= 2) ()xfxe = 3) 23()xfxe+= 4) 2()xfxxe= 5) ()1xxefxe=+ Exercice n 15. Soit f la fonction d finie sur par \()()2xfxxe=+ D terminez les nombres a et b tels que la fonction F, d finie sur , par \()()xFxaxbe=+ soit une primitive de f. Exercice n 16. Soit f la fonction d finie sur par \3()1xfxe =+ 1) V rifiez que pour tout x de , on a \3()1xxefxe=+ 2) D duisez en la primitive F de f qui s'annule pour x=0 Cours et exercices de math matiques M. CUAZ, Page 4/12 Primitives - CORRECTION Exercice n 1 1) f est d rivable sur et pour tout , \x \22()339199fxxx = = . 2) Si on note g la fonction d finie par , alors gr ce la question 1), on dispose d une primitive de g en la personne de la fonction f.

7 Un autre primitive de g serait la fonction h d finie sur par , o k est une constante r elle quelconque. Ainsi est une autre primitive de g 2()99gxx= 3()391fxxx= +\()()hxf xk=+3503951xx+= +3) Puisque ()()()22()9991911gxxxxx= = = +, on peut tablir le signe de , donc le sens de variation de f : Pour ()gx][][;11; + ()0gx>x, et pour ][1; 1x , ()0gx<, donc f est strictement croissante sur ][;1 , strictement d croissante sur ][1; 1 , et strictement croissante sur ][1;+ . Exercice n 2 1) La fonction f d finie par ()21fxx=+ est continue sur en tant que fonction affine, donc il existe une primitive d finie sur par \\()2212xx= + =2 Fxxx+ 2) La fonction f d finie par 43()1061fxxx=+ () est continue sur en tant que fonction polyn me, donc il existe une primitive d finie sur par \\5445122xxxx310654xxFx= + = + 3) La fonction f d finie par ()()22()133323fxxxxxxxx= +=+ =+ () est continue sur en tant que fonction polyn me, donc il existe une primitive d finie sur \ par \323223323xxxFxxxx3=+ = + 4) La fonction f d finie par 221()fxxx= est continue sur ][0.

8 + en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il existe une primitive d finie sur ][0;+ par ()313xFxx= 5) La fonction f d finie par 5544()33fxx == x est continue sur ][0;+ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il existe une primitive d finie sur ][0;+ par ()513515144443433xxxFx1x += + + = == 6) La fonction f d finie par 1()fxxx=+ est continue sur ][0;+ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il existe une primitive d finie sur ][0;+ par ()222xFx=+x 7) La fonction f d finie par ()sin2cosfxxx= ()cFx= est continue sur en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il existe une primitive d finie sur \ par \os2sinxx Exercice n 3 f est continue sur ][0;+ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc admet des Primitives sur ][0;+ d finies par 2()2xFxxk= \32,kx +.

9 On cherche k pour que 32(1)01021Fk= += =32k La primitive F de f sur ][0;+ qui s'annule pour x=1 est donc 232()22xFxxx3= + Cours et exercices de math matiques M. CUAZ, Page 5/12 Exercice n 4 1) f est continue sur en tant que fonction polyn me donc admet des Primitives d finies sur par \\23(),23xxFxxkk= + \44x+. On cherche k pour que (1)0F=11110234k + +=7012k += 712k = . La primitive F de f sur qui v rifie F(1)=0 est donc \23472341xxx()Fxx2= + 2) f est continue sur ][0;+ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc admet des Primitives d finies sur ][0;+ par 21(),2xFxkkx= + \2x . On cherche k pour que (1)1F=1121021k +=5200k +=.

10 La primitive F de f sur qui v rifie F(1)=1 est donc 215222xxx()Fx= + 52k =][0;+ Exercice n 5 1) . f est d finie et continue sur en tant que produit de fonctions qui le sont, et (4()331fxx=+)\()4()()()fxuxux = o ux. Ainsi une primitive sur \ de f est d finie par ()31xu =+ ()3x=()()55155x+()3()uxFx== 2) . f est d finie sur en tant que produit de fonctions qui le sont, et pour tout (3()1641fxx= )\x \, , donc de la forme (3()4441fxx= )()34()()()fxuxux =, o ux()41()4xux = =. Ainsi une primitive sur de f est d finie par \()()4441x ()()44uxFx= = 3) . f est d finie et continue sur \ en tant que puissance d une fonction qui l est, et pour tout (6()27fxx=+)x \, (1()222fxx= )67+, donc de la forme (6()()())12fxuxux =, o ()27()2uxxux =+ =.