Versuchsplanung - DoE

1 Versuchsplanung - DoE. Einf hrung Voraussetzung und verwandte Themen F r diese Beschreibungen sind Grundlagen der Statistik vorteilhaft. Weiterf hrende und ver- wandte Themen sind: Stichworte: Statistische Versuchsplanung DoE Vollfaktoriell Taguchi - DSD . Plackett-Burman - D-Optimal Wechselwirkungen quadratisches Modell Einf hrung Mit einer Versuchsplanung sollen die Wirkungen von mehreren Einflussparametern auf eine Zielgr e eindeutig bestimmbar sein und m gliche Wechselwirkungen erkannt wer- den. Die Aufgabe ist es, Versuche so zu kombinieren, dass die Zusammenh nge einer Funk- tion oder eines Prozesses bestm glich durch eine sp tere Auswertung wiedergegeben werden k nnen. Es gibt Einflussgr en, die gezielt variiert werden k nnen, aber auch oft St rgr en.

2 1 2019 CRGRAPH. Versuchsplanung - DoE. Ziel und Nutzen Gegen ber Einzelversuchen k nnen mit der DoE Wechselwirkungen erkannt werden. Die Auswertbarkeit ist im Vergleich zu ungeplanten Datensammlungen wesentlich bes- ser. Durch die Ermittlung einer Modellgleichung k nnen optimale Einstellungen be- stimmt werden, selbst wenn sie nicht Bestandteil der Versuchsplanung waren. Mit der DoE-Methode werden Versuche und Kosten reduziert. Grundlagen Die Wirklichkeit soll durch ein vereinfachtes Modell beschrieben werden. Soll der Verbrauch eines Fahrzeugs in Abh ngigkeit der Einflussgr en Gewicht, Motorleistung und Luftwiderstand bestimmt werden, so wird zun chst folgender vereinfachter Ansatz gemacht: Diese Modellgleichung lie e sich beliebig erweitern.

3 Die Koeffizienten b beschreiben die St rke der Einflussparameter. Der Versuchsplan ist so aufzubauen, dass man diese Ko- effizienten bestm glich bestimmen kann. Hierf r ist der vollfaktoriellen Versuchsplan am besten geeignet. Um das Schema besser verstehen zu k nnen, werden in der folgenden Darstellung die Einstellwerte normiert verwendet. F r das Gewicht ist die kleine Stufe 1300kg mit -1 und die obere bei 1500kg mit +1 belegt. Verallgemeinert sollen die Ein- flussgr en mit A=Gewicht, B=Leistung, C=Luftwiderstand bezeichnet werden. Weitere m gliche Parameter D, E, etc. sind denkbar. Vollfaktorieller Versuchsplan Ein vollfaktorieller Versuchsplan entsteht, wenn alle m g- lichen Einstellungen der Faktoren miteinander kombiniert werden.

4 Die Anzahl der hierf r ben tigten Versuche ist mit 2 2019 CRGRAPH. Versuchsplanung - DoE. p=Anzahl der Faktoren und je zwei Einstellungen: n 2p Bei 2 Faktoren sind es zun chst 4 Versuche, bei 3 ergeben sich 8, dann 16, usw. Jeder weitere Faktor f hrt zu einer Verdoppelung. Der Aufwand wird sehr schnell zu gro . Be- stimmte Kombinationen werden f r die Bestimmung der Modellkoeffizienten aber nicht gebraucht ( die 3-fach Wechselwirkung A*B*C). Deshalb gibt es die sogenannten teilfaktoriellen Versuchspl ne. Teilfaktorielle Versuchspl ne Allgemein wird der letzte Faktor, oder mehrere durch das Produkt der vorhergehenden Spalten (Faktoren) ge- A B C D E bildet. Der Nachteil dieser 1 -1 -1 -1 -1 1.

5 Versuchspl ne 2 -1 -1 -1 1 -1 ist, dass in be- 3 -1 -1 1 -1 -1 stimmten Kom- 4 -1 -1 1 1 1 binationen Zweifachwech- 5 -1 1 -1 -1 -1. selwirkungen 6 -1 1 -1 1 1. miteinander 7 -1 1 1 -1 1 vermengt sind. Im Verh ltnis zum Aufwand ist der ein- 8 -1 1 1 1 -1 zig nutzvolle Plan der mit 5 Faktoren. Da hier zur Bil- 9 1 -1 -1 -1 -1 dung der letzten Spalte bereits 4 vorherige verwendet 1 -1 -1 1 1 werden, gibt es keine Vermengungen der Wechselwir- 10 kungen und es werden f r 5 Faktoren 16 Versuche be- 11 1 -1 1 -1 1. n tigt. 12 1 -1 1 1 -1. 13 1 1 -1 -1 1 Plackett-Burman-Versuchspl ne 14 1 1 -1 1 -1 Von Plackett-Burmann A B C D E. 15 1 1 1 -1 -1 gibt es feste Strukturen 1 1 -1 1 -1 -1. 1 1 1 1 1 mit entweder 12, 20 o- 16 1 1 -1 1 -1.

6 Der 24 Versuchen, die 2. von den teilfaktoriellen 3 -1 1 1 -1 1. abgeleitet sind. Bei dem Schema mit 20 und 24 Versu- 4 1 -1 1 1 -1. chen sind allerdings die Wechselwirkungen ebenfalls 1 1 -1 1 1. 5. stark vermengt. Beim Schema mit 12 Versuchen sind die Wechselwirkungen jedoch nur zu 1/3 vermengt, so- 6 1 1 1 -1 1. dass eine Auswertung mit Hilfe der multiplen Regres- 7 -1 1 1 1 -1. sion m glich ist. Mit nur 4 Faktoren w ren alle m gli- 8 -1 -1 1 1 1. chen 2-fach-Wechselwirkungen auswertbar (Spalte E 9 -1 -1 -1 1 1. wird nicht ben tigt). Denkbar ist die Anwendung mit bis 10 1 -1 -1 -1 1. zu 5 Faktoren, wenn man davon ausgehen kann, dass in der Auswertung nicht alle Wechselwirkungen relevant 11 -1 1 -1 -1 -1.

7 Sind (nur zu empfehlen f r erfahrene Anwender). 12 -1 -1 -1 -1 -1. 3 2019 CRGRAPH. Versuchsplanung - DoE. Definitive Screening Designs DSD. Sogenannte Definitive Screening Designs sind neu von Jones und Nachtsheim entwi- ckelte Versuchspl ne mit sehr geringem Ver- suchsumfang. Sie erm glichen die Auswer- tung von quadratischen Modellen und basie- ren deshalb auf 3 Stufen(mit einem zus tzl. Punkt in der Mitte 0 k nnen Nichtlinearit - ten erkannt wer- den quadrati- sches Modell, siehe auch fol- gendes Kapitel Auswertung). Zwischen den Hauptfaktoren untereinander und den quad- ratischen Termen gibt es keine Vermengung (orthogonal). Die Wechselwirkungen sind nicht zu 100% vermengt. In der generischen Erzeugung dieser Versuchspl ne (itera- tiv mit Hilfe der Determinante) ergibt sich regul r die Anzahl Versuche mit n = 2*p+2.

8 Manche Pl ne, f r p=5 sind dann allerdings teilweise zwischen den Hauptfaktoren ver- mengt. Hier m ssen bis zu 3 Versuchszeilen erg nzt wer- den. Der Gesamtumfang ergibt sich somit zu: n = 2*p+2+( ). Alle Faktoren m ssen durchgehend auf 3 Stufen sein und es lassen sich keine katego- rialen Faktoren darstellen. Nachteilig ist auch, dass keine Auswertung aller m glichen Wechselwirkungen m glich ist. Wenn man aber, wie beim Plackett-Burman-Plan davon ausgeht, dass in der Auswertung nicht alle Wechselwirkungen relevant sind, ist der DSD. ein sehr effizienter Versuchsplan. Die Anwendung ist nur f r erfahrene Anwender zu empfehlen. D-Optimale Versuchspl ne Das Ziel von D-Optimalen Pl nen ist, mit minimalem Aufwand Versuchspl ne zu er- stellen, die die gew nschten Effekte und Wechselwirkungen eindeutig abbilden.

9 Dies ist ein entscheidender Vorteil gegen- ber teilfaktoriellen Pl nen, bei denen Wechselwirkungen miteinander ver- mengt sind. Mit p = Anzahl der Faktoren, berechnet sich die Anzahl der 2-fach-Wechselwirkg. mit: p' = p (p-1)/2. Die h heren Wechselwirkungen ( ABC, ABD, ACD, usw.) werden in der Regel nicht ber cksichtigt, da ihr Einfluss gegen ber den 2-fach-WW meist geringer ist. Sie w rden 4 2019 CRGRAPH. Versuchsplanung - DoE. auch den Umfang der Versuche zu stark ansteigen lassen. Insgesamt wird f r einen Versuchsplan mit zwei Einstellungen folgende Mindestanzahl Versuche ben tigt: Konstante : 1. Haupteffekte (Faktoren) : p Quadratisches Modell : p Wechselwirkungen : p (p-1)/2.

10 : p + (p) + p (p-1)/2+1. Im Falle eines quadratischen Modells erh ht sich die Anzahl der Versuche gegen ber dem linearen Modell um p (f r je eine mittlere Einstellung). Weiterhin werden ca. 3-5. Versuche ben tigt, um gen gend Information ber die Streuungen zu erhalten (Signifi- kanzen der Faktoren). Eine bersicht der notwendigen Versuche in Abh ngigkeit der Faktoren ist am Ende des Kapitels zu finden. Ein D-Optimaler Plan hat kein festes Schema, wie bei den klassischen Versuchspl nen, er wird iterativ aufgebaut. Jeder Neuaufbau des Versuchsplanes hat eine neue Kombi- nation zur Folge. D-Optimale Versuchspl ne haben die entscheidenden Vorteile der freien Wahl des mathematischen Modells, der Er- weiterungsm glichkeit durch neue Ein- flussfaktoren und die M glichkeit be- stimmte Kombinationen ausschlie en zu k nnen, die technisch nicht erreich- bar sind, siehe Beispiel rechts.