OBMEP 2005 - Soluções do nível 2 (7ª a 8ª série do Ensino ...

1 OBMEP 2005 - Solu es do n vel 2 (7 a 8 s rie do Ensino Fundamental) 1a FASE1. (alternativa B)Por leitura direta da figura, vemos que uma extremidade do selo est na marca de 20 cm e a outra na marca de 16,6 cm. Ocomprimento do selo a diferen a entre estes dois valores, ou seja, 20 16,6 = 20,0 16,6 = 3,4 (alternativa E)Os desenhos abaixo mostram como juntar as duas pe as para obter as alternativas (A), (B), (C) e (D). Apenas a alternativa (E)n o pode ser obtida juntando as duas pe as, como se pode verificar diretamente por tentativas.( A) (B) (C) (D)3. (alternativa D)As figuras mostram que o tanque de gasolina do carro continha 3/4 de sua capacidade no momento de partida e 1/4 nomomento de chegada. Deste modo, Jo o gastou 3/4 1/4 = 1/2 do tanque na viagem. Como o tanque tem capacidade para 50litros, isto quer dizer que Jo o gastou 50 x 1/2 = 25 litros de gasolina na viagem.

2 Note que esta ltima conta pode ser pensadacomo Jo o gastou meio tanque de gasolina e a metade de 50 25 .4. (alternativa D)Se n o menor destes n meros ent o os outros dois s o n + 1 e n + 2 . A soma dos tr s n meros n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 90, donde 3n = 87 e segue que n = 29. Logo os n meros s o 29, 30 e 31 e o maior (alternativa C)Como h 22 times no campeonato e cada time s n o enfrenta a si pr prio, ent o ele joga 21 vezes (com os outros 21 times)em seu campo e mais 21 vezes nos campos dos advers rios. No total cada time disputa 21 + 21 = 42 (alternativa E)Como o time disputou 20 jogos, venceu 8 e perdeu 8, o n mero de empates : 20 8 8 = 4 . Logo, o time obteve 8 x 3 = 24 pontos comas vit rias e 4 x 1 = 4 pontos com os empates. Portanto, o time obteve 24 + 4 = 28 pontos (o time n o ganha pontos quando perde).7. (alternativa C)Inicialmente a quantia de 200 reais deveria ser dividida igualmente entre as 20 pessoas e assim cada uma deveria pagar200 10 = 20 reais.

3 De acordo com o enunciado, a quantia paga por cada pessoa que participou do passeio foi 10 + 15 = 25reais. Logo, participaram do passeio, 200 25 = 8 pessoas, e conclu mos que 20 8 = 12 pessoas desistiram do (alternativa D)Os m ltiplos de 3 maiores do que 1 e menores do que 2005 s o os n meros 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, .., 3 x n onde 3 x n o maiorm ltiplo de 3 menor do que 2005. Usando o algoritmo da divis o, podemos escrever 2005 = 3 x 668 + 1 e segue que n = (alternativa A)Os n meros nos bilhetes comprados por Marcelo s o da forma 777X, 77X7, 7X77 ou X777, onde X representa algum dos oitoalgarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9. Em cada um desses casos, h 8 possibilidades para os n meros dos bilhetes. Por exemplo,no primeiro caso, temos os seguintes oito n meros: 7771, 7772, 7773, 7774, 7775, 7776, 7778 e 7779. Portanto, o n mero debilhetes comprados por Marcelo 4 x 8 = (alternativa E) s 12h 30min o ponteiro dos minutos deu meia volta no rel gio a partir do n mero 12 do mostrador, ou seja, percorreu360 2 = 180.

4 Os n meros 1, 2, 3, .. ,12 do mostrador do rel gio dividem a circunfer ncia em doze ngulos iguais, cada umcom 360 12 = 30 . Logo, a cada hora, o ponteiro das horas (o menor) percorre um ngulo de 30 ; em meia-hora este ponteiropercorre ent o 30 2 = 15 . Logo, o ngulo formado pelos dois ponteiros 180 15 = 165 .11. (alternativa C)As amostras cujo percentual de lcool maior que o de gasolina s o aquelas que cont m mais de 50% de lcool. No gr fico, estasamostras correspondem quelas cuja barra horizontal ultrapassa a marca de 50%, que s o as amostras 1, 2 e (alternativa E)Se denotarmos por x o n mero de bolas azuis, ent o o n mero de bolas brancas 2x . Al m disso temos x + 10 = 2x 10 = y, ondey denota o n mero de bolas verdes. De x + 10 = 2x 10 obtemos x = 20, donde y = 20 +10 =30. Portanto temos 20 bolas brancas,40 bolas azuis e 30 bolas verdes. Assim, no total h 20 + 40 + 30 = 90 bolas na (alternativa B)Observe a figura, onde x indica o n mero da cadeira oposta cadeira de n mero as 100 cadeiras est o regularmente espa adas, nos espa os entre ascadeiras 27 e x est o as outras 98 cadeiras; assim, em cada um destesespa os, temos 49 cadeiras.

5 Logo o n mero da cadeira x 27 + 49 +1 = cadeiras 14. (alternativa B)Abaixo est o indicadas as 4 figuras que possuem um ou mais eixos de (alternativa A)A soma dos tr s ngulos internos de um tri ngulo 180 . Como o ngulo do tri ngulo ABC mede 30o, a soma dos ngulosABC e ACB 180 30 = 150 . Por outro lado, como o tri ngulo is sceles de base BC, os ngulos ABC e ACB s o iguais,logo cada um deles mede 150 2 = 75 . Como o tri ngulo BCD is sceles de base BD, temos BDC = CBD = 75 . O mesmoracioc nio usado acima mostra que DCB = 180 2 x 75 = 30 . Segue que DCA = ACB DCB = 75 30 = 45 .16. (alternativa D)Como o padr o de distribui o dos n meros pelas colunas se repete de 15em 15, na coluna E estar o os m ltiplos de 15. O algoritmo da divis o nosdiz que 2005 = 133 x 15 + 10 = 1995 + 10. Logo 1995 ocupar a coluna E, epara alcan armos 2005 faltam mais 10 n meros (de 1996 a 2005) paraserem colocados na tabela.

6 Colocando esses n meros na tabela de acordocom o padr o, verificamos que 2005 ocupar a coluna (alternativa E)Denotemos por a, b e l os pesos do abacate, da banana e da laranja respectivamente. Do enunciado temos 4a = 9b e 3b = 4a = 3 x 3b = 3 x 2/ = 6/. Segue que 2a = 3/ e da 6a = 9/.18. (alternativa B)No primeiro m s foi constru do 1/3 da escola, restando assim 1 1/3 = 2/3 da escola para serem constru dos. Logo, nosegundo m s foi constru do 1/3 dos 2/3 restantes, isto , 1/3 x 2/3 = 2/9 da escola. Portanto, nos dois meses foram constru dos1/3 + 2/9 = 5/9 da escola, e falta construir 1 5/9 = 4/9 da (alternativa A)A rea pedida igual rea do pol gono ABCDEF menos a soma das reas dostri ngulos ret ngulos AEF e DEG. A rea do tri ngulo AEF = = 3 agora calcular a rea do tri ngulo DEG. Para calcular DE prolongamos EF at o ponto H, obtendo assim os ret ngulos ABHF e CDEH. Como os lados opostos deum ret ngulo s o iguais, segue que DE = CH = CB BH = 6 AF = 6 3 = os lados AF e DE s o paralelos, ent o E F = G D.

7 Al m disso AF = ED,logo os tri ngulos AEF e DEG s o congruentes (caso ALA) e portanto, t m a mesma rea. A rea do ret ngulo ABHF AD x AF = 8 x 3 = 24 cm2, e a do ret nguloCDEH DE x CD = 3 x (AB EF) = 3x(8 2) = 18 cm2 . Portanto a rea procurada 24 + 18 2 x 3 = 36 cm2. Alternativamente, a rea do trap zio ABCG cuja altura BC = 6 e cuja as bases s o AB = 8 e CG = CD GD = 6 2 = 4 pode ser calculadadiretamente. Portanto a rea x 6 = 36 (alternativa E)Acompanhe a solu o com a ajuda da figura a seguir, que ilustra as afirmativas de Regina, Paulo e Iracema.(i) Se Regina est certa, ent o Paulo e Iracema est o errados. Os n meros que satisfazem a afirma o de Regina mas n o satisfazema afirma o de Paulo s o 101, 102, 103, 104 e 105; note que estes n meros tamb m n o satisfazem a afirma o de Iracema. Nestecaso temos 5 possibilidades para o n mero de bolas na caixa. (ii) Se Paulo est certo, ent o Regina e Iracema est o erradas.

8 O nicon mero que satisfaz as op es de Paulo e n o satisfaz as de Regina e Iracema 120. Aqui, temos apenas uma possibilidade para on mero de bolas na caixa. (iii) Se Iracema est certa, ent o Paulo e Regina est o errados. Os n meros que satisfazem a afirma o deIracema mas n o satisfazem a afirma o de Paulo s o 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138 e 139; note que estes n merostamb m n o satisfazem a afirma o de Regina. Neste caso, temos 10 possibilidades para o n mero de bolas na caixa. Finalmente, on mero total de possibilidades a soma do n mero de possibilidades nos casos (i), (ii) e (iii), que 5+1+10=16. 86F2B3 DGCEHAAF x EF23 x 22119100 ReginaPauloIracema1011061201211291391408 + 42 ABCDE19951996199719981999200020012002200 320042005