LIMITES – EXERCICES CORRIGES

1 Cours et EXERCICES de math matiques M. CUAZ, Page 1/18 LIMITES EXERCICES CORRIGES Exercice n 1. D terminer la limite ventuelle en + de chacune des fonctions suivantes : 1) fxx()=13 2) fxx()= 4 3) fxx()= +31 D terminer la limite ventuelle en de chacune des fonctions suivantes : 4) fxx()= 3 5) fxx()=+51 6) fxx()= D terminez les LIMITES suivantes 7) lim ()xxx + + 211 8) lim()xxxx > +00241 9) lim ()xxx + 23 10) 43lim xx 11) 2lim32xxx + + 12) ()lim1xxx + + 13) ()()lim34ttt 14) 1lim3xxx + Etudier le comportement de f lorsque x tend vers a avec : 15) fxxa(),= =122 16) fxxa(),= += 233 17) fxxa(),==102 Exercice n 2. D terminer les LIMITES de )2)(1()( +=xxxxf en x = 2 et x = -1.

2 Exercice n 3. D terminez les LIMITES suivantes 1) xxxf12)(2 = en + 2) =xxg1cos)( en Exercice n 4. Vrai ou Faux ? 1) Si une fonction f est strictement croissante et positive sur [[0;+ , alors lim( )xfx + =+ 2) Si une fonction f a pour limite 0 en + , alors, condition de prendre x suffisamment grand, tous les nombres r els f(x) sont de m me signe 3) Si une fonction f a pour limite -1 en + , alors, condition de prendre x suffisamment grand, tous les nombres r els f(x) sont de m me signe Exercice n 5. f est une fonction num rique dont l'expression est 2()fx axxb=+ . D terminer a et b sachant que 3lim ( )xfx+ =+ et 5lim ( ) 11xfx = Exercice n 6. D terminez les LIMITES suivantes : 1) 1023lim2+ + xxx 2) 254lim3 + xxx 3) limxxxx + +++34122 4) limxxx ++814163 5) limxxxx 2222 6) 22123lim21xxxxx + 7) 93lim9xxx Exercice n 7.]]

3 Trouver deux fonctions f et g telles que lim( )xfx + =+ et lim ( )xgx + =+ et telles que : 1) lim( )( ) 1xfx gx + = 2) ()lim7()xfxgx + = Cours et EXERCICES de math matiques M. CUAZ, Page 2/18 Exercice n 8. D terminez les LIMITES suivantes : 1) xxx ++ 3lim 2))2(34lim2+ +++ xxxx Exercice n 9. 1) Soit f une fonction telle que pour tout x>1,222()fxxx . D terminer lim( )xfx + 2) Soit f une fonction telle que pour tout x>1,233()2fxxx . D terminer lim( )xfx + Les propri t s suivantes permettent-elles de conclure concernant lim( )xfx + et lim( )xfx ? 3) ( ) 23fxx 4) 2()3fx x Exercice n 10. On consid re la fonction d finie sur [[+ ;0 par 4)(+ =xxxf 1) Montrer que pour tout [[+ ;0x xxf3)( 2) D terminer )(limxfx+ Exercice n 11.]]]]

4 Soit la fonction f d finie sur [[0;D=+ par ()2fxxx=+ 1) D montrer que, pour tout x de D, on a : 2()2fxxx=++. 2) D montrer que, pour tout ][0;x + : 20()fxx 3) En d duire la limite de la fonction f en + . Exercice n 12. On consid re la fonction num rique f d finie par ( ) 2sinfxx x= 1) Montrer que pour tout x r el 21( ) 21xfxx + 2) En d duire les LIMITES de f lorsque x tend vers + et lorsque x tend vers Exercice n 13. D terminer, l'aide des th or mes de comparaison, les LIMITES en + et en de chacune des fonctions f suivantes (si elles existent): 1) 1cos()xfxx+= 2) 2sin()1xxfxx=+ ; Exercice n 14. On veut trouver la limite en + de xxxf 1:+6 1) Montrer que pour x>0 , ()22211xxx<+ < + 2) En d duire pour x>0 un encadrement de f(x).]]

5 3) En d duire la limite de f en + . Exercice n 15. Soit x un r el de 0;2 . Dans le plan rapport un rep re orthonormal direct ();;Oi jGG, on consid re les points A(1;0), M(cos x;sin x), P(cos x;0) et T(1;tan x). Soit A1 l'aire du triangle OAM, A2 l'aire du secteur de disque OAM et A3 l'aire du triangle OAT. 1) En comparant ces aires, prouver que : sin x x tan x. 2) En d duire que cos x < sinxx < 1. 3) D terminer la limite de sinxx en 0 ( tudier les cas x < 0 et x > 0). Cours et EXERCICES de math matiques M. CUAZ, Page 3/18 Exercice n 16. En utilisant le r sultat limsinxxx =01 (cf exercice pr c dent), tudiez les LIMITES en 0 des fonctions : 1) xxx sin 52 2) xxx sin 3 3) xxx sinsin54 4) xxx tan Exercice n 17. En utilisant la d finition du nombre d riv , d terminer 363lim3xxx + 0sinlimxxx 2coslim2xxx Exercice n 18.

6 D terminer 0tanlimxxx 11lim1xxx 62cos21lim6xxx Exercice n 19. Retrouver les LIMITES de f(x) partir du graphique connaissant les asymptotes Exercice n 20. Dans chacun des cas ci-dessous, on donne trois fonctions et la repr sentation graphique C de l une d entre elles. Retrouver celle qui est repr sent e, en justifiant (qu'est-ce qui permet d' liminer les 2 autres ?) 1er cas ()( )11()12fxxx= ++ ou ()( )21()12fxxx=+ ou ()( )31()12fxxx= + 2 me cas ()121()2gxx= ou 221() 1(2)gxx= + ou ()321()2gxx= + Exercice n 21. Rechercher les asymptotes parall les aux axes que peuvent pr senter les courbes des fonctions suivantes : 1) 31()xfxx = 2) 21()fxx= 3) 1()2fxx=+ 4) 21()4fxx= 5) 21() 3 2xfxxx = + Cours et EXERCICES de math matiques M.

7 CUAZ, Page 4/18 Exercice n 22. Soit f la fonction 21() 2 1fxxx=++. Etudier le comportement de f en 0, + et , en pr cisant les asymptotes la courbe repr sentative de f et les positions relatives de la courbe et de chaque asymptote. Exercice n 23. Soit f la fonction fxxxx()=+ +23122 1) D terminez trois nombres r els a,b et c tels que fx ax bcx()=+++2 pour 2 x 2) Etudier le comportement de f en+ (limite, asymptote sur la courbe). Exercice n 24. Montrer que la droite d quation y = x est asymptote en + la courbe repr sentative de la fonction f d finie par fxxx()=+321 Exercice n 25. Montrer que la droite d quation yx=2 est asymptote pour x + la courbe repr sentative de la fonction d finie sur \ par fx xx()=+ 21 Exercice n 26.

8 On consid re la fonction f d finie par 323420()3xx xfxx+ =+ 1) Quel est l ensemble de d finition D de f ? 2) D terminez trois r els a, b et c tels que pour tout x de D, on ait :fx ax bcx()=+++23 3) D terminer : lim( )xfx + ; lim( )xfx ; lim ( )xxfx > 33 ; lim ( )xxfx < 33 ; lim ( ( ) ())xfxax b + +2 4) Soit g la fonction num rique d finie par : 2()4gx x= . Etudier le signe de fx gx()() suivant les valeurs de x. En d duire les positions relatives des courbes suivant les valeurs de x. Exercice n 27. Pour tout r el x non nul, on consid re la fonction f d finie par ()22020502500()xfxx+ = A l aide de la calculatrice, remplir le tableau suivant : x 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,01 Valeur approch e de ( )fx 1) Peut-on conjecturer la limite de f en z ro ?

9 2) En d veloppant ()22050x+, simplifier l expression de f(x) pour x 0. Calculer alors la limite de f en z ro. Surprenant, non ? Exercice n 28. D terminer les LIMITES suivantes : 1) ()2limlnxxx + + 2) ()lim 1lnxxx + 3) ()lim ln 2 3lnxx + 4) ()0lim4 lnxxx + 5) 2lim lnxx 6) 0lnlimxxx 7) limlnxxx + 8) 1lim ln 1xxx + + (Poser 1)Xx= 9) 0ln(1 2 )limxxx + (Poser 2 )Xx= Exercice n 29. D terminer les LIMITES suivantes : 1) ()2limxxxe + + 2) ()lim4xxxe + 3) 1lim3xxex + Cours et EXERCICES de math matiques M. CUAZ, Page 5/18 Exercice n 30. Etudiez les LIMITES de la fonction f donn e aux bornes de son ensemble de d finition D, et trouver les asymptotes ventuelles la courbe repr sentative de f.

10 1) ()4xfx e = 2) 3()1xfxe=+ 3)()2xfxx xe= + 4)1()1xfxe= Exercice n 31. On consid re la fonction num rique f d finie sur \ par f(x) = eexx+1. 1) D terminer la limite de f(x) quand x tend vers . 2) Montrer que f(x)=xe +11, et calculer la limite de f(x) quand x tend vers + . 3) En d duire l existence de deux asymptotes de la courbe C. Cours et EXERCICES de math matiques M. CUAZ, Page 6/18 LIMITES CORRECTION Exercice n 1 1) 3limxx + =+ donc par quotient 31lim0xx + =, c est dire lim( ) 0xfx + = 2) 4limxx + =+ donc par multiplication 4limxx + = , c est dire lim( )xfx + = ( ne pas confondre 4x et ()44xx =) 3) 1lim0xx + = donc par somme 1lim 33xx + + = , c est dire lim( )3xfx + = 4) 3limxx = donc par produit 3limxx =+ , c est dire lim( )xfx =+ 5) 1lim0xx = donc par somme 1lim 55xx +=, c est dire lim( ) 5xfx = 6) limxx =+ donc par composition avec la fonction racine, limxx =+ , c est dire lim( )xfx =+ 7) lim 21xx + +=+ et 1lim0xx + = donc par somme 1lim 21xxx + + =+ 8) 200lim4 0 44xxx > = = et 001limxxx >=+ donc par somme 2001lim(4)xxxx > +=+ 9)