Propriétés de R - Exo7

1 Exo7 Propri t s deR1 Les rationnelsQExercice 11. D montrer que sir Qetx/ Qalorsr+x/ Qet sir6=0 Montrer que 26 Q,3. En d duire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre o [000451]Exercice 2 Montrer queln 3ln 2est o [000461]Exercice 31. SoitNn=0,1997 (nfois). MettreNnsous la formepqavecp,q N .2. SoitM=0,1997 1997 le rationnel dont l criture d cimale M me question avec :P=0, +0, +0, +0, +0, +0, +0, +0, +0, o [000459]Exercice 4 Soitp(x) = ni=0ai xi. On suppose que tous lesaisont des Montrer que sipa une racine rationnelle (avec et premiers entre eux) alors divisea0et On consid re le nombre 2+ 3.

2 En calculant son carr , montrer que ce carr est racine d un polyn mede degr 2. En d duire, l aide du r sultat pr c dent qu il n est pas o [000457]2 Maximum, minimum, borne sup 5Le maximum de deux nombresx,y(c est- -dire le plus grand des deux) est not max(x,y). De m me on noteramin(x,y)le plus petit des deux nombresx,y. D montrer que :max(x,y) =x+y+|x y|2etmin(x,y) =x+y |x y| une formule pour max(x,y,z).IndicationHCorrectionHVid o [000464]Exercice 6D terminer la borne sup rieure et inf rieure (si elles existent) de :A={un|n N}en posantun=2nsinestpair etun=2 o [000465]Exercice 7D terminer (s ils existent) : les majorants, les minorants, la borne sup rieure, la borne inf rieure, le plus grand l ment, le plus petit l ment des ensembles suivants :[0,1] Q,]0,1[ Q,N,{( 1)n+1n2|n N }.

3 CorrectionHVid o [000466]Exercice 8 SoientAetBdeux parties born es deR. On noteA+B={a+b|(a,b) A B}.1. Montrer que supA+supBest un majorant deA+ Montrer que sup(A+B) =supA+ o [000476]Exercice 9 SoitAetBdeux parties born es B supA6supB, B infA6infB,3. sup(A B) =max(supA,supB),4. sup(A+B)<supA+supB,5. sup( A) = infA,6. supA+infB6sup(A+B).IndicationHCorrection HVid o [000477]3 DiversExercice 10 Soitxun r Donner l encadrement qui d finit la partie enti reE(x).2. Soit(un)n N la suite d finie parun=E(x)+E(2x)+..+E(nx) un encadrement simple den2 un, qui utilise nk= En d duire que(un)converge et calculer sa En d duire queQest dense o [005982]Exercice 11 Soitf:R Rtelle que (x,y) R2f(x+y) =f(x)+f(y).

4 Montrer que1. n Nf(n) =n f(1).2. n Zf(n) =n f(1).3. q Qf(q) =q f(1).4. x Rf(x) =x f(1)sifest o [000497]3 Indication pour l exercice 1N1. Raisonner par l Raisonner par l absurde en crivant 2=pqavecpetqpremiers entre eux. Ensuite plusieurs m thodessont possibles par exemple essayer de montrer quepetqsont tous les deux Consid rerr+ 22(r r)(faites un dessin !) pour deux rationnelsr,r . Puis utiliser les deux questionspr c pour l exercice 2 NRaisonner par l absurde !Indication pour l exercice 3N1. MutiplierNnpar une puissance de 10 suffisament grande pour obtenir un nombre MutiplierMpar une puissance de 10 suffisament grande (pas trop grande) puis soustraireMpour obtenirun nombre pour l exercice 4N1.

5 Calculer np( )et utiliser le lemme de Utiliser la premi re question avecp(x) = (x2 5)2 pour l exercice 5 NDistinguer des pour l exercice 6 NinfA=0,An a pas de borne sup pour l exercice 8 NIl faut revenir la d finition de la borne sup rieure d un ensemble born : c est le plus petit des majorants. Enparticulier la borne sup rieure est un pour l exercice 9 NDeux propositions sont pour l exercice 10N1. Rappelez-vous que la partie enti re dexest le plus grand entier, inf rieur ou gal x. Mais il est icipr f rable de donner la d finition deE(x)en disant queE(x) Zet quexv rifie un certain EncadrerE(kx), pourk=1.

6 , Rappelez-vous d abord de la formule 1+2+ +npuis utilisez le fameux th or me des Lesunne seraient-ils pas des rationnels ?4 Indication pour l exercice (2) =f(1+1) = , faire une r (( n)+n) = .3. Siq=ab, calculerf(ab+ab+ +ab)avecbtermes dans cette Utiliser la densit deQdansR: pourx Rfix , prendre une suite de rationnels qui croit versx, et uneautre qui d croit de l exercice 1N1. Soitr=pq Qetx/ Q. Par l absurde supposons quer+x Qalors il existe deux entiersp ,q tels quer+x=p q . Doncx=p q pq=qp pq qq Qce qui est absurde carx/ la m me fa on sir x Qalorsr x=p q Et doncx=p q qp. Ce qui est thode classique.

7 Supposons, par l absurde, que 2 Qalors il existe deux entiersp,qtels que 2=pq. De plus nous pouvons supposer que la fraction est irr ductible (petqsont premiers entre eux).En levant l galit au carr nous obtenonsq2 2=p2. Doncp2est un nombre pair, cela implique quepest un nombre pair (si vous n tes pas convaincu crivez la contrapos e pimpair p2impair ). Doncp=2 p avecp N, d o p2=4 p 2. Nous obtenonsq2=2 p 2. Nous en d duisons maintenantqueq2est pair et comme ci-dessus queqest pair. Nous obtenons ainsi une contradiction carpetq tanttous les deux pairs la fractionpqn est pas irr ductible et aurait pu tre simplifi e.

8 Donc 2/ m par l absurde que 2 Q. Alors 2=pqpour deux entiersp,q N . Alorsnous avonsq 2 N. Consid rons l ensemble suivant :N={n N |n 2 N}.Cet ensembleNest une partie deN qui est non vide carq N. On peut alors prendre le plus petit l ment deN:n0=minN. En particuliern0 2 N. D finissons maintenantn1de la fa on suivante:n1=n0 2 n0. Il se trouve quen1appartient aussi Ncar d une partn1 N(carn0etn0 2 sontdes entiers) et d autre partn1 2=n0 2 n0 2 N. Montrons maintenant quen1est plus petit quen0. Comme 0< 2 1<1 alorsn1=n0( 2 1)<n0et est non : nous avons trouv n1 Nstrictement plus petit quen0=minN. Ceci fournit une : 2 n est pas un nombre Soientr,r deux rationnels avecr<r.

9 Notonsx=r+ 22(r r). D une partx ]r,r [(car 0< 22<1)et d apr s les deux premi res questions 2(r r2)/ Qdoncx/ Q. Et doncxest un nombre irrationnelcompris entreretr .Correction de l exercice 2 NPar l absurde supposons queln 3ln 2soit un rationnel. Il s crit alorspqavecp>0,q>0 des entiers. On obtientqln 3=pln 2. En prenant l exponentielle nous obtenons : exp(qln 3) =exp(pln 2)soit 3q=2p. Sip>1 alors2 divise 3qdonc 2 divise 3, ce qui est absurde. Doncp=0. Ceci nous conduit l galit 3q=1, doncq= seule solution possible estp=0,q=0. Ce qui contreditq6=0. Doncln 3ln 2est de l exercice 3N1. Soitp=1997 etq=1 0000 AlorsNn= Remarquons que 10 000 M=1997,1997 10 000 M M=1997 ; donc 9999 M=1997 d o M= 0, , 0, , etc.

10 D o P=19+29+ +99=1+2+ +99=459= de l exercice 4N61. Soit Qavec pgcd( , ) =1. Pourp( ) =0, alors ni=0ai( )i=0. Apr s multiplication par nnous obtenons l galit suivante :an n+an 1 n 1 + +a1 n 1+a0 n= factorisant tous les termes de cette somme sauf le premier par , nous crivonsan n+ q=0. Cecientra ne que divisean n, mais comme et nsont premier entre eux alors par le lemme de Gauss divisean. De m me en factorisant par tous les termes de la somme ci-dessus, sauf le dernier, nousobtenons q +a0 n=0 et par un raisonnement similaire Notons = 2+ 3. Alors 2=5+2 2 3 Et donc( 2 5)2=4 2 3, Nous choisissonsp(x) =(x2 5)2 24, qui s crit aussip(x) =x4 10x2+1.