Algèbre linéaire I - Exo7

1 Exo7 Alg bre lin aire IExercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche * tr s facile ** facile ** difficult moyenne ** difficile ** tr s difficileI : IncontournableExercice 1** ISoientFetGdeux sous-espaces vectoriels d un espace que :[(F Gsous-espace deE) (F GouG F)].CorrectionH[005563]Exercice 2**G n ralisation de l exercice 1. Soientnun entier sup rieur ou gal 2 puisF1, .. ,Fnnsous-espaces deEo Eest un espace vectoriel sur un sous-corpsKdeC. Montrer que[(F1 .. Fnsous-espace deE) (il existei [[1,n]]/ j6=iFj Fi)].CorrectionH[005564]Exercice 3** IE=Kno Kest un sous-corps {(x1.)}

2 ,xn) E/x1+..+xn=0}etG=Vect((1,..,1)). Montrer queFest un sous-espacevectoriel deE. Montrer queFetGsont suppl mentaires dansE. Pr ciser le projet d un vecteurxdeEsurFparall lement Get surGparall lement [005565]Exercice 4**Les familles suivantes deR4sont-elles libres ou li es ? Fournir des relations de d pendance lin aire quand cesrelations (e1,e2,e3)o e1= (3,0,1, 2),e2= (1,5,0, 1)ete3= (7,5,2,1).2.(e1,e2,e3,e4)o e1= (1,1,1,1),e2= (1,1,1, 1),e3= (1,1, 1,1)ete4= (1, 1,1,1).3.(e1,e2,e3,e4)o e1= (0,0,1,0),e2= (0,0,0,1),e3= (1,0,0,0)ete4= (0,1,0,0).

3 4.(e1,e2,e3,e4)o e1= (2, 1,3,1),e2= (1,1,1,1),e3= (4,1,5,3)ete4= (1, 2,2,0).CorrectionH[005566]Exercice 5**Montrer que(1, 2, 3)est une famille libre duQ-espace [005567]Exercice 6**Soitf(x) =ln(1+x)pourxr el positif. Soientf1=f,f2=f fetf3=f f f. Etudier la libert de(f1,f2,f3)dans[0,+ [[0,+ [.CorrectionH[005568]Exercice 7**1 Soitfa(x) =|x a|pouraetxr els. Etudier la libert de la famille(fa)a [005569]Exercice 8**IOn posefa(x) =eaxpouraetxr els. Etudier la libert de la famille de fonctions(fa)a [005570]Exercice 9**Montrer que toute suite de polyn mes non nuls de degr s deux deux distincts est que toute suite de polyn mes non nuls de valuations deux deux distinctes est [005571]Exercice 10**IE=Rn[X].]]]]

4 Pour 06k6n, on posePk=Xk(1 X)n k. Montrer que la famille(Pk)06k6nest une base [005572]Exercice 11**I Polyn mes d interpolation de LAGRANGES oienta0,..,ann+1 nombres complexes deux deux distincts etb0,..,bnn+1 nombres qu il existe une unique famille den+1 polyn mes coefficients complexes de degr nexactementv rifiant (i,j) [[0,n]],Li(aj) =1 sii=jet 0 que la famille(Li)06i6nest une base deCn[X].Montrer qu il existe un unique polyn mePde degr inf rieur ou gal nv rifiant i [[0,n]],P(ai) = d terminer tous les polyn mes v rifiant les galit s pr c [005573]Exercice 12**1.

5 Calculer pourpetqentiers naturels donn s les int grales suivantes :J(p,q) = 2 0cos(px)cos(qx)dx,K(p,q) = 2 0cos(px)sin(qx)dxetL(p,q) = 2 0sin(px)sin(qx) Montrer que la famille de fonctions(cos(px))p N (sin(qx))q N est [005574]Exercice 13**ISoientFetGdeux sous-espaces vectoriels d un espace vectoriel de dimension finie montrer que dim(F+G) =dimF+dimG dim(F G).CorrectionH[005575]Exercice 14**SoientF,GetHtrois sous-espaces d un espace vectorielEde dimension finie que : dim(F+G+H)6dimF+dimG+dimH dim(F G) dim(G H) dim(H F)+dim(F G H).Trouver un exemple o l in galit est [005576]Exercice 15**SoientF1,F2.

6 ,Fnnsous-espaces vectoriels d un espaceEde dimension finie surK(n>2).Montrer que dim(F1+..+Fn)6dimF1+..+dimFnavec galit si et seulement si la somme est [005577]2 Exercice 16**ISoitEunK-espace vectoriel de dimensionn>3. Montrer que l intersection den 1 hyperplans deEest [005578]Exercice 17**Soient(x1,..,xn)une famille denvecteurs de rangret(x1,..,xm)une sous famille de rangs(m6nets6r).Montrer ques>r+m n. Cas d galit ?CorrectionH[005579]Exercice 18**SoientEetFdeux espaces vectoriels de dimension finie et soientfetgdeux applications lin aires deEdansF.

7 Montrer que|rgf rgg|6rg(f+g)6rgf+ [005580]Exercice 19**SoientE,FetG, troisK-espaces vectoriels puisf L(E,F)etg L(F,G).Montrer que rgf+rgg dimF6rg(g f)6 Min{rgf,rgg}.CorrectionH[005581]Exercice 20**SoientEun espace de dimension finie etFetGdeux sous-espaces deE. Condition n cessaire et suffisante surFetGpour qu il existe un endomorphismefdeEtel queF=KerfetG= [005582]Exercice 21**SoientEun espace vectoriel non nul de dimension finie etfun endomorphisme que :1.(fnon injective) (f=0 oufdiviseur de z ro gauche).2.(fnon surjective) (f=0 oufdiviseur de z ro droite).

8 CorrectionH[005583]Exercice 22** ISoientEun espace de dimension finiennon nulle etfun endomorphisme nilpotent deE. Montrer quefn= [005584]Exercice 23**ISoientA M3,2(R)etB M2,3(R)telles queAB= 82 2254 2 45 . Justifier l existence [005585]Exercice 24**I Noyaux it r sSoientEun espace vectoriel etfun endomorphisme deE. Pourk N, on poseNk=Ker(fk)etIk=Im(fk)puisN= k NNketI= k NIk. (Nest le nilespace defetIle c ur def)31. (a) Montrer que les suites(Nk)k Net(Ik)k Nsont respectivement croissante et d croissante pour l in-clusion.(b) Montrer queNetIsont stables parf.

9 (c) Montrer que k N,(Nk=Nk+1) (Nk+1=Nk+2).2. On suppose de plus que dimE=nentier naturel non nul.(a) SoitA={k N/Nk=Nk+1}etB={k N/Ik=Ik+1}. Montrer qu il existe un entierp6ntel queA=B={k N/k>p}.(b) Montrer queE=Np Ip.(c) Montrer quef/Nest nilpotent et quef/I GL(I).3. Trouver des exemples o (a)Aest vide etBest non vide,(b)Aest non vide etBest vide,(c) (**)AetBsont Pourk N, on posedk=dim(Ik). Montrer que la suite(dk dk+1)k Nest d [005586]Exercice 25**ISoitEun espace vectoriel non nul. Soitfun endomorphisme deEtel que pour tout vecteurxdeEla famille(x,f(x))soit li e.

10 Montrer quefest une homoth [005587]Exercice 26**ISoitEun espace de dimension finie. Trouver les endomorphismes (resp. automorphismes) deEqui commutentavec tous les endomorphismes (resp. automorphismes) [005588]Exercice 27**ISoientpetqdeux projecteurs d unC-espace que(p+qprojecteur) (p q=q p=0) (Im(p) Ker(q)et Im(q) Ker(p)).Dans le cas o p+qest un projecteur, d terminer Ker(p+q)et Im(p+q).CorrectionH[005589]Exercice 28**ISoitEun espace de dimension finie. Montrer que la trace d un projecteur est son [005590]Exercice 29**Soientp1,..,pnnprojecteurs d unC-espace de dimension finie.