Lineare Algebra - Lehrkörper / Mitarbeiter

1 Lineare Algebra Martin Ziegler Freiburg WS 11/12, SS 121 2. 1. version15-1-g93e8913, Mon Oct 15 22:27:44 2018 +0200. 2. Ich danke Heike Mildenberger, Enrique Casanovas und Christina Pflanz f r eine kritische Durchsicht. Inhaltsverzeichnis 1 Der n-dimensionale euklidische Raum 1. Lineare Gleichungen .. 1. Der Rn .. 7. Geraden und Ebenen .. 8. Das Skalarprodukt .. 9. Lineare Abbildungen .. 11. 2 Vektorr ume 17. Gruppen .. 17. R Vektorr ume .. 23. Endlichdimensionale Vektorr ume .. 25. Unendlichdimensionale Vektorr ume .. 30. Der Verband der Unterr ume.

2 32. K rper .. 36. 3 Lineare Abbildungen 41. Der Noethersche Isomorphiesatz .. 41. Die Lineare Gruppe .. 45. Basiswechsel .. 48. i 4 Determinanten 52. Die Signatur einer Permutation .. 52. k Formen .. 55. Determinanten .. 57. Der Laplacesche Entwicklungssatz .. 62. Geometrische Interpretation .. 64. 5 Endomorphismen 67. Diagonalisierbare Endomorphismen .. 67. Das charakteristische Polynom .. 70. Zerlegung in Hauptr ume .. 76. Die Jordansche Normalform .. 79. 6 Dualit t 84. Der Dualraum .. 84. Duale Abbildungen .. 86. Duale Paare .. 90.

3 7 Symmetrische Bilinearformen 94. Bilinearformen .. 94. Symmetrische Bilinearformen .. 95. Euklidische R ume .. 98. Die Hauptachsentransformation .. 103. Unit re R ume .. 111. 8 Multilineare Algebra 118. ii Tensorprodukt .. 118. Tensorprodukt und Dualit t .. 124. Die u ere Algebra .. 126. u ere Algebra und Dualit t .. 133. Die u ere Algebra eines euklidischen Raumes .. 135. Index 138. iii Kapitel 1. Der n-dimensionale euklidische Raum Lineare Gleichungen Eine Lineare Gleichung ( ber R) ist ein Ausdruck der Form 1 x1 + .. + n xn = , f r reelle Zahlen i und.

4 Eine L sung ist ein n-Tupel ( 1 , .. , n ). von reellen Zahlen, das die Gleichung erf llt. Ein lineares Gleichungssystem G (in n Variablen) ist ein System 11 x1 + + 1n xn = 1.. m1 x1 + + mn xn = m von linearen Gleichungen. In Kurzform n X. ij xj = i (i = 1, .. , m). j=1. Die L sungsmenge von G ist n X. L(G) = ( 1 , .. , n ) 1 , .. n R, ij j = i (i = 1, .. , m). j=1. 1. , Das System A der i,j hei t die Matrix von G Die Spalte der i ist die rechte Seite von G. m ist die Zahl der Zeilen von A, n die Zahl der Spalten. 1. Ein Gleichungssystem hei t homogen, wenn seine rechte Seite Null ist und qua- dratisch, wenn seine Matrix quadratisch ist, also wenn m = n.

5 Ein Gleichungssystem G ist in Normalform, wenn es die Gestalt x1 + 1,k+1 xk+1 + 1,n xn = 1. x2 + 2,k+1 xk+1 + 2,n xn = 2.. xk + k,k+1 xk+1 + k,n xn = k 0 = k+1.. 0 = m hat. k hei t der Rang von G. Beachte, da 0 k min(m, n). In Normalform zu sein und der Rang sind Eigenschaften der Matrix von G. G ist genau dann l sbar, wenn k+1 = .. = m = 0. Um die L sungsgesamtheit zu bestimmen, gibt man sich k+1 , .. , n beliebig vor und w hlt die 1 , .. , k so, da . X n i + i,j j = i j=k+1. f r i = 1, .. , k. Die L sungsmenge n n n X X o 1 1,j j.

6 , k k,j j , k+1 , .. , n k+1 , .. , n R. j=k+1 j=k+1. ist also (n k)-parametrig. Lemma Sei A eine Matrix in Normalform mit m Zeilen, n Spalten und Rang k. Dann ist k = n genau dann, wenn alle Gleichungssysteme mit Matrix A h chsten eine L sung haben. Und es ist k = m genau dann, wenn alle Gleichungssystem mit Matrix A l sbar sind. Beweis. Klar. Eine Zeilenoperation macht aus G ein neues Gleichungssystem durch Multipli- kation der i ten Zeile mit einer Zahl 6= 0 oder durch Addieren des fachen 1iist der Zeilenindex, j der Spaltenindex 2.

7 Wenn keine Mi verst ndnisse entstehen k nnen, lassen wir das Komma weg: ij . 2 In einer fr heren Version wurde das verwechselt. Ich danke S. Stroppel f r den Hinweis. 2. der i ten Zeile zur i0 ten Zeile (i 6= i0 ). Wir bezeichnen diese Operation mit Z i 1. bzw. Z i,i0 . Zeilenoperationen sind umkehrbar: Z i ist die Umkehrung von Z i . und Zi,i0 die Umkehrung von Zi,i0 . Lemma Ein Gleichungssystem G0 , das aus G durch Zeilenoperationen hervorgeht, hat die gleichen L sungen wie G. Beweis. F r die Operation Z i sieht man das zum Beispiel so: Sei 1 x1 +.

8 + n xn = b die i te Zeile des Gleichungssystems. ( 1 , .. , n ) ist genau dann eine L sung dieser Gleichung, wenn 1 1 + .. + n n = b. Das ist genau dann der Fall, wenn ( 1 1 + .. + n n ) = ( 1 ) 1 + .. + ( n ) n = b, das hei t, wenn ( 1 , .. , n ) eine L sung der Gleichung ( 1 )x1 + .. + ( n )xn = b ist. Satz Jedes Lineare Gleichungssystem l t sich durch Zeilenoperationen und Vertauschung von Variablen ( von Spalten der Matrix) in Normalform bringen. Die Matrix A0 der Normalform h ngt nur von der Matrix A des Gleichungssy- stems ab. Wir nennen A0 eine Normalform von A.

9 Beweis: Wir berlegen uns zuerst, da man durch vier Zeilenoperationen zwei Zeilen vertauschen kann. Denn sei zum Beispiel a die erste Zeile und b die zweite Zeile des Gleichungssystems. Nach Anwendung der Operationen Z11,2 , Z 1 1. 2,1 , Z1,2 , 1. Z1 sind a und b vertauscht: a a b b b . b a+b a+b a a Schritt 1: Wenn alle Koeffizienten der Matrix des Gleichungssystems gleich Null sind, hat das Gleichungssystems bereits Normalform mit Rang k = 0. Wenn es einen nichtverschwindenden Koeffizienten gibt, k nnen wir durch Zei- 1. len und Spaltenvertauschung erreichen, da 1,1 6= 0.

10 Nach Z1 1,1 ist 1,1 = 1. (Man beachte, da sich die Bedeutung der i,j ge ndert hat.) Dann wenden wir . Z1,2 2,1 ,.. , Z1,mm,1 an und haben 2,1 = .. = m,1 = 0. 3. Wir notieren die so erreichte Gleichung durch . 1 1,2 1,n 1. 0 2,2 2,n 2 .. 0 m,2 m,n m Schritt 2: Wenn i,j = 0 f r alle i, j 2 sind wir fertig. Das Gleichungssystems hat Normalform mit Rang k = 1. Wenn i,j 6= 0, f r zwei Indizes 2, vertauschen wir die 2 te Zeile mit der i ten Zeile und die 2 te Spalte mit der j ten Spalte und erreichen 2,2 6= 0. 1. Nach Z2 2,2 ist 2,2 = 1.. Schlie lich wenden wir Z2,1 1,2 , Z2,3 3,2.