Exo7 - Cours de mathématiques

1 courbes param tr esVid o partie 1. Notions de baseVid o partie 2. Tangente une courbe param tr eVid o partie 3. Points singuliers Branches infiniesVid o partie 4. Plan d' tude d'une courbe param tr eVid o partie 5. courbes en polaires : th orieVid o partie 6. courbes en polaires : exemplesFiche d'exercices courbes planesDans ce chapitre nous allons voir les propri t s fondamentales des courbes param tr es.

2 Commen ons par pr senterune courbe particuli rement int ressante. Lacyclo deest la courbe que parcourt un point choisi de la roue d un v lo,lorsque le v lo avance. Les coordonn es(x,y)de ce pointMvarient en fonction du temps : x(t)=r(t sint)y(t)=r(1 cost)o rest le rayon de la cyclo de a des propri t s remarquables. Par exemple, la cyclo de renvers e est une courbebrachistochrone: c est- -dire que c est la courbe qui permet une bille d arriver le plus vite possible d un pointA un pointB. Contrairement ce que l on pourrait croire ce n est pas une ligne droite, mais bel et bien la cyclo de. Sur le dessin suivant les deuxbilles sont l ch es enA l instantt0, l une sur le segment[AB]; elle aura donc une acc l ration constante. La secondeparcourt la cyclo de renvers e, ayant une tangente verticale enAet passant parB.

3 La bille acc l re beaucoup au d butet elle atteintBbien avant l autre bille ( l instantt4sur le dessin). Notez que la bille passe m me par des positionsen-dessous deB(par exemple ent3).ABt1t1t2t2t3t3t4t4 courbes PARAM TR ES1. NOTIONS DE BASE21. Notions de D finition d une courbe param tr eD finition param tr e planeest une applicationf:D R R2t7 f(t)d un , unecourbe param tr eest une application qui, un r elt(leparam tre), associeun pointdu plan. On parleaussi d arc param tr . On peut aussi la noterf:D R R2t7 M(t)ou crire en abr g t7 M(t)out7 x(t)y(t) .Enfin en identifiantCavecR2, on note aussit7 z(t)=x(t)+iy(t)avec l identification usuelle entre le pointM(t)= x(t)y(t) et son affixez(t)=x(t)+iy(t).xyx(t)y(t)M(t)= x(t),y(t) Par la suite, une courbe sera fr quemment d crite de mani re tr s synth tique sous une forme du type x(t)=3 lnty(t)=2t2+1,t ]0,+ [ouz(t)=eit,t [0, 2 ].

4 Il faut comprendre quexetyd signent des fonctions deDdansRou quezd signe une fonction deDdansC. Nousconnaissons d j des exemples de param 1. t7 (cost, sint),t [0, 2 [: une param trisation du cercle trigonom trique. t7 (2t 3,3t+1),t R: une param trisation de la droite passant par le pointA( 3,1)et de vecteur directeur~u(2, 3). 7 (1 )xA+ xB,(1 )yA+ yB , [0, 1]: une param trisation du segment[AB]. Sifest une fonction d un domaineDdeR valeurs dansR, une param trisation du graphe def, c est- -dire dela courbe d quationy=f(x), est x(t)=ty(t)=f(t).xyM(t)costsintM(0)M( 2)M( )M(3 2)xy~uAM(0)M(1)M(2)M( 1) courbes PARAM TR ES1. NOTIONS DE BASE3xyABM(0)M(1)M( )xyx(t)=ty(t)=f(t)M(t)Il est important de comprendre qu une courbe param tr e ne se r duit pas au dessin, malgr le vocabulaire utilis ,mais c est bel et bienune application.]]

5 Le graphe de la courbe porte le nom suivant :D finition d une courbe param tr ef:D R R2t7 f(t)est l ensemble des pointsM(t)o td anmoins par la suite, quand cela ne pose pas de probl me, nous identifierons ces deux notions en employant lemotcourbepour d signer indiff remment la fois l application et son graphe. Des courbes param tr es diff rentespeuvent avoir un m me support. C est par exemple le cas des courbes :[0, 2 [ R2t7 (cost, sint)et[0, 4 [ R2t7 (cost, sint)dont le support est un cercle, parcouru une seule fois pour la premi re param trisation et deux fois pour l autre (figurede gauche).M(t)costsintM(t)( 1, 0)1 t21+t22t1+t2 Plus surprenant, la courbet7 1 t21+t2,2t1+t2 ,t R,est une param trisation du cercle priv du point( 1,0), avec des coordonn es qui sont des fractions rationnelles(figure de droite).]]]]

6 Ainsi, la seule donn e du support ne suffit pas d finir un arc param tr , qui est donc plus qu un simple dessin. C estunecourbe munie d un mode de parcours. Sur cette courbe, on avance mais on peut revenir en arri re, on peut laparcourir une ou plusieurs fois, au gr du param tre, celui-ci n tant d ailleurs jamais visible sur le dessin. On voit x(t),y(t), mais tation cin cin matique est l tude des mouvements. Le param trets interpr te comme affine alors le vocabulaire : la courbe param tr e s appelle plut tpoint en mouvementet le support de cette courbeporte le nom detrajectoire. Dans ce cas, on peut dire queM(t)est lapositiondu pointM l instant R duction du domaine d tudeRappelons tout d abord l effet de quelques transformations g om triques usuelles sur le pointM(x,y)(xetyd signantles coordonn es deMdans un rep re orthonorm (O,~i,~j)donn ).

7 Translation de vecteur~u(a,b):t~u(M)=(x+a,y+b). R flexion d axe(O x):s(O x)(M)=(x, y). courbes PARAM TR ES1. NOTIONS DE BASE4 R flexion d axe(O y):s(O y)(M)=( x,y). Sym trie centrale de centreO:sO(M)=( x, y). Sym trie centrale de centreI(a,b):sI(M)=(2a x, 2b y). R flexion d axe la droite(D)d quationy=x:sD(M)=(y,x). R flexion d axe la droite(D )d quationy= x:sD (M)=( y, x). Rotation d angle 2autour deO: rotO, /2(M)=( y,x). Rotation d angle 2autour deO: rotO, /2(M)=(y, x).Voici la repr sentation graphique de quelques-unes de ces (x,y)t~u(M)=(x+a,y+b)O~uxyM=(x,y)s(O x)(M)=(x, y)OxyM=(x,y)sO(M)=( x, y)OxyM=(x,y)rotO, /2(M)=( y,x) 2 OOn utilise ces transformations pour r duire le domaine d tude d une courbe param tr e. Nous le ferons traversquatre terminer un domaine d tude le plus simple possible de la courbe x(t)=t 32sinty(t)=1 R,M(t+2 )= t+2 32sin(t+2 ), 1 32cos(t+2 ) =(t 32sint, 1 32cost)+(2 , 0)=t~u M(t) o ~u=(2 ,0).

8 Donc, on tudie l arc et on en trace le support sur un intervalle de longueur2 au choix, comme[ , ]par exemple, puis on obtient la courbe compl te par translations de vecteursk (2 , 0)=(2k , 0),k [ , ],M( t)= (t 32sint), 1 32cost =s(O y) M(t) .On tudie la courbe et on en trace le support sur[0, ](premi re figure), ensuite on effectue la r flexion d axe(O y)(deuxi me figure), puis on obtient la courbe compl te par translations de vecteursk~u,k Z(troisi me figure).xyxyxyCOURBES PARAM TR ES1. NOTIONS DE BASE5 Exemple terminer un domaine d tude le plus simple possible d unecourbe de Lissajous x(t)=sin(2t)y(t)=sin(3t)Solution. Pourt R,M(t+2 )=M(t)et on obtient la courbe compl te quandtd crit[ , ]. Pourt [ , ],M( t)= sin(2t), sin(3t) =sO M(t) . On tudie et on construit la courbe pourt [0, ],puis on obtient la courbe compl te par sym trie centrale de centreO.

9 Pourt [0, ],M( t)= sin(2 2t), sin(3 3t) = sin( 2t), sin( 3t) = sin(2t), sin(3t) =s(O y) M(t) . On tudie et on construit la courbe pourt [0, 2](premi re figure), on effectue la r flexion d axe(O y)(deuxi me figure), puis on obtient la courbe compl te par sym trie centrale de centreO(troisi me figure).xyxyxyExemple terminer un domaine d tude le plus simple possible de l arc x(t)=t1+t4y(t)=t31+t4 Indication : on pourra, entre autres, consid rer la transformationt7 1 tout r elt,M(t)est bien d fini. Pourt R,M( t)=sO M(t) . On tudie et on construit l arc quandtd crit[0,+ [, puis on obtient la courbecompl te par sym trie centrale de centreO. Pourt ]0,+ [,M 1t = 1/t1+1/t4,1/t31+1/t4 = t31+t4,t1+t4 = y(t),x(t) =s(y=x) M(t) .Autrement dit,M(t2)=s(y=x) M(t1) avect2=1/t1, et sit1 ]0,1]alorst2 [1,+ [.]]

10 Puisque la fonctiont7 1tr alise une bijection de[1,+ [sur]0,1], alors on tudie et on construit la courbe quandtd crit]0,1](premi re figure), puis on effectue la r flexion d axe la premi re bissectrice (deuxi me figure) puis on obtient lacourbe compl te par sym trie centrale de centreOet enfin en pla ant le pointM(0)=(0, 0)(troisi me figure).xyxyxyExemple terminer un domaine d tude le plus simple possible de l arcz=13 2eit+e 2 it . En calculantz(t+2 3), trouverune transformation g om trique simple laissant la courbe globalement Pourt R,z(t+2 )=13 2ei(t+2 )+e 2 i(t+2 ) =13 2eit+e 2 it =z(t). La courbe compl te est obtenue quandtd crit[ , ]. courbes PARAM TR ES1. NOTIONS DE BASE6 Pourt [ , ],z( t)=13 2e it+e2 it =13(2eit+e 2 it)=z(t). Donc, on tudie et on construit la courbequandtd crit[0, ], la courbe compl te tant alors obtenue par r flexion d axe(O x)(qui correspond laconjugaison).