Les nombres réels - Exo7

1 Les nombres r elsVid o partie 1. L'ensemble des nombres rationnelsQVid o partie 2. Propri t s deRVid o partie 3. Densit deQdansRVid o partie 4. Borne sup rieureFiche d'exercices Propri t s deRMotivationVoici une introduction, non seulement ce chapitre sur les nombres r els, mais aussi aux premiers chapitres de cecours d temps des Babyloniens (en M sopotamie de 3000 600 avant ) le syst me de num ration tait en base60,c est- -dire que tous les nombres taient exprim s sous la formea+b60+c602+ . On peut imaginer que pour lesapplications pratiques c tait largement suffisant (par exemple estimer la surface d un champ, le diviser en deux parties gales, calculer le rendement par unit de surface.)

2 En langage moderne cela correspond compter uniquementavec des nombres pythagoriciens (vers 500 avant en Gr ce) montrent quep2n entre pas ce cadre l . C est- -dire quep2nepeut s crire sous la formepqavecpetqdeux entiers. C est un double saut conceptuel : d une part concevoir quep2est de nature diff rente mais surtout d en donner une d fil rouge de ce cours va tre deux exemples tr s simples : les nombresp10et 1,101/12. Le premier repr sente parexemple la diagonale d un rectangle de base3 et de hauteur1 ; le second correspond par exemple au taux d int r tmensuel d un taux annuel de10 %. Dans ce premier chapitre vous allez apprendre montrer quep10n est pas unnombre rationnel mais aussi encadrerp10 et 1, 101/12entre deux entiers cons pouvoir calculer des d cimales apr s la virgule, voire des centaines de d cimales, nous aurons besoin d outilsbeaucoup plus sophistiqu s : une construction solide des nombres r els, l tude des suites et de leur limites, l tude des fonctions continues et des fonctions d trois points sont li s et permettent de r pondre notre probl me, car par exemple nous verrons en tudiant lafonctionf(x)=x2 10que la suite des rationnels(un)d finie paru0=3 etun+1=12 un+10un tend tr s vite versp10.

3 Cela nous permettra de calculer des centaines de d cimales dep10 et de certifier qu elles sont exactes :p10=3, 1622776601683793319988935444327185337195 551393252168 ..LES nombres R ELS1. L ENSEMBLE DES nombres RATIONNELSQ21. L ensemble des nombres criture d cimalePar d finition, l ensemble desnombres rationnelsestQ= pq|p Z,q N .On a not N =N\{0}.Par exemple :25; 710;36= nombres d cimaux, c est- -dire les nombres de la formea10n, aveca Zetn N, fournissent d autres exemples :1, 234=1234 10 3=123410000, 00345=345 10 5=345100 nombre est rationnel si et seulement s il admet une criture d cimale p riodique ou exemple :35=0, 613=0, 3333 ..1, 179 325 325 325 ..Nous n allons pas donner la d monstration mais le sens direct (= ) repose sur la division euclidienne. Pour lar ciproque ( =) voyons comment cela marche sur un exemple : Montrons quex=12,342021 2021.

4 Est id e est d abord de faire appara tre la partie p riodique juste apr s la virgule. Ici la p riode commence deux chiffresapr s la virgule, donc on multiplie par 100 :100x=1234, 2021 2021 ..(1)Maintenant on va d caler tout vers la gauche de la longueur d une p riode, donc ici on multiplie encore par10 000pour d caler de 4 chiffres :10 000 100x=1234 2021, 2021 ..(2)Les parties apr s la virgule des deux lignes(1)et(2)sont les m mes, donc si on les soustrait en faisant(2)-(1)alorsles parties d cimales s annulent :10 000 100x 100x=12 342 021 1234donc 999 900x=12 340 787 doncx=12 340 787999 donc bien s rx est pas un nombre rationnelIl existe des nombres qui ne sont pas rationnels, lesirrationnels. Les nombres irrationnels apparaissent naturellementdans les figures g om triques : par exemple la diagonale d un carr de c t 1 est le nombre irrationnelp2; lacirconf rence d un cercle de rayon12est qui est galement un nombre irrationnel.

5 Enfine=exp(1)est 12 Nous allons prouver quep2 n est pas un nombre nombres R ELS1. L ENSEMBLE DES nombres RATIONNELSQ3 Proposition QD l absurde supposons quep2 soit un nombre rationnel. Alors il existe des entiersp Zetq N tels quep2=pq, de plus ce sera important pour la suite on suppose quepetqsont premiers entre eux (c est- -direque la fractionpqest sous une criture irr ductible).En levant au carr , l galit p2=pqdevient2q2=p2. Cette derni re galit est une galit d entiers. L entier degauche est pair, donc on en d duit quep2est pair ; en terme de divisibilit 2 si2 divisep2alors2 divisep(cela se prouve par facilement l absurde). Donc il existe un entierp Ztel quep=2p .Repartons de l galit 2q2=p2et rempla onsppar2p . Cela donne2q2=4p 2. Doncq2=2p 2. Maintenant celaentra ne que 2 diviseq2et comme avant alors 2 avons prouv que2 divise la foispetq.

6 Cela rentre en contradiction avec le fait quepetqsont premiers entreeux. Notre hypoth se de d part est donc fausse :p2 n est pas un nombre ce r sultat est important en voici une deuxi me d monstration, assez diff rente, mais toujours par l d l absurde, supposonsp2=pq, doncqp2=p N. Consid rons l ensembleN= n N |np2 N .Cet ensemble n est pas vide car on vient de voir queqp2=p Ndoncq N. AinsiNest une partie non vide deN,elle admet donc un plus petit l mentn0= n0=n0(p2 1),il d coule de cette derni re galit et de 1<p2<2 que 0<n1< plusn1p2=(n0p2 n0)p2=2n0 n0p2 N. Doncn1 Netn1<n0: on vient de trouver un l mentn1deNstrictement plus petit quen0qui tait le minimum. C est une hypoth se de d part est fausse, doncp2/ quep10/ repr sente souvent les nombres r els sur une droite num rique : 3 2 1012345 ep2Il est bon de conna tre les premi res d cimales de certains r elsp2'1,4142.

7 '3,14159265..e'2,718..Il est souvent pratique de rajouter les deux extr mit s la droite num finition { , } que la somme de deux rationnels est un rationnel. Montrer que le produit de deux rationnels est unrationnel. Montrer que l inverse d un rationnel non nul est un rationnel. Qu en est-il pour les irrationnels ?2. crire les nombres suivants sous forme d une fraction : 0, 1212 ; 0, 12 12 .. ; 78, 33 456 456 ..3. Sachantp2/ Q, montrer 2 3p2/ Q, 1 1p2/ ensemble des nombres de la formea2naveca Zetn N. Montrer que13/ D. Trouverx Dtelque 1234<x<1234, Montrer quep2p3/ Montrer que log 2/ Q(log 2 est le logarithme d cimal de 2 : c est le nombre r el tel que 10log 2=2).LES nombres R ELS2. PROPRI T S DER42. Propri t s Addition et multiplicationCe sont les propri t s que vous avez toujours pratiqu es. Poura,b,c Ron a :a+b=b+aa b=b a0+a=a1 a=asia6=0a+b=0 a= ba b=1 a=1b(a+b)+c=a+(b+c)(a b) c=a (b c)a (b+c)=a b+a ca b=0 (a=0 oub=0)On r sume toutes ces propri t s en disant que :Propri t (R1).

8 (R,+, )est uncorps Ordre surRNous allons voir que les r els sont ordonn s. La notion d ordre est g n rale et nous allons d finir cette notion sur unensemble quelconque. Cependant gardez l esprit que pour nousE=RetR= finition un sous-ensemble de l ensemble produitE E. Pour(x,y) E E, on dit quexesten relation avecyet on notexRypour dire que(x,y) Une relationRest unerelation d ordresi Restr flexive: pour toutx E,xRx, Restantisym trique: pour toutx,y E,(xRyetyRx)= x=y, Resttransitive: pour toutx,y,z E,(xRyetyRz)= finition relation d ordreRsur un ensembleEesttotalesi pour toutx,y Eon axRyouyRx. On dit aussi que(E,R)est unensemble totalement ordonn .Propri t (R2).La relation6surRest une relation d ordre, et de plus, elle est avons donc : pour toutx R,x6x, pour toutx,y R, six6yety6xalorsx=y, pour toutx,y,z (x,y) R2on a par d finition :x6y y x R+x<y (x6yetx6=y).

9 Les op rations deRsont compatibles avec la relation d ordre6au sens suivant, pour des r elsa,b,c,d:(a6betc6d)= a+c6b+d(a6betc>0)= a c6b c(a6betc60)= a c>b nombres R ELS2. PROPRI T S DER5On d finit le maximum de deux r elsaetbpar :max(a,b)= asia>bbsib> d finir max(a,b,c), max(a1,a2, .. ,an)? Et min(a,b)? Propri t d Archim dePropri t (R3, Propri t d Archim de).Restarchim dien, c est- -dire : x R n Nn>x Pour tout r el x , il existe un entier naturel n strictement plus grand que x . Cette propri t peut sembler vidente, elle est pourtant essentielle puisque elle permet de d finir la partie enti red un nombre r el :Proposition x R, ilexisteununiqueentier relatif, lapartie enti renot e E(x), tel que :E(x)6x<E(x)+1 Exemple 1. E(2, 853)=2,E( )=3,E( 3, 5)= 4. E(x)=3 36x< On note aussiE(x)=[x]. Voici le graphe de la fonction partie enti rex7 E(x):xy101y=E(x)2, 853E(2, 853)=2 Pour la d monstration de la proposition 3 il y a deux choses tablir : d abord qu un tel entierE(x)existe et ensuitequ il est >0, par la propri t d Archim de (Propri t R3) il existen Ntel quen>x.

10 L ensembleK= k N|k6x est donc fini (car pour toutkdansK, on a06k<n). Il admet donc un plus grand l mentkma x=maxK. On a alorskma x6xcarkma x K, etkma x+1>xcarkma x+1/ K. Donckma x6x<kma x+1 et onprend doncE(x)=kma .Siket`sont deux entiers relatifs v rifiantk6x<k+1 et`6x<`+1, on a donck6x<`+1, donc partransitivit k<`+1. En changeant les r les de`etk, on a aussi`<k+1. On en conclut que` 1<k<`+1, maisil n y a qu un seul entier compris strictement entre` 1 et`+1, c est`. Ainsik=`.LES nombres R ELS2. PROPRI T S DER6Le casx<0 est et 1, 11/12par deux entiers cons cutifs. Nous savons32=9<10donc3=p32<p10(la fonction racine carr e est croissante). De m me42=16>10donc 4=p42>p10. Conclusion : 3<p10<4 ce qui impliqueE p10 =3. On proc de sur le m me <1,10<212donc en passant la racine12-i me (c est- -dire la puissance112) on obtient : 1<1, 11/12<2 et doncE 1, 11/12 = Valeur absoluePour un nombre r elx, on d finit lavaleur absoluedexpar :|x|= xsix>0 xsix<0 Voici le graphe de la fonctionx7 |x|:xy101y=|x|Proposition |x|>0;| x|=|x|;|x|>0 x6= |x|3.