Les nombres réels - Exo7 : Cours et exercices de ...

1 Les nombres r elsVid o partie 1. L'ensemble des nombres rationnelsQVid o partie 2. Propri t s deRVid o partie 3. Densit deQdansRVid o partie 4. Borne sup rieureFiche d' exercices Propri t s deRMotivationVoici une introduction, non seulement ce chapitre sur les nombres r els, mais aussi aux premiers chapitres de cecours d temps des Babyloniens (en M sopotamie de 3000 600 avant ) le syst me de num ration tait en base60,c est- -dire que tous les nombres taient exprim s sous la formea+b60+c602+.

2 On peut imaginer que pour lesapplications pratiques c tait largement suffisant (par exemple estimer la surface d un champ, le diviser en deux parties gales, calculer le rendement par unit de surface,..). En langage moderne cela correspond compter uniquementavec des nombres pythagoriciens (vers 500 avant en Gr ce) montrent quep2n entre pas ce cadre l . C est- -dire quep2nepeut s crire sous la formepqavecpetqdeux entiers. C est un double saut conceptuel : d une part concevoir quep2est de nature diff rente mais surtout d en donner une d fil rouge de ce Cours va tre deux exemples tr s simples : les nombresp10et 1,101/12.

3 Le premier repr sente parexemple la diagonale d un rectangle de base3 et de hauteur1 ; le second correspond par exemple au taux d int r tmensuel d un taux annuel de10 %. Dans ce premier chapitre vous allez apprendre montrer quep10n est pas unnombre rationnel mais aussi encadrerp10 et 1, 101/12entre deux entiers cons pouvoir calculer des d cimales apr s la virgule, voire des centaines de d cimales, nous aurons besoin d outilsbeaucoup plus sophistiqu s : une construction solide des nombres r els, l tude des suites et de leur limites, l tude des fonctions continues et des fonctions d trois points sont li s et permettent de r pondre notre probl me, car par exemple nous verrons en tudiant lafonctionf(x)=x2 10que la suite des rationnels(un)d finie paru0=3 etun+1=12 un+10un tend tr s vite versp10.

4 Cela nous permettra de calculer des centaines de d cimales dep10 et de certifier qu elles sont exactes :p10=3, 1622776601683793319988935444327185337195 551393252168 ..LES nombres R ELS1. L ENSEMBLE DES nombres RATIONNELSQ21. L ensemble des nombres criture d cimalePar d finition, l ensemble desnombres rationnelsestQ= pq|p Z,q N .On a not N =N\{0}.Par exemple :25; 710;36= nombres d cimaux, c est- -dire les nombres de la formea10n, aveca Zetn N, fournissent d autres exemples :1, 234=1234 10 3=123410000, 00345=345 10 5=345100 nombre est rationnel si et seulement s il admet une criture d cimale p riodique ou exemple :35=0, 613=0, 3333.

5 1, 179 325 325 325 ..Nous n allons pas donner la d monstration mais le sens direct (= ) repose sur la division euclidienne. Pour lar ciproque ( =) voyons comment cela marche sur un exemple : Montrons quex=12,342021 2021 ..est id e est d abord de faire appara tre la partie p riodique juste apr s la virgule. Ici la p riode commence deux chiffresapr s la virgule, donc on multiplie par 100 :100x=1234, 2021 2021 ..(1)Maintenant on va d caler tout vers la gauche de la longueur d une p riode, donc ici on multiplie encore par10 000pour d caler de 4 chiffres :10 000 100x=1234 2021, 2021.

6 (2)Les parties apr s la virgule des deux lignes(1)et(2)sont les m mes, donc si on les soustrait en faisant(2)-(1)alorsles parties d cimales s annulent :10 000 100x 100x=12 342 021 1234donc 999 900x=12 340 787 doncx=12 340 787999 donc bien s rx est pas un nombre rationnelIl existe des nombres qui ne sont pas rationnels, lesirrationnels. Les nombres irrationnels apparaissent naturellementdans les figures g om triques : par exemple la diagonale d un carr de c t 1 est le nombre irrationnelp2; lacirconf rence d un cercle de rayon12est qui est galement un nombre irrationnel. Enfine=exp(1)est 12 Nous allons prouver quep2 n est pas un nombre nombres R ELS1.

7 L ENSEMBLE DES nombres RATIONNELSQ3 Proposition QD l absurde supposons quep2 soit un nombre rationnel. Alors il existe des entiersp Zetq N tels quep2=pq, de plus ce sera important pour la suite on suppose quepetqsont premiers entre eux (c est- -direque la fractionpqest sous une criture irr ductible).En levant au carr , l galit p2=pqdevient2q2=p2. Cette derni re galit est une galit d entiers. L entier degauche est pair, donc on en d duit quep2est pair ; en terme de divisibilit 2 si2 divisep2alors2 divisep(cela se prouve par facilement l absurde). Donc il existe un entierp Ztel quep=2p.

8 Repartons de l galit 2q2=p2et rempla onsppar2p . Cela donne2q2=4p 2. Doncq2=2p 2. Maintenant celaentra ne que 2 diviseq2et comme avant alors 2 avons prouv que2 divise la foispetq. Cela rentre en contradiction avec le fait quepetqsont premiers entreeux. Notre hypoth se de d part est donc fausse :p2 n est pas un nombre ce r sultat est important en voici une deuxi me d monstration, assez diff rente, mais toujours par l d l absurde, supposonsp2=pq, doncqp2=p N. Consid rons l ensembleN= n N |np2 N .Cet ensemble n est pas vide car on vient de voir queqp2=p Ndoncq N. AinsiNest une partie non vide deN,elle admet donc un plus petit l mentn0= n0=n0(p2 1),il d coule de cette derni re galit et de 1<p2<2 que 0<n1< plusn1p2=(n0p2 n0)p2=2n0 n0p2 N.

9 Doncn1 Netn1<n0: on vient de trouver un l mentn1deNstrictement plus petit quen0qui tait le minimum. C est une hypoth se de d part est fausse, doncp2/ quep10/ repr sente souvent les nombres r els sur une droite num rique : 3 2 1012345 ep2Il est bon de conna tre les premi res d cimales de certains r elsp2'1,4142.. '3,14159265..e'2,718..Il est souvent pratique de rajouter les deux extr mit s la droite num finition { , } que la somme de deux rationnels est un rationnel. Montrer que le produit de deux rationnels est unrationnel. Montrer que l inverse d un rationnel non nul est un rationnel.

10 Qu en est-il pour les irrationnels ?2. crire les nombres suivants sous forme d une fraction : 0, 1212 ; 0, 12 12 .. ; 78, 33 456 456 ..3. Sachantp2/ Q, montrer 2 3p2/ Q, 1 1p2/ ensemble des nombres de la formea2naveca Zetn N. Montrer que13/ D. Trouverx Dtelque 1234<x<1234, Montrer quep2p3/ Montrer que log 2/ Q(log 2 est le logarithme d cimal de 2 : c est le nombre r el tel que 10log 2=2).LES nombres R ELS2. PROPRI T S DER42. Propri t s Addition et multiplicationCe sont les propri t s que vous avez toujours pratiqu es. Poura,b,c Ron a :a+b=b+aa b=b a0+a=a1 a=asia6=0a+b=0 a= ba b=1 a=1b(a+b)+c=a+(b+c)(a b) c=a (b c)a (b+c)=a b+a ca b=0 (a=0 oub=0)On r sume toutes ces propri t s en disant que :Propri t (R1).